等比数列的相关公式和性质
玛丽莲梦兔
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2021年01月30日 11:37
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关于元旦的作文-
等比数列的相关公式和性质
1
、等比数列的定义：
a
n< br>
q
q
0
n
2
，
q
为公比
a
n
1
2
、通项公式：
a
n
a
1
q
n
1
，
a
1
为首项，
q
为公比
推广公式：
a
n
a
m
q
n
m
，
从而得
q
n
m
3
、等比中项
（
1
）
如果
a
,
A
,
b
成等比数列，
那么
A
叫做
a
与
b
的等差中项．即：
A
2
ab
或
A
a b
a
n
a
m
注意：同号的两个数才有等比中项 ，并且它们的等比中项
有两个（两个等比中项互为相反数）
（
2
） 数列
a
n
是等比数列
a
n
2
a
n
1
a
n
1
4
、等比数列的前
n
项和
S
n
公式：
(1)
当
q
1
时，
S
n
na
1
(2)
当
q< br>
1
时，
S
n
a
1
1
q
n
1
q
a
1
a
n
q
=
1
q
5
、等比数列的判定方法
（
1
）
用定义：
对任意的
n,
都有
a
n
1
qan
或
为等比数列
（
2
）
等比中项：
a
n
2
< br>a
n
1
a
n
1
（
a< br>n
1
a
n
1
0
）< br>
{
a
n
}
为等比数列
（
3
）
通项公式：
a
n
A< br>
B
n
A
B
0
< br>
{
a
n
}
为等比数列
（
4
）
前
n
项和公式：
S< br>n
A
A
B
n
或
S< br>n
A
'
B
n
A
'
< br>A
,
B
,
A
',
B
'
为常数
{
a
n
}
为等比数列
a
n
1
q
(
q
为常数，
a
n< br>
0)
{
a
n
}
a
n
6
、
等比数列的证明方法
依据定义：若
a
n
q
q
0
n
2,
且
n
N
*
或
a
n< br>
1
qa
n
{
a
n
}
为等比数列
a
n
1
7
、等比数列相关技巧：
a< br>1
、
（
1
）
等比数列的通项公式及前
n
和公 式中，
涉及到
5
个元素：
q
、
n
、
an
及
S
n
，其中
a
1
、
q
称 作为基本元素。只要已知这
5
个元素中
的任意
3
个，便可求出其余< br>2
个，即知
3
求
2
。
（
2
）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：
a
n
a
1
q
n
1
如奇数个数成等比，可设为…，
a< br>a
,
,
a
,
aq
,
aq
2
…（公比为
q
，中间项
2
q
q
用
a
表示）
；注意隐含条件公比
q
的正负
8
、等比数列的性质：
(1)
当
q
1
时
①等比数列通项公式
an
a
1
q
n
1
a1
n
q
A
B
n
A
B
0
是关于
n
的带有系
q数的类指数函数，底数为公比
q
②前
n
项和
S
n
a
1
1
q
n
1
q
a
1
a
1
q
n
a
1
a
1
q
n
A
A
B
n
A
'
B
n
A
'
，系
1
q
1
q1
q
数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比
q
(2)
对任何
m,n
N
*
,
在等比数 列
{
a
n
}
中
,
有
a
n
a
m
q
n
m
,
特别的
,当
m=1
时
,
便得到等比数列的通项公式。因此
,
此公 式比等比数列的通项公式更
具有一般性。
(3)
若
m
n
s
t
(
m
,
n
,
s
,
t
N
*
),
则
a
n
a
m
a
s
a
t
。特别的
,
当
m
n
2
k
时< br>,
得
a
n
a
m
a
k< br>2