算术与代数的区别与联系
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2021年01月30日 12:16
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算
术
与
代
数
的
区
别
与
联
系
好的数学教师应当具有这样一种专业素养，即是能够跳出细节并从整体上把握自己的教学内容，如什么是这一学
期、这一学年，乃至整个学段和整个小学学 习期间的主要教
学内容，教师在教学中并应努力做好“承上启下”的工作。
显然，从这一角度去 分析，弄清算术与代数（在此主要指初
中代数――下同）之间的区别与联系就特别重要，因为，自
然数、分数与小数的认识以及它们的运算正是小学数学教学
（更为准确地说，应是“算术”教学）的主 要内容，而且，
代数思想在算术教学的渗透，不仅直接关系到我们的算术教
学能否真正做到“居 高临下”
，对于学生顺利地由小学过渡
到中学也是十分有利的。当然，这也正是新一轮数学课程 改
革的一个明显特点，即是将原先属于初中代数的部分内容
（负数和方程）下放到了小学，从而 也就在这一方面提出了
直接的要求。
一、同与不同
1
．从总体上说，这显然是算术与代数的一个重要区别，
即有着 不同的研究对象：算术主要集中于自然数、分数和小
数的认识，包括相应的计算方法；代数的研究对象则 不仅由
具体的数扩展到了由字母和数字组成的（代数）式，也更加
侧重于方程的研究与应用。< br>
当然，从形式上看，代数中关于式的研究又应说是与算
术中关于 数的研究较为接近的。具体地说，尽管运算的对象
不同，其涵义也有所扩展，特别是引进了合并同类项、 因式
分解等新的运算，但在数的运算与式的运算之间显然又有着
直接的类比关系。更为重要的是 ，两者似乎也有着共同的关
注，即如何能够通过适当的计算求得最终的结果。
也正是在这样的意义上，一些学者提出：
“算术在很大
程度上是过程性的。
”另外，这显然也就是人们在算术的教
学中何以特别重视算法的掌握以及计算的准确性和迅速性
的直接原因。
然而，应当强调的是，如果我们对于式的教学采 取完全
相同的观点，即是唯一强调如何能够通过适当的计算求得所
需要的结果，则就很可能因此 而忽视了一个十分重要的代数
思想：
“代数即概括。
”更为具体地说，这正是数学中引 入字
母的一个主要作用，即有助于人们通过概括达到更高的抽象
层次。
从而，
如果我们在教学中只是强调了用字母去代表数，
却没有能够更加重视如何能够帮助学生很好理解“概括” 这
样一种重要的代数思想，就不能不说是忽视了在算术与代数
之间所存在的这一重要区别。恰恰 相反，我们应当清楚地认
识到这样一点：
“概括也是学习代数的一个途径。
”
应当指出，上述的“过程性观点”又不仅仅体现于数的
运算，而且也直接 影响到了人们对数的理解。例如，在笔者
看来，我们就可从这一角度去理解学生在分数与无限循环小数的学习中何以会经常出现如下的困惑，如“
0.999
……与
1
究竟哪 个大？”因为，这里的关键恰恰就在于观念的必要更
新，也即如何能够帮助学生由过程性的“潜无限观念 ”转变
到对象性的“实无限观念”
。
2
．相 对于式的教学而言，方程的认识与应用在代数的
教学中显然占有更为重要的地位，而也只有从后一角度去 分
析，我们才能更为深入地认识这样一点：代数的学习必然要
求学生超越上述的“过程性观点” 并达到新的更高的认识水
平。从而，这也就应被看成在算术与代数之间所存在的又一
重要区别。
具体地说，等量关系无疑应当被看成方程的本质，这也
就是指 ，方程所强调的正是对象之间的等量关系。尽管“解
方程”的主要目的仍然在于如何能够经由具体运算求 得相应
的未知量，但在这一过程中我们又必须特别注意不能因此而
破坏方程两边的等量关系，也 即变形后所得出的新方程应是
与原来的方程等价的。例如，也正是在这样的意义上，人们
提出，
“等价是代数中的一个核心观念”
。
由“等号”的不 同理解我们即可更好地认识代数与算术
在这一方面的重要区别：如果说等号的使用在算术中主要表
明了运算的具体实施过程，也即由具体运算所依次得出的结
果，那么，在代数中，
“等量关系 ”就已成为等号的主要意
义。例如，从这一角度去分析，我们就可立即看出，以下的
常见错误主 要就是因为学生仍然处于“过程性观点”的直接
影响之下：
3x=5+13=18=18
÷
3=6
。
< br>进而，我们在此又应明确提出关于“过程性观点”
（也
可称为“程序性观点”
） 与“结构性观点”的区别。例如，
就字母与式的理解而言，所谓的“过程性观点”就是指将字
母 或字母表达式看成所要求取的求知量的直接取代物，这也
就是指，我们在此所关心的主要是如何通过具体 计算求得所
说的未知量；与此相对照，
“结构性观点”则是将字母或字
母表达式看成直 接的对象而非具体数量的取代物，我们在此
所主要关注的也只是式与式之间的关系――从而，按照这样< br>的理解，符号表达式事实上就应被看成整体数学结构的一个
组成成分。
值得指出的是，也正是遵循这样的分析思路，一些学者
明确提出了这样一种观点，即 认为由“过程”到“对象”的
转变（这就是所谓的“凝聚”
）可以被看成是代数思维的一
个基本形式，我们并可从这一角度清楚地去指明在代数与几
何之间所存在的重要区别。
最后，
应当强调的是，
我们不应把
“结构性观点”与
“过
程（程序）性观点”绝对地对立起来。恰恰相反，这正是数
学思维的一个重 要特点，即应当依据不同的情景和需要在
“过程”与“对象”之间作出必要的转换，包括由“过程”转向“对象”
，以及由“对象”重新回到“过程”
。例如，在
求解方程时，我们显 然必须将相应的表达式，
如（
x+3
）
2=1
，
看成单一的 对象，而非具体的计算过程，不然的话，就会出
现上述的“连等式”这样的错误。然而，一旦求得了方程 的
解，如
x=-2
和
-4
，作为一种检验，我们又必须将其代入原来
的表达式并实行具体的计算，从而，这时所采取的又是一种
“过程”的观点。
二、聚焦教学涵义
就代数思想在小学算 术教学中的渗透而言，应当首先明
确：这并非外部强加给小学数学教学的附加性成分，因为，
小 学数学的相关内容本身就包含了这些因素。例如，这事实
上也就是在现今的数学教育研究何以会出现以下 一些术语
的主要原因，
如
“算术的内在代数本质”
“早期代数思维”
“涌
现的代数”
，等等。进而，又如“涌现”
（
emergence
）这一
词语所清楚表明的，我们在此所提倡的正是一种自然而然的
变化，也即如何能在算术的教 学中自然而然地体现代数思
维。以下就围绕“概括”与“等价观念”这样两个代数思想
对此作出 进一步的分析论述。
1
．上面已经提到，字母的引入（更为一 般地说，就是
由数到式的过渡）应当很好体现“概括”这样一种思想。例
如，我们显然就可从这 一角度去理解以下的一些论述：
“代
数是概括的算术”
“代数意义衍生于它的数字基础 ”
“概括也
是学习代数的一个途径”
，等等。
进而，我们显然也可从同一角度去理解以下研究工作的
意义，特别是，这更可被看成为我们具体判断学 生的发展水
平提供了可能的标准：就学生对于字母表达式的理解而言，
可以大致地区分出这样六 个不同的水平：
（
1
）赋予特定数值
的字母：从一开始就对字母赋予一个特定 的值；
（
2
）对字母
不予考虑：根本忽视字母的存在，或虽然承认它的存在但 不
赋予其意义；
（
3
）字母被看成一个具体的对象：认为字母是
一个 具体物体的速记或其本身就被看成一个具体的物体；
（
4
）字母作为一个特定的未知量 ：把字母看成一个特定的、
但是未知的量；
（
5
）一般化的数：把字母看成代 表了或至少
可以取几个而不只是一个值；
（
6
）字母作为一个变量：把字母看成代表一组未指定的值，并在两组这样的值之间存在有
系统的关系。进而，以下的调查结果（这 是
1976
年在英国
实施的一项大规模的调查研究，其中共对
3000
名
13~15
岁
的中学生进行了
51
项的笔试）显然又可被看成更 为清楚地
表明了注意代数思想在算术教学中渗透的重要性：大多数学
生（
13
岁中的
73%
，
14
岁中的
59%
，
15
岁中的
53%
）或是
把字母当做具体的对象，或者根本就不去管它们。
再者，就概括思想的具体学习而言，表格无疑具有特别
的重要性。例如， 这显然也就是以下论述的一个主要意义：