从算术到代数
绝世美人儿
629次浏览
2021年01月30日 12:25
最佳经验
本文由作者推荐
-
全国名校七年级数学培优生优质专题训练汇编（附详解）
专题
03
从算术到代数
阅读与思考
算术与代数是数学中两门不同的分科，
它们之间联系紧密，
代数是在算术
中“数” 和“运算”的基础上发展起来的
.
用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最 显著的区别
.
在数学发展史上，
从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程 ，
是
数学发展史上的一个飞跃
.
用字母表示数有如下特点：
1.
任意性
即字母可以表示任意的数
.
2.
限制性
即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意
义
.
3.
确定性
即在用字母表示的数中，
如果字母取定某值，
那么代数式的值也随之确定
.
4.
抽象性
即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义
.
例题与求解
【例
1
】
研究下列算式，你会发现什么规律：
1
×
3
＋
1
＝
4
＝
2
2
2
×
4
＋
1
＝
9
＝
3
2
3
×
5
＋
1
＝
16
＝
4
2
全国名校七年级数学培优生优质专题训练汇编（附详解）
4
×
6
＋
1
＝
25
＝
5
2
…
请
将
你
找
到
的
规
律
用
代
数
式
表
示
出
来
：
___________________________________
(
山东菏泽地区中考试题
)
解题思路
：观察给定的几个简单的、特 殊的算式，寻找数字间的联系，发
现一般规律，然后用代数式表示
.
< br>【例
2
】
下列四个数中可以写成
100
个连续自然数之和的是 （
）
A.1627384950
B.
2345678910
C.
3579111300
D.
4692581470
（江苏省竞赛试题）
解题思路
：设自然数从
a
＋
1
开始，这
100
个连续自然数的和为（
a
＋
1
）
＋
(
a
＋
2)
＋
…＋
(
a
＋
100)
＝
100
a
＋
5050
，从揭示和的特征入手
.
1
2
+
2
2
2
2
+
3
2
3
2
+
4
2
1003
2
+
1004
2
1004
2
+
1005
2
+
+
【例3
】
设
A
＝
＋…＋
＋
，求
3
´
4
1
´
2
2
´
3
1003
´< br>1004
1004
´
1005
A
的整数部分
.
（北京市竞赛试题）
n
2
+
(
n
+1)
2
解题思路
：从分析
A
中第
n
项
的特征入手
.
n
?
(
n
1)
全国名校七年级数学 培优生优质专题训练汇编（附详解）
【例
4
】
现有
a
根长度相同的火柴棒，
按如图①摆放时可摆成
m
个正方形，
按如图②摆放时可摆成
2
n
个正方形
.
(1)
用含
n
的代数式表示
m
；
(2)
当这
a
根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求
a
的最小值
.
（浙江省竞赛试题）
解题思路
：由图①中有
m< br>个正方形、图②中有
2
n
个正方形，可设图③中
有
3
p
个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含
m
，
n
，
p
的等
式
.
【例
5
】
化简
99
9
99
9
199
9
.
n
个
n
个
n
个
（江苏省竞赛试题）
解题思路
：先考察
n
＝
1
，
2
，
3
时的简单情形 ，然后作出猜想，这样，化
简的目标更明确
.
全国名校七年级数学培优生优质专题训练汇编（附详解）
【例
6
】
观察按下列规律排成的一列数：
1< br>2
1
2
3
1
2
3
1
2
3< br>4
5
1
1
4
，
，
，
，
，< br>，
，
，
，
，
，
，
，
，
，< br>，…，
（
*
）
2
1
3
2
1
4
3
2
5
4
3
2
1
6
1
1
2
（
1
）
在
（
*
）
中，
从左起第
m
个数记为
F
(
m
)
＝
时，
求
m
的值和这
m
2001
个数的积
.
（
2
）在（
*
）中，未经约分且分母为
2
的数记为
c
，它后面的一个数记为
d
，是否存在这样的两个数
c
和< br>d
，使
cd
＝
2001000
，如果存在，求出
c< br>和
d
；
如果不存在，请说明理由
.
解题思路
：解答 此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（
）
，
（
，
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
5
4
）
，
（
，
，
）
，
（
，
，
，
）
，
（
，
，
，
，
）
，…
.
1
3
2
1
4
3
25
4
3
2
1
1
1
1
1
2
能力训练
A
级
全国名校七年级数学培优生优质专题训练汇编（附详解）
1.
已知等式：
2
＋
＝
2
2
×
，
3
＋
＝
3
2
×
，
4
＋
2
3
2
3
3
8
3
8
4
4
＝
4
2
×
，
…，
，
10
＋15
15
a
a
＝
10
2
×
（
a
，
b
均为正整数）
，则
a
＋
b
＝
___________________.
b
b
(
湖北省武汉市竞赛试题
)
2.
下面每个图 案都是若干个棋子围成的正方形图案，
它的每边
（包括顶点）
都有
n
（
n
≥
2
）个棋子，每个图案棋子总数为
s
，按此规律推断
s
与
n
之间的
关系是
______________.
n
＝
2
n
＝
3
n
＝
4
s
＝
4
s
＝
8
s
＝
12
(
山东省青岛市中考试题
)
3.
规定任意两个实数对（
a
，
b
）和（
c
，
d
）
，
当且仅当
a
＝
c
且
b
＝
d
时 ，
（
a
，
b
）
＝
（
c
，
d
）
．
定义运算
“
⊗
”
：
（
a< br>，
b
）
⊗
（
c
，
d
）
＝< br>（
ac
－
bd
，
ad
＋
bc
）．
若
（
1
，
2
）
⊗
（
p，
q
）＝（
5
，
0
）
，则
p
＋
q
＝
________
．
(
浙江省湖州市数学竞赛试题
)
4.
用同样规格的黑白两种颜色的 正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（
3
）
个图形中有黑色瓷砖
______
块，第
n
个图形中需要黑色瓷砖
______
块（含
n代数式表示）
．
（广东省中考试题）
-=