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2021年1月30日发(作者：铁面无私的意思)
小课题：《九章算术》中约分术与更相减损术

课题：《九章算术》中约分术与更相减损术

总课时：
1

教学目标
:
1.
理解《九章算术》中约分术与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根

据这些原
理进行算法分析；

教学重难点

理解《九章算术》中约分术与更相减损术与更相减损术求最大公约数的

方法

教学方法：多媒体课件

教学过程：

一、导入

《九章算术》是中国古代最著名的数学著作，大约在公元前后成书，此书

奠定了
中国古代数学的基本特点

“算法化”就是其一

•
用现在的观点来看
，
《九

章算术》中
的“术”就是算法
，
本文以该著作中“方田”这一章的“约分术” 为例说明之，在这一
章中，有一个求两数

91
与
49
的最大公约数的问题
：
“又

有九十一分之四十九，问约
之得几何。答日
：
十三分之七
•
”然后给 出求两数

最大公约数的方法，即“约分术” 一
可半者半之，不可半者，副置分母子之

数
，
以少减多
，
更相减损
，
求其等也
•
以等数约
之。

将这个方法翻译成现代汉语
：
分子和分母如果都是偶数，就用

2
除
,
直到

至少有
一个不是偶数为止
；
如果不全是偶数，则直接把表示分子和分母的数分

置两列，然后从
大数中减去小数，把差算作原数与原来的小数比较，仍然采

用以大减小的方式，持续地
辗转相减，直到两列得到的数相等，这个相等的

数就是分子和分母的最大公约数。

二、举例讲解

这个“约分术” 可用于求任意两数的最大公约数
.
下面按这一
-
“术”将

求
91
与
49
的最大公约数的过程表述

如下
：

91
49
(91-49) = 42 (42-7)=35
7(= 49- 42)
(35-7) = 28 (28-7) = 21 (21 -7) = 14 (14-7)=7 7= 7
最后得出的两边相等的数
7
即为最
大的公约数
.
用现代算法观念来考察这个“术

，可见它具有以下特点
：

(1)
它是一个严格“一义”的规定
，
不可能有歧义的理解
；

(2)
在实施这一过程时，每一时刻都知道下一时刻

步
)
怎么办
；

(
或每一一步都知道下一一

(3)
能解决求两个数
(< br>任意正整数
)
的最大公约数这一
-
类问题
；

(4)
由于任意给定的数都是有限的
，
辗转相减，一定能在有限步内减到“最后” 一步
.
即能在有限步内得出结果。

三、更相减损术

中国古代的数学专著《九章算术》中也有求最大公约数的算法，就是更

相减损术
•

即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，

求其等
也，以等数约之
•
”

翻译为现代语言如下：

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数
•
若是，用
2
约简；

若不
是，执行第二步
•

第二步：以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，

并以大数减小数
•
继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数
(
等数
)
或这个数与约简的数

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