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2021年1月30日发(作者：神奇的七巧板)


矩形、菱形和正方形的性质定理和判定定理及其证明

一、知识概述

1
、矩形的性质定理

定理
1
：
矩形的四个角都是直角．

说明：
(1)
矩形具有平行四边形的一切性质．


(2)
矩形的这一特性可用来证明两条线段互相垂直．

定理
2
：
矩形的对角线相等．

说明
：矩形的这一特性可用来证明两条线段相等．

推论：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

说明：
与中位线 定理及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半一样，这一推论
可用来证明线段之间的倍 数关系．

2
、矩形的判定定理

定理
1
：
对角线相等的平行四边形是矩形．

定理
2
：
有三个角是直角的四边形是矩形．

3
、菱形的性质定理

定理：
菱形的四条边都相等．

说明：
(1)
菱形具有平行四边形的一切性质，并且具有它特殊的性质．


(2)
利用该特性可以证明线段相等．

定理
2
：
菱形的对角线互相垂直．并且每条对角线平分一组对角．


说明：
根据菱形的特性可知，其对角线将它分成四个全等的直角三角形，再由直角三 角形的相
关性质，证明线段或角的关系，这样就将四边形问题转化为三角形问题来处理．

4
、菱形的判定定理

定理
1
：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

定理
2
：
四条边都相等的四边形是菱形．

说明：
菱形的两个判定定理起点不同，一个是平行四边形，一个是四边形，判定时的条件不同，
一个是对角线互 相垂直，一个是四条边都相等．

5
、正方形的性质

普通性质：
正方形有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

特有性 质：
(1)
边：四条边都相等，邻边垂直，对边平行；
(2)
角：四个角都是 直角；
(3)
对角线：
①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角．

说明：
正方形这些性质根据定义可直接得出．

特殊性质——正方形的一 条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹
角是
45°，正方形的两条 对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．

6
、正方形的判定
(1)
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两种：①先证它是矩形，再证有一组邻< br>边相等；②先证它是菱形，再证有一个角为直角．

(2)
判定正方形的一般顺 序；
①先证明是平行四边形；
②再证有一组邻边相等
(
有一个角是直角
)
；
③最后证明有一个角是直角
(
有一组邻边相等
)
．< br>
说明：
证明一个四边形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少条件．

二、重难点知识归纳


1
、特殊的平行四边形知识结构


三、
典型例题讲解

例
1
、
如图所示，
M
，
N
分别是平行四边形
ABCD
的对边
AD，
BC
的中点，且
AD=2AB
，求证四边形
PMQN
为矩形．


错解：

连接
MN
．

∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴
AD
BC
．


又∵
M
，
N
分别为
AD
，
BC
的中点，∴
AM
BN
．

∴四边形
AMNB
是平行四边形．

又∵
AB=
A D
，∴
AB=AM
，∴
口
AMNB
是菱形．

∴
AN
⊥
BM
，∴∠MPN=90°．

同理∠MQN=90°，∴四边形
PMQN
为矩形．

分析：

错在由∠
MPN=
∠MQN=90°，就证得四边形
PMQN
是矩形这一步，
还需证一个角是直角或证四边形
PMQN
是平行四 边形，证四边形
PMQN
是平行四边形这种方法比较好．

正解：

连接
MN
，∵四边形
ABCD
是平行四边形，∴
AD
BC
．

又∵
DM=
AD
，
BN=
BC (
线段中点定义
)
，

∴四边形
BNDM
为平行四边形．

∴
BM
DN
，同理
AN
MC
．

∴四边形
PMQN
是平行四边形．

∵
AM
BN
，∴四边形
ABNM
是平行四边形．

又∵
AD=2AB
，
AD=2AM
，

∴
AB=AM
，∴四边形
ABNM
是菱形．

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