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2021年1月30日发(作者：顾恺之传)
《九章算术》与小学数学教学

秦末战火后，先秦的大批文献失散，于是在汉代便兴起 了发掘、删补、诠释各类文献之风。以张苍、
耿寿昌、杜忠、许商、尹咸、刘歆等为代表的一批

善用算律历

者，不仅对原有的数学、历数等文献进行
删补，而且开始注意在进 一步传习数学知识的过程中，将疏散于天文、历学、制造、农学等各类文献中的
数学知识集约化。首先是 张苍，

著书八十篇，言阴阳律历事

，其后有《杜忠算术》十六卷和《许商算术 》
二十六卷。作为这类工作的突出成果，在汉代诞生了具有较高集约性并能完全反映当时数学成就的重要 著
作一一《九章算术》。

（一）中国最古老的数学经典著作《九章算术》


《九章算术》
成书于东汉初年
（大约在公元
50
年到
100
年之间）
，
作者不详，
但有人认为

马续就是
《九
章算术》的编撰者，证据虽不充分，但这是可能的

。它总结了秦以前中国 的主要数学成就，书中收集了
246
个应用问题和各个问题的解法，并将其分为九章，分门别类 地予以撰述介绍。据数学史学家考证，

算
术

在西汉时期是数学的代用 名词，

算字的原意是计算用的竹筹。
'
算术
'
这个词汇的本 意应当是运用算筹
计算的方法。
因为一切繁复的数目计算都要用算筹，
所以
'
算术
'
包含当时的全部数学知识和计算技能

。
因
此 《九章算术》的九章数学问题就涉及当时社会生产、生活实践中的各种算术、代数、几何等方面的问题。
九章的主要内容是：

第一章

方田

：田亩面积的计算。

第二章

粟米

：谷物粮食之间按比例的折算。

第三章

衰分

：比例分配的问题。

第四章

少广

：已知面积、体积，反求其一边的宽广等，专讲开平方、开立方。
第五章

商功

：一些工程（筑城、修堤、开渠、堆粮）的计算，包括求体积 。

第六章

均输

：合理摊派赋税。

第七章

盈不足

：盈亏、比例问题的解答。

第八章

方程

：线性方程组的解法，用消元法解答了三元一次方程组，出现了负数。< br>
第九章

勾股

：利用勾股定理求解的各种问题。
< br>每章都是先举出问题，然后给出答案，考察一组问题后再给出相应的一种算法，称作

术< br>
，全书共有
202
个

术

（相当并以实际应用 题为导引、以计算规律为中心的体例来撰与论，开创了独具一格的数学专著的
理论体系（不同于古希腊逻 辑演绎的体系），对中国后世的数学发展与数学教学产生了深远的影响。

（二）涉及当代小学教育的有关数学内容


《九章算术》
汇集 和总结了秦汉以前的中国数学成就，
集中地体现了当时中国数学领域的最高发展水平。
但《九章 算术》的编撰者没有撰写那时的基本计算整数四则，所以它并非当时的一本数学启蒙教育著作。
但是随着 社会的长足进步、
数学科学的迅速发展，
前期的高深内容，
到后期也许会成为大众化的 基本内容。

《九章算术》中的一些算术内容，对照今天的教学大纲，就已 经成为小学高年级的数学教学内容。这些内
容归纳起来有以下几个方面：

1
．分数四则及其应用。


《九章算术》中的分数知识（包 括约分、通分和加减乘除法则）已是相当完整和系统化了，是当时世
界上最系统的分数理论。在方田章的
40
个问题中，有
14
个例题说明了分数的四则运算法则。在其他各章
还有很多分数应用题。《九章算术》称分数加法为

合分

，称减法为

减分

。

合分

和

减分
都需通分。
方田章的分数加、减法规定了用分母的乘积作公分母，例如其中第
7
题 的计算方法为：

第
9
题的计算方法为：

但在少广章里有几个问题，则用最小公倍数作公分母。

其中第
6
题的计算方法为：


分数相乘，叫

乘分

，方法是用相乘分数的分母相乘作分母，分子相乘作分子。例如方田章第
19
、
24
题的计算方法为：



分数除 法叫

经分

，方田章的

经分

与现在的计算法 则不同，它是用通分来计算的。例如其中第
18
题
的计算方法为：


后经刘徽注释，才补充了现在通行的将除数的分子、分母颠倒并与被除数相乘的法则：
应该指出，上述计算过程的书写形式是对原著计算法则的现代表示，实际的计算方式是筹算而不是上述的现代笔算。例如对分数约分，先用筹算求得分母、分子的最大公约数
7
，其过程如下

的筹式如图
1
；从
91
中减去
49
，余42
，如图
2
；从
49
中减去
42
，余
7
，如图
3
；从
42
中连续减去
7
，
第
5
次余
7
，如图
4
。这时被减数和减数相等，得
< br>等数

，就是所求的最大公约数。以
7
除分母和分子，
得最简分 数

。这种求最大公约数的方法实质上就是现代数学中的辗转相除法。


《九章算术》的均输章还有很多分数应用题。例如第
25
题：

今有程 耕，一人一日发（翻土）七亩，
一人一日耕（犁田）三亩，一人一日×（播种）五亩。今令一人一日自发 、耕、×种之，问治田几何？

它的解答方法是：

1
÷（

＋

＋

）＝
7
×
3
×
5
÷（
3
×
5
＋
7
×
5
＋
7
×
3
）＝
105
÷
71
＝

亩。


这个问题类似于现在小学数学课本中的

工程 问题

，其解法也与现在的解法相似。可见秦汉以前，古
人对分数概念的理解已经达到了 相当高的水平。

2
．各种比例问题。


《九章算 术》的粟米章一开始就列举了粮食加工中原料与成品的换算比例：

粟米之法：粟米五十，粝米三十，×米二十七，×米二十四，……

。该章的第
1
题：
今有粟一斗，欲为粝米，问得几何？

它的解
法是：

以所有数乘所 求率为实（即被除数），以所有率为法（即除数），实如法而一

。这是说：

以 法除
实所得的商就是所求的数。

这一题内，粟
1
斗（
10< br>升）是

所有数

，
50
为

所有率
，
30
为

所求率

，

依术得糯 米
10
×
30
÷
50
＝
6
升，
就 是所求数。

这个问题就是现在小学数学课本中的比例问题，按现在的解
法是：

设所求的糯米为
x
升。则有比例式
50
：
10
＝< br>30
：
x
所以
x
＝

x
＝
10
×
30
÷
50

此外，《九章算术》中还有一些复杂的比例问题，如复比例问题、连锁比例问题等。但现在的小学数
学 课本均已不再出现。


衰分

有定量分配的意思，《九章算术 》中的

衰分

就是现在小学课本中的比例分配方法。衰分章的
第
5
题：

今有北乡算八千七百五十八，
西乡算七千二百三十六，
南乡 算八千三百五十六，
凡三乡，
发徭
（役）
三百七十八人，欲以算数多少衰出之 ，问各几何？

它的解法是：先将三乡

算

数
8758
、
7236
、
8356
相加
得
24350
，再依术得北乡、西乡、南乡应派的人数分别为：

378
×
8758
÷
24350
＝

人

378
×
7236
÷
24350
＝

人

378
×
8356
÷
24350
＝

人

可见当时的算法，基本上相同于现在的算法。

3
．面积和体积的计算。


古代从春秋时期开始，就有按田 亩数收税的制度，所以土地面积的计算方法就成为古代算术的重要组
成部分。由此，《九章算术》就以方 田章开篇，有关面积的计算主要有：

（
1
）长方形面积的计算：
< br>方田术曰，广从步数相乘得积步

。

方田

指长方形的田 ，

广

指长方形的底，

从

（即纵）指长方形 的高，

步

是长度的单位，所以长方形的面积等于底乘高。

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