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2021年1月30日发(作者：二月花开)
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新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习

重难点突破

课外机构补习优秀资料

分式的概念和性质（基础）


【学习目标】

1.
理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为
0
的条件
.
2
．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算
.
【要点梳理】

【
403986
分式的概念和性质

知识要点】

要点一、分式的概念
< br>一般地，如果
A
、
B
表示两个整式，并且
B
中含有字 母，那么式子
A
叫做分式
.
其中
A
B
叫做分子，< br>B
叫做分母
.
要点诠释：
（
1
）分式的形式和分数 类似，但它们是有区别的
.
分数是整式，不是分式，
分式是两个整式相除的商式
.
分式的分母中含有字母；分数的分子、分
母中都不含字母
.

（
2
）
分式与分数是相互联系的：
由于分式中的字母可以表示不同的 数，
所以
分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况
.

（
3
）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”
，但
π
表示圆周率，是一个
常数，不是字母，如
a
是整式而不能当 作分式
.


（
4
）分母中含有字母 是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式
x
2
y
不能先化简，如< br>是分式，与
xy
有区别，
xy
是整式，即只看形式，
x
不能看化简的结果
.
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件

1.
分式有意义的条件：分母不等于零
.
2.
分式无意义的条件：分母等于零
.
3.
分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零
.
要点诠释：
（
1
）分式有无意义与分母有关但与分子无关，
分式要明确其是否有意义，就
必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零
.

（
2
）
本章中如果没有特殊说明，
所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式
中分母的值不等于零
.

（
3
）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值
.
要点三、分式的基本性质

分式的分子与分母同乘
(
或除以
)
一个不等于
0
的整式，分式的值不变，这个性质叫做
分式的基本性质，用式子表示是：
A
A

M
A
A

M< br>
，

（其中
M
是不等于零的整式）
.
B
B

M
B
B

M
要点诠释：
（< br>1
）基本性质中的
A
、
B
、
M
表示的是整式
.
其中
B
≠
0
是已知条件中隐含着
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的条件，一般在解题过程中不另强调；
M
≠
0
是在解题过程中另外附加< br>的条件，
在运用分式的基本性质时，
必须重点强调
M
≠
0这个前提条件
.
（
2
）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然 分式的值不变，但分式
中字母的取值范围有可能发生变化
.
例如：
，
在变形后，
字母
x
的取值范围变大了
.
要点四、分式的变号法则

对于分式中的分子、
分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，
分式的值不变；
改变
其中任何一个或三个，分式成为原分式的 相反数
.
要点诠释：
根据分式的基本性质有

b
b

b
b
.
根据有理数除法的符号法则有

，
< br>
a
a
a

a

b
b
b< br>a
a



.
分式
与

互 为相反数
.
分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着
a

aa
b
b
重要的作用
.
要点五、分式的约分，最简分式

与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的
值，
这样的分式变形叫做分式的约分
.
如果一个分式的分子与分母没有相同的因式
（1
除外）
，
那么这个分式叫做最简分式
.
要点诠释：
（
1
）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分
母再没有公 因式
.
（
2
）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式
.分子、分母的公因式
是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式
的 分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子
与分母是不能再分解的因式积的形式， 然后再进行约分
.

要点六、分式的通分

与分数的通分类似，利用分式的基本性质，
使分式的分子和分母同乘适当的整式，
不改
变分式的值，把 分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分
.
要点诠释：
（
1
）
通分的关键是确定各分式的最简公分母：
一般取各分母所有因式的最高
次幂的积作为公分母
.

（
2
）
如果各分母都是单项式，
那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相
同字母的最高次幂的乘 积；
如果各分母都是多项式，
就要先把它们分解
因式，然后再找最简公分母
.

（
3
）
约分和通分恰好是相反的两种变 形，
约分是对一个分式而言，
而通分则
是针对多个分式而言
.
【典型例题】

类型一、分式的概念

1
、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？


2
xm

1
5
a
2
2
2
，
，，
3

x
，
，
，

．
a
m
a
3

3
【思路点拨】
x
52
5
，
，

虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中
的分母中

表示
3

3

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一个常数，因此这三个式子都不是分式．

【答案与解析】

x2
5
2
m

1
a
2
2
解：整 式：
，

，
，
3

x
，分式：
，
，
．

a
m
3
3

a
【 总结升华】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不
含有字母 则不是分式．

类型二、分式有意义，分式值为
0
2
、下列各式中，
m
取何值时，分式有意义？

（
1
）
1
m
3
m
；
（
2
）
；
（
3
）
．

|
m
|

2
m

2

m
2

9
【答案与解 析】

解：
（
1
）由
m

2
< br>0
得
m


2
，

故当
m


2
时分式
m
有意义．

m

2
（
2
）由
|
m
|

2

0
得
m


2
，

故当
m


2
时分式
1
有意义．

|
m
|

2
2
（
3
）
由

m

9


(
m

9 )

0
，
即无论
m
取何值时

m

9
均不为零，
故当
m
为任
2
2
意实数时 分式
3
m
都有意义．

2

m

9
【总结升华】
首先求出使分母等于零的字母的值，
然后让未知数不等于这些值，便可使分式
有意义．这是解答这类问题的通用方法．

举一反三：
【变式
1
】
（
2016
·丹东一模）若分式
x

1
有意义，则
x
的取值范围是








．

x

1
【答案】

解：由题意得：
x
< br>1

0
，解得
x


1
，故答案为 ：
x


1
．

【变式
2
】当< br>x
为何值时，下列各式的值为
0
．

x
2

x
2
x

1
x

2
（
1
）
；
（
2
）
2
；
（
3
）
2
．

x

1
3
x

2
x

4
【答案】

解：
（
1
）由
2
x

1

0
得
x


1
，

2
1
1
当
x


时，
3
x

2

3

(

)

2

0
，

2
2
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