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2021年1月30日发(作者：好姑娘真漂亮歌曲)

分式的意义及性质













编稿：徐长明



审稿：张扬



责编：孙景艳

目标认知
学习目标




1
．理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。



2
．掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。


重点




分式的意义及其基本性质。

难点




分式的变号法则。

知识要点梳理


要点一：分式的概念


一般地，如果
A
、B
表示两个整式，并且
B
中含有字母，那么式子
A
叫做分子，< br>B
叫做分母。

要点诠释：


叫做分式。其中


（
1
）分式表示两个整式相除，其中分 子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号
的作用。





如
可以表示
(a
－
b)
÷
(a+b)< br>；



（
2
）分式的分子可以含有字母，也可以不 含有字母，但分式的分母一定含有字母。



（
3
）分式 的分母表示除数，由于除数不能为
0
，所以分式的分母不能为
0
，即当
时，分式
才有





意义；



（
4
）判断一个代数式是否是分式，不能把原式变形
(
如约分等
)
后再看，而只能根据它
的本来面目进行





判断。例如：对于
整式，事实上


来说，
，我们不能因为
是整式，就判断
也是






是分式。

要点二：分式有意义、无意义，分式的值为零的条件


1
、分式有意义的条件是分式的分母不为
0
；



2
、分式无意义的条件是分式的分母为零；




3
、分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。

要点诠释：



（
1
）分母不为零是分式概念必 不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为零都
没有意义。


（
2
）分式分母的值不为
0
，是指整个分母的值不为
0
。如果分母中的字母的值为
0
，但
整个分母的值不





为
0
，则分式是有意义的。



（
3
）分式的值为
0
，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为 零。



（
4
）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有 意义的。例如在分式
，即






中隐含着




这一条件，也就是说分式

中分母的值不为零。

要点三：分式的基本性质


分式的分子与分母同乘
(
或除以
)
一个不等于
0
的整式 ，
分式的值不变，
这个性质叫做分
式的基本性质，用式子表示是：



要点诠释：

(
其中
)
。



（
1
）
运用分式的基本性质时，
千万不能忽略
“
变形时，必





须满足
2x+1
≠
0
。

”
这一条件
.
如
，


（
2< br>）分式的基本性质要求“同乘（或除以）一个不等于
0
的整式”即分式的分子、分


母要做相同的变





形， 要防止只乘（或除以）分子
(
或分母
)
的错误；同时分子、分母都乘（或除）
以的整式必须相





同。



（
3
）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不 变，但分式中字母的取
值范围有可能发





生变化。例如：

，在变形后，字母
x
的取值范围变大了。

知识点四：分式的变号法则
要点诠释：




一个分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。



（
1
）改变符号时应该是分子、分母整体的符号，而不是分子、分母中某一 项的符号；



（
2
）一个分式的分子、分母与分式本身 的符号，改变其中任何一个或三个，得到的分
式成为原分式的





相反数。


要点五：分式的约分



与分数的约分类似，
利用分式的基本性质，
约去分子和分母的公因式，
不改变 分式的值，
这样的分式变形叫做分式的约分。

要点诠释：



（
1
）约分的依据是分式的基本性质；


< br>（
2
）约分的方法是：先把分子、分母分解因式（分子、分母是多项式时），然后约去< br>它们的公因式；



（
3
）找公因式的方法：先分 解因式，系数取最大公约数，字母（或字母因式）取相同
字母（或字母因





式）的最低次幂；



（
4）约分要彻底，使分子、分母没有公因式，分子、分母没有公因式的分式叫做最简
分式。


要点六：分式的通分



与分数的通分类似，
利用分式的基本性质，
使分式的分子和分母同乘适当的整式，
不改
变分式的值，把分母 不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

要点诠释：



（
1
）通分的依据是分式的基本性质；





（
2
）通分的关键是寻求几个分式的最简公分母：





①最简公分母：几个分式进行通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作
为公分母，这样






的分母叫做最简公分母；





②寻求最简公分母应注意以下几点：





(
ⅰ
)
“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母
(
或含字母 的式子
)
为底数
的幂选取指数最







大的；




(
ⅱ
)
如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分
母的系数；





(
ⅲ
)
如果分母是多项式，一般应先分解因式。



（
3
）通分的方法是：先求各分式的最简公分母，然后以每个分式的分母去 除这个最简
公分母，用所得





的商去乘分式的分子、分母。


要点七：整式和分式



1
、有理式的概念：整式和分式统称为有理式。



2
、有理式的分类：


3
、整式和分式的区别：




分式的本质特征是分母中含有字母，而整式中不一定含有分母，如果整 式中含有分母，
那么分母就不能含有字母，只能是不为零的具体数。


规律方法指导



１．关于分式强调两点：在
中，第一，
B
中含有字母；第二，
B
不能为零。



２．分母的值是零，分式没有意义。



３．分子为零且分母不等于零时，分式的值等于零。



４．约分根据的是分式的基本性质，
对一个分式进行约分是对分式进行恒等变形的一个
手段，约 分前后





的分式值是不变的，约分的关键是确立分式的分子与分母的公因式。



５．约分要彻底，

使分子、分母没有公因式。


６．
分式的通分也是对一个分式进行恒等变形的手段，
通分前后的分式值是不变的，
通
分的关键是确立






几个分式的最简公分母，
一般地，
取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高
次幂的积作为公





分母，这样的公分母叫做最简公分母。
经典例题透析

类型一：分式的定义




1
．代数式
，
，
，
，
中，属于分式的是
____________
。< br>

思路点拨
：要判断一个代数式是否是分式，关键点：
(1)
代数式中必须有字母；
（
2
）分
母中必须含有字母。
注意分式的概 念是针对原式，
尽管原式化简后可以是整式的形式，
但原
式仍然是分式。解答本题的易 错点有两个：一个是
，分母里的
π
是一个确定的值，不要
把它当做字母处理了 ；另一个是
，虽然这个式子的分子与分母能够约分化为整式，
但它是一个分式，因为它的分母中 含有字母。



解析：

分式有两个：
，
。



总结升华：
正确 理解分式的概念，
不能只看形式，
要抓住分母中是否含有字母这一关键
条件，这是判断 一个式子是否为分式的重要标准。




举一反三



【
变式
】下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？



(1)
、
；
(2)
、
；
(3 )
、
；
(4)
、
.


【
答案
】属于整式的有：
(2)
、
(4)
；属于分式的有：
(1)
、
(3)
。


类型二：分式有意义




2
．
x
取何值时，下列分式无意义？


(1)
、

(2)
、

(3)
、
(4)
、



思路点拨：
分式无意义的条件是：分母为
0
，与分式分子的值无关。



解析：
(1)
、如果
＝
0
，那么
＝
0.










所以，
＝
0
时，分式





(2)
、如果
，那么
无意义

.








所以，当





(3)
、分母
意义的。

时，分式
无论
取何值时，
无意义

都不可能为零，所以这个分式总是有





(4)
、当
x=0
时，分式无意义。



总结升华：
看一个代数式是不是分式，
要看原来的式子，将分式约分是可以的，
但必 须
考虑前提：被约去的因式不能为零。






A.
3
．若分式



B.
不论
x
取何实数总有意义，则
m
的取值范围是
( )
。



C.



D.




思路点拨
：
解决此类问题要遵从一个原则 ，
即不论分母是一个字母、
一个单项式还是一
个多项式，
都要考虑分母不为< br>0
这个条件，
也就是说，
使分式有意义的条件是分式的分母不
为
0
。



解析
：可用配方法，将





此时只要
m>1
，
变形为
，即
，

就恒大于
0
，分式就恒有意义，所以选
B
。



总结升华
：由分式的概念可知，分式有意义的条件为：分母不能为
0.



举一反三



【
变式
1
】当
x
取什么值时，下列分式有意义？



(1)
；
(2)
。



【
答案
】
(1)
由
x
－
2
≠
0
得
x
≠
2
，即当
x
≠
2
时，分式
有意义。







(2)
由
4x+1
≠
0
，得
x
≠


时，分式
有意义。




【
变式
2
】当
x
取何值时，分式
有意义？



【
答案
】

当
x
≠－
6
且
x
≠－
1
时，分式有意义。




【
变式
3
】
取何值时，分式
有意义？



【
答案
】

如果
，那么








所以，当

时，分式
有意义

类型三：分式的值为零



4
．当
x
是什么数时，分式
的值是零？



思路点拨
：讨论何时分式的值为零时须同时考虑以下两点：
(1)
字母取值使得分子值为
零；
(2)
字母取值使得分母值不为零。



解析
：由分子
x+2
＝
0
，得
x
＝－
2
，而当
x
＝－
2
时，分母
2x
－
5
＝－
4
－
5
≠
0
，






所以当
x
＝－
2
时，分式


总结升华
：

的值是零。



(1)< br>讨论分式的值必须在分式有意义的前提下进行，分式有无意义取决于分母中字母的
取值，所以需讨




论分母中字母的取值情况。



(2)
求分式中字母的取值范围时，切不可将原分式的分子，分母进行约分，否则字 母的
取值范围可能会




被扩大。




举一反三



【
变式< br>】下列各分式，当
x
取何值时，分式有意义？当
x
取何值时，分式的值 为零？









解：
(1)
令
3x+5
＝
0
，得
x
＝－







令
x
－
2
＝
0
，得
x
＝
2
，∴当
时，
有意义。








又当
x
＝
2
时，
3x+5
≠
0
，∴当
时，
的值为零。






(2)
令
x
－
1
＝
0
，
得
x
1
＝
1
，
x
2
＝－1
，
∴当






< br>令
x
－
x
－
2
＝
0
，得
x
1
＝
2
，
x
2
＝－
1
2
2
且
时，
有意义。








又当
x
＝
2
时，
x
－
1
≠
0
，当
x
＝－
1
时，
x
－
1
＝
0
2
2







∴当

时，
的值为零。

类型四：分式基本性质的应用




5
．下列各式是怎样从左边变形到右边的？






思路点拨：
这里的变形都是恒等变形，
必须符合分式的基本性质 。
首先比较等式两边分
式的分子或分母发生了怎样的变化，
然后根据分式的基本性质，
分式的分母或分子也应发生
相同的变化。



解析
：
(1)
、∵
y
≠
0








∴





(2)
、∵
x
≠
0








∴



总结升华
：
分式的基本性质是分式化简和分式运算的基础，
应用分式的基本性 质时，
要
注意理解“同”这个字的含义：（
1
）分子、分母同时变形；（2
）同时变形时，必须是同一
个不为零的整式。




举一反三



【
变式
1
】不 改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。

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