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2021年1月30日发(作者：图谋不轨)
分



式

一、概念：

定义
1
：整式
A
除以整式
B
，可以表示成
A
B
的形式。
如果除式
A
．．
B
．
中含有分母
．．．．．
，那么称
B
为分式。
（对于任
何一个分式，
分母 不为
0
。
如果除式
B
中含有分母，
那
么这个就是分 式，
对于任何一个分式，
分母不为
0
。
分
式：分母中含有字 母。整式：分母中没有字母。而代
数式则包含分式和整式。
）

定义
2
：
把一个分式的分子和分母的公因式约去，
这种
变形称为分式的约分。
定义
3
：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。
（化简分式时， 通常要使结果成为最简分式或者整
式。
）

定义
4
：
化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的
通分。

定义
5
：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程

定义6
：
在将分式方程变形为整式方程时，
方程两边同
乘一个含有未知数的整 式，并约去了分母，有时可能
产生不适合原分式方程的解（或根）
，这种解通常称为
增 根。

二、基本性质：

分式的基本性质：分式的分子与分母都
．< br>乘以（或除以）
同
．
一个不等于零
．．．．
的整式，分式的值 不变。

三、运算法则：

1
、
分式的乘法的法则
:
两个分式相乘
,
把分子相
乘的积作为积的分子
,
把分母相 乘的积作为积
的分母
;
（用符号语言表示：
a
c
ac
b
﹒
d
=
bd
）

2
、分式的除法的法 则：两个分式相除
,
把除式
的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘
. （用符号语言表示：
a
b
÷
c
a
d
ad
d
=
b
﹒
c
=
bc
）

分式乘除法的运算步骤：

当分式的分子与分母都是单项式时：
(1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分
子，
分母的积做积的分母；
②把分式积中 的
分子与分母分别写成分子与分母的分因式
与另一个因式的乘积形式，如果分子
(或分
母
)
的符号是负号，应把负号提到分式的前
面；③约分。
( 2)
除法的运算步骤是：把除
式中的分子与分母颠倒位置后，
与被除式相
乘， 其它与乘法运算步骤相同。



当分式的分子、分母中有多项式，①先分
解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分
再计算.③如果分式的分子
(
或 分母
)
的符号是
负号时，应把负号提到分式的前面
.


最后的计算结果必须是最简分式或整式
.
3
、同分母分式加减法则是：同分 母的分式相加
减。分母不变，把分子相加减。
（表达式为：
a
c
±< br>b
a

c
=
b
c
）

4< br>、异分母的分式相加减法则是：先通分，化为
同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法
法则进行计算。
（表达式为：
a
c
ad
b
±
d< br>=
bd
±
bc
ad

bc
db
=< br>bd
）

怎样确定最简公分母：
我们在进行异分母的分式加减
时，最先要考虑的是找到几个异分母的最简公分母，
然后进行通分。怎样确定最简公分母呢？

（
1
）
、
算式中只有一项是分式，
最简公分母就是这个分式的分母。如算式
a

1

1
a

1
的最简公分母就是
a

1
。

（
2）
、算式中有几个分式相加减，分母互为相反数，
几个分式的公分母。

4
、分式的乘方：分式乘方，把分子、分母各自乘方。

最
简
公
分
母
可
取
其
中
任
何
一
个
分
母
。
如
算
式
a
a

2
b

b
2
b

a

3
b
a

2
b
的最简公分母可以是
a
–
2
b
，
也
可以是
2
b
–
a

。

（
3
）
、
当算式中的几个分母都是单项式时， 最简公分
母则取系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的
乘积。如算式
1
2
3
2
axy

3
bx
2

4xy
2
的最简公分母就是
12
abx
2
y
2< br>。

（
4
）
、
当算式中分式的几个分母都是多项式时 ，则先
把所有分母进行因式分解，
最简公分母则是每个因式
的
最
高< br>次
幂
的
乘
积
。
如
算
式
1< br>4
x
2

4
y
2

3
x< br>2
x
2

4
xy

2
y
2
的最简公分母是
4
（
x+y
）
(
x
–y
)
2

（
5
）
、
当算式中分式的分 子与分母都有公因式时，
可
以先把这个分式约分，再根据情况确定最简公分母。
如计算
x

2
x
2

2
x
x

2

x
2

4
时，如果直接通分，则显得有
点
繁
；
若
把
x
2

2
x
x
2

4
的
分
子
分
母
分
解
因
式
成
为
x
(
x

2
)
(
x

2
)(
x

2
)，再化简为
x
x

2
进行计算就简单得多，
其最简公分 母是
x
–
2
。

解方程过程中易犯的错误：
1、解方程时忘记检验；
2
、
去分母时忘记加括号；
3
、
去分母时漏乘不含分母的项
.
四、相关知识归纳：

1
、分式有意义和无意义的条件：

分式
A
B
有意 义的条件是：
B
≠
0
；
分式
A
B
无意义的 条件
是：
B=0
；

2
、分式的
A
B=0
的条件：
A=0
，并且
B
≠
0
，两者必须
同时满足。

3
、分式的加减运算的关键是通分，通分的关键是确定
5
、分式的符号法则：
A

A

A
A
B< br>=

B
=

B
=


B< br>
6
、解分式方程的一般步骤是：
（
1
）化分式方程为整式< br>方程；
（
2
）解整式方程；
（
3
）验根；

7
、注意：约分和运算的结果必须是最简分式或整式。



测

试

题

一、填空题（每小题
3
分，共
30
分）

1．若要使分式
x

3
x
2

6
x
9
有意义，则
x
的值应
为

．

2
．化简：
6
x
2
y
3< br>9
xy
2
z
=
．

3
．分式方程
x
x

1

2
3
的解是

．

2
4
．化简：
3
x

xy
9
x
2
< br>6
xy

y
2
=
．

1
1
5
．
已知
a+b
=2
，
a b
=3
，
则
a

b
=
．

6
．
2
y
1
x

2
y
x

y
，
x

y
，
x
2

y
2
的
最
简
公
分
母
是

．

7
．
已知
1
2
1
m
2

1

m

1

m

1
的值等于
0
，
则m
的值
是

．

8
．
请
写
出
一
个
根
为
1
的
分
式
方
程：

．

9
．若
1
a

1
b

1
b
a
a

b
，则
a

b
=
．

10.
数与数之间的关系非常奇妙．如：


①
1

1
1
2

2
，
②
2

2
4
3
9
3

3
，
③
3

4

4
，
……

根
据
式
中
所
蕴
含
的
规
律
可
知
第
n

个
式
子

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