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2021年1月30日发(作者：澳门风云3)





分式的性质及意义


一、目标与策略




明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！


学习目标：



理解分式的意义，会求使分式有意义的条件。



掌握分式的基本性质并能用它将分式变形。

重点难点：



重点：分式的意义及其基本性质。



难点：分式的变号法则。

学习策略：



通过 复习分数的概念，基本性质，通分和约分，总结出分式的相关知识。并在理解的相关知识的基础上，灵活应用分式的基本性质将分式变形或求值。


二、学习与应用



“凡事预则立，不预则废”
。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对

知识回顾——复习


学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？


（一）
分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘（或除以）一个











的数，分数的值不变。

（二）
最简分数：分子、分母互为










的分数叫做最简分数。

（三）
把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做











。

（四）
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做











。

（五）
单项式与多项式统称为











。

（六）
把一个多项式分解因式的主要方法：



















,

















等。

知识要点——预习和课堂学习



1
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己 预习的疑惑认真听
课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其 它补
充填在右栏。





知识点一：分式的概念

一般地，如果
A
、
B
表示两个











，并且






中含有字母，那么式子
A
B

叫做分式。其中
A
叫做











，
B
叫做











。

要点诠释：

（
1
）分式表示两个整式相除，其中分子为











，分母为











，分
a

b
数线起











和括号的作用。如
a

b
可以表示
(a
－
b)÷
(a+b)
；


（
2
）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的









一定含
有字母。

（
3
）
分式的分母表示










，
由于








不能为
0
，
所以分式的








不
能为
0
，即当








时，分式
A
B
才有意义；

（
4
）判断一 个代数式是否是分式，不能把原式变形
(
如约分等
)
后再看，而只能根
x
2
据它的






< br>面目进行判断。例如：对于
x
2
x
2
x
来说，
2
x

x
2
，我们不能因为
2
x
2








，就判 断
x
2
是
2
x
也是整式，事实上
2
x是
__________
。

知识点二：分式有意义、无意义，分式的值为零的条件

（一）
分式有意义的条件是分式的




















；

（二）
分式无意义的条件是分式的




















；

（三）
分式的值为零的条件是分式的








































。

要点诠释：
< br>（
1
）分母不为零是分式概念必不可少的组成部分，无论是分数还是分式，分母为






都没有意义。

（
2
）
分式分母的值不为
0
，
是指整个分母的值不为
0。
如果分母中的字母的值为
0
，
但整个分母的值不为
0
，则分式是有








的。

（
3
）分式的值为
0
，是在分式有








的条件下，再满足








的值为零。

2


x
（
4
）如果没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。例如在分式
3
ab
2中隐含
x
着








，即
a

0,
b

0
这一条件 ，也就是说分式
3
ab
2
中分母的值不为零。


知识点三：分式的基本性质

分式的分子与分母同乘
(
或除以
)
一个不等于
0
的









，分式的值不变，这个
性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：

A
A

M
A
A

M
B

B

M
,
B

B

M
(
其中M

0
)
。

要点诠释：

（
1
）运用分式的基本性质时，千万不能忽略
“
M

0
”< br>这一条件；如

1
2
2
x

1
< br>x

1
4
x
2

1
，变形时，必须 满足
















。

（
2
）分式的基本性质要求
“
同乘（或除以）一个不等于
0
的 整式
”
即分式的分子、
分母要做相同的变形，要防止只乘（或除以）分子
(< br>或分母
)
的错误；同时分子、分母都
乘（或除）以的整式必须













。

（
3
）在应用分式的基本性质进行分式变 形时，虽然分式的值不变，但分式中字母
的取值范围有可能发生










。如：
x
2

1
x
2

x

x

1
x
，在变形后，字母
x
的取值范
围变大了。

知识点四：分式的变号法则

一个分式的分子、
分母与分式本身的符号，
改变其中任何





个，
分式的值不变。

要点诠释：

（
1
）改变符号时应该是分子、分母






的符号，而不是分子、分母中某一项的
符号；

（2
）
一个分式的分子、
分母与分式本身的符号，
改变其中任何






个或





个，
得到的分式成为原分式的相反数。

知识点五：分式的约分

与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的












，不
改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

要点诠释：

3


（
1
）约分的依据是















；

（
2
）
约分的方法是：
先把分子、
分母















（分子、
分母是多项式时）
，
然后约去它们的公因式；

（
3
）找公因式的方法：先












，系数取最大












，字母（或字
母因式）取相同字母（或字母因式）的












次幂；

（
4
）约分要彻底，使分子、分母没有












，分子、分母没有公因式的分
式叫做















。

知识点六：分式的通分

与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的












，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同












的分式，这样的
分式变形叫做分式的通分。

要点诠释：

（
1
）通分的依据是














；

（
2
）通分的关键是寻求几个分式的














：

①最简公分母：
几个分式进行通分时，
通常取各分母所有因式的










次
幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母；

②寻求最简公分母应注意以下几点：

a
．
“各分母所有因式的最高 次幂”
是指凡出现的字母
（或含字母的式子）
为底数的幂选取指数









的；


b
．如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的














作
为最简公分母的系数；

c
．如果分母是多项式，一般应先














。

（
3
）通分的方法是：先求各分式的














，然后以每个分式的分母去除
这个最简公分母，用所得的商去乘分式的分子、分母。

知识点七：整式和分式

4



（一）
有理式的概念：
















和
















统称为有理式。

（二）
有理式的分类：


（三）
整式和分式的区别：

分式的本质特征是








中含有字母，而整式中不一定含有分母，如果整式中
含有分母，那么分母就不能含有








，只能是不为零的具体数。



经典例题
-
自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类 型题目的规律和技巧，然后完成举一反
三。若有其它补充可填在右栏空白处。


类型一：分式的定义

2
例
1
．
代数式
x

y
，
x

1
，
4
，
x

1
，
x

y
中，属于分式的是













。

x

1
x
2
2
3

思路点拨
：
要判断一个代数式是否是分式，
关键点：< br>（
1
）
代数式中必须有










；
（
2
）分母中必须含有










。注意分式的概念是针对原式，尽管 原式化简后可以
4
是整式的形式，但原式仍然是









。解答本题的易错点有两个：一个是

，分母
x
2

1
里的






是一个确定的值，不要把它当做字母处理了；另一个是
x
1
，虽然这个
式子的分子与分母能够约分化为整式，但它是一个








，因为它的









中含
有字母。

解析：

总结升华：





































































































































举一反三

【
变式
】
下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？

A
．
1
；

x

B
．
x
；

2

C
．
2
xy
x

y
；


D
．
3
x

y
.
3
答案
：


类型二：分式有意义

例
2
．
x
取何值时，下列分式无意义？

5


A
．
x
2

1
x

5

x

1

2
x


B
．
x

5
x

2



C
．
x
2

2


D
．
x
x

思路点拨：
分式无意义的条件是：












为
0
，与分式分子的值无关。

解析：






总结升华：
看一个代数式是不是分式，要看原来的 式子，将分式约分是可以的，但必
须有这个前提：








































。

例
3
．
若分式
1
x
2

2
x

m
不论
x
取何实数总有意义，则
m
的取值范围是（




）
。

A
．
m

1


B
．
m

1


C
．
m

1


D
．
m

1

思路点拨
：解决此类问题要 遵从一个原则，即不论分母是一个字母、一个单项式还是
一个多项式，都要考虑










不为
0
这个条件，也就是说，使分式有意义的条件
是分式的










不为
0
。

解析
：



总结升华：




































































































































举一反三

【
变式
1< br>】
当
x
取什么值时，下列分式有意义？




（
1
）
x
x

2
；


（
2
）
x

1
4
x

1
。

答案：



☆【
变式< br>2
】
当
x
取何值时，分式
x
2

6
x

7
x
2

7
x

6
有意义？


答案
：


6

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