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2021年1月30日发(作者：精致的意思)
第十五章

分

式

15.1.1
从分数到分式

教学目标
:
1
．了解分式的概念，能用 分式表示实际问题中的数量关系．
2
．能确定分式有意义
的条件．

教学重、难点
:
分式的概念

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

章引言
:

一艘轮船在静水中的最大航速为
30
km/h
，
它沿江以最大航速顺流航行
90
km
所用时间，
与以最大航速逆流航行
60 km
所用时间相等，江水的流速为多少？

问题
1
顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船

在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？

问题
2
这个问题的等量关系是什么？

顺流航行
90 km
所用时间
=
逆流航行
60 km
所用时间．

问题
3
应怎样设未知数？如何根据等量关系列出方程？

解：设江水的流速为
v
km/h.
依题意得：
追问

式子

与分数有什么相同点和不同点？它们与你学过的整式有什么不
同？

问题
4
填空：

2
（
1
）长方形的面积为
10
cm
，长为
7
cm
，宽应为
cm
；长方形的面积为
S
，长为
a
，宽应为
cm.
3
2
（
2
）把体积为
200 cm
的水倒入底面积为
33 cm
的圆柱形容器中，水面高度为

cm
；把体积为
V
的水倒入底面积为
S
的圆柱形容器中，水面高度为
.
追问
1
上面问题中得到的式子
，
，
，
哪些不是我们学过的整式？

追问
2
式子
的特征？

二、
知识应用，巩固提高

分式的定义：

，
，< br>与以前学过的整式不同，这些代数式有什么共同
一般地，
如果
A
，B
表示两个整式，
并且
B
中含有字母，
那么式子
叫 做分式
（
fraction
）
.
分式
中，
A
叫做分子，
B
叫做分母
.


1
识别分式

例题：下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？

x2

2
x

1
x
1
x
42
a

5
m

n
，
，
2，
，
2
，
，

2
，
c


a

b


2
x

y
x
3
3
b

5
3
x

2
x

1
m

n
练习：
下列式子：
3
a

2
b
，
x

1
a

b
7
，
，
，
6


a

b

中，
分式的个数是
（

）

2
3
x
x
1
A
．
2
个
B
．
3
个
C
．
4
个
D
．
5
个

分式有意义的条件

2
有意义；

3
x
x
②当
x

时，分式
有意义；

x

1
1
③当
x

时，分式
有意义；

5

3
x
①当
x

时，分式
④当
x
、
y
满足关系

时，分式
x

y
有意义
.
x

y
练习：下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？

①
1
2
x

1
2
m
2

②

③

④

⑤
2

x

y
a
x

1
3
m

2
x

1
一．选择题：

1
．下列各式中，是分式的是（

）

A
．
3
x

x

1
B
．
2
x

2
2
x

3
1
C
．
D
．

2
x

1


3
x

1
4
2
．把
a

b

c
写成分式的形式，正确的是（

）

a

b
b
a
b
a
B
．
a

C
．

D
．

c
c
c
c
b

c
3
．原计划
m
天制造
80
件产品，现需要提前
1
天 完成，则实际每天生产的件数为（

）

80
80
80
80
A
．
B
．
C
．
D
．
m


n
m

n
m

n
n

m
A
．
x
2

y
2
1
4
x
1
5
x
4
．下列各式 ：

1

x

，
，
，
，
，其中分式的个数为（

）

2
5

< br>3
x
x

1
A
．
2
个
B
．
3
个
C
．
4
个
D
．
5
个

x
有意义，则
x
的取值范围为（

）

2
x

1
A
．
x

1
B
．
x


1
C
．
x

1
或
x


1
D
．全体实数

二．填空题：

6
．请你写出一个含有字母
a
和
b
得分式：
.
7
．甲、乙两地相距
150
千米，某人骑车从甲地到乙地需
a< br>小时，现需提前
1
小时到达，则
5
．分式
骑车的速度每小时应 为

千米
.

2
x
有意义，则
x
的取值范围为

.

x
2

16
三．题型拓展：
分式的值

8
．若分式
1
．分式的值为
0
：对于
A
来说，
A

0
且
B

0

B
x

1
x
2

4
2
x

4
⑴若分式
的值为
0
，

⑵若分式
的值为
0
，

⑶若分式
的
x

1
x

2
x

1
值为
0
，

求
x
的值
.
求
x
的值
.
求
x
的值
.




2
．分式的值为正数：

练习⑴若分式

A

0

A

0

A

0

A

0
或


；分式的值为负数：

或



B
0

B

0

B

0
B

0
2
a

2
x

1的值为正数，

⑵若分式
的值为非正数，

3
a

9
2< br>x

5
求
a
的取值范围
.
求
x
的取值范围














3
15.1.2
分式的基本性质

教学目标

1
．了解分式的基本性质，体会类比的思想方法．

2
．掌握分式的约分，了解最简分式的概念．

教学重、难点

分式的基本性质和分式的约分

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

问题
1
下列分数是否相等？



分数的基本性质：

一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为
0
的数，分数的值不变．

分式的基本性质：

分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于
0
的

整式，分式的值不变．


二、
知识应用，巩固提高

（
1
）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算；

（
2
）所乘（或除以）的必须是同一
个整式；
（
3
）所乘（或除以）的 整式应该不等于零
.
例
1
填空：


根据分式的基本性质，
把一个分式的分子与分母的公因式约去，
叫做分式的约分．
经过
约分后的分式，
其分子与分母没有公因式．
像这样分子与分母没有公因式的式子，
叫做
最简
分式
．

例
3
约分
:









4
x
2

xy
x
2

y
2

x

y

y
2
bc
练习：
约分：⑴

⑵

⑶

⑷

2
2
2
a c
xy

x

y


x

y




四．专题练习：

1
．确定 分式的符号：⑴

5
y

x

a
4
m

⑵

⑶

⑷



25
x
2
2
b
2
．相反数的互换：⑴
a

2


____

2

a


练习：约分：⑴
2

a
9

a
2
a
2

4

⑵

a
2

3
a




⑷
9

a
2
a
2

6
a

9














5

3
n
⑵

a

2


____

a

2


⑶
m< br>2

7
m
49

m
2

2
y
15.1.2
分式的基本性质

教学目标

1
．了解最简公分母的概念，会确定最简公分母
. 2
．通过类比分数的通分 来探索分
式的通分，能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想
.

教学重、难点

准确确定分式的最简公分母

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

问题
1
填空：


像这样，
根据分式的基本性质，
把几个异分母的 分式分别化成与原来的分式相等的同分
母的分式，叫做
分式的通分
.


为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，
它叫做最简公分母
.

最简公分母的确定方法：取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积．


分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，< br>最后确定最简公分母．

二、
知识应用，巩固提高

例

通分：












6
15.2.1
分式的乘除

教学目标
:
1
．理解分式的乘除法法则，体会类比的思想
. 2
．会根据分式的乘除法法则进行简单
的运算，并理解其算理

教学重、难点
:
分式的乘除法法则的运用

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣


计算：




二、
知识应用，巩固提高



式乘法法则
：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积为积的分母
.
除法法则：

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
.
例
1
计算：





分子与分母都是单项式的两个分式如何乘除？

二、
知识应用，巩固提高

例
1
计算：







分子或分母是多项式的两个分式如何乘除呢？

解题策略：

对于分 子与分母都是单项式的两个分式乘除，可直接利用分式的乘除法法则，
再根据分式的基本性质进行约分，
将最后的结果化成最简分式．
而对于分子或分母中含有多
项式的两个分式相乘，
为了使算式简洁，
也便于找出分子与分母中的公因式，
需要先将多项
式因式分解，< br>把多项式化成整式的积的形式，
然后利用分式的乘除法法则进行运算，
利用分
式 的基本性质进行约分，并把最后的结果化成最简分式．

总结步骤：⑴确定符号；⑵除法转化为 乘法；⑶因式分解；⑷运用乘法法则计算；⑸约分
为最简分式




7
练习：
计算：⑴

2
y
2
3
xy




3
x




12
xy
3
a
16
b

2ab

4
xy
2

⑶


2

⑵

8
x
y

⑷
2
2
4
b
9
a
5
a
3
x
y
5
ab





a
2
4
a

4
a

1
1
1
2：
计算：⑴
2

⑵

< br>2

2
2
a

2
a

1< br>a

4
49

m
m

7
m




3
a

3
b
2 5
a
2
b
3
x
2

4
x

4
1

2


练习：
1
．计算：⑴

⑵2
2
10
ab
a

b
x
x

2
x




x
2

4
y
2
x

2
y
x
2

2
x

1
x

1


⑶

⑷

x
2

2
xy

y
2
2
x
2

2
xy
x
2

1
x
2

x




x
2

2
xy

y
2
1
x
2
1
1
1

其中
x

2
，< br>
2
．化简求值：⑴
2
其中
x





⑵
x
2
x
2

xy< br>x

2
x

1
2
x

2< br>y


1







8
15.2.1
分式的乘方

教学目标
< br>1.
理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算，体会数式通性
.2.
能根据混
合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算
.

教学重、难点

分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

思考

你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？

（
a
2
a
3
a
10
）
=
？

（
）
=
？

（
）
=
？
b
b
b

n

a

猜想：
n
为正整数时



?
你能写出推导过程吗？试试看．


b

你能用文字语言叙 述得到的结论吗？分式的乘方法则：一般地，当
n
是正整数时，



这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．

二、
知识应用，巩固提高

例
2
计算：




例
3
计算：




2


2
a
2
b


a
2
b

2
a

c




计算：
（
1
）




3
c


（2
）


cd
3


d
3< br>

2
a





< br>2
3







2< br>x
4
y
2
（
3
）


3< br>z

3


2
ab
3

6
a
4


3
c



（
4
）





2


c
2
d


b
3



b





3
2

9

15.2.2
分式的加减

教学目标
1
．理解分式的加减法法则，体会类比思想．
2
．会运用法则进行分式的加减运算，
体会化归思想．

教学重、难点

分式的加减法法则

教学过程设计
分式的加减法与分数的加减法类似，
它们实质相同．
观察下列分数加减运算的式子，
你
能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？


分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．


二、
知识应用，巩固提高

例

计算：

1
1
（
2
）
+
．
2
p
+
3
q
2
p
-
3
q





练习：⑴



⑶x

1
1
a
2
a
3
a



⑵


b

1
b

1
b

1
x
x
3
2
m

n
1
1


⑷


2
2
2
2
m
n
2
c
d
3
cd

2
m
< br>n



⑸


⑺若
a< br>
b
，请你探究
a
1
1
1


⑹

2
2
a

b
n
n

1
a

b
1
1
与
的大小关系

a
b
10

15.2.2
分式的混合运算

教学目标

1
．理解分式混合运算的顺序．
2
．会正确进行分式的混合运算．

3
．体会类比方法在研究分式混合运算过程中的重要价值．

教学重、难点

分式的混合运算．

教学过程设计

一、创设问题，激发兴趣

问题

数的混合运算的顺序是什么
．

例
1
计算：




对于不带括号的分式混合运算：
（
1
）运算 顺序：先乘方，再乘除，然后加减；

（
2
）计算结果要化为最简分式．

二、知识应用，巩固提高

例
2
计算：

< br>5

2
m
-
4
（）　
1

m
+
2
+


3
-
m
；
2
-
m



x
+
2
x
-
1

x
-
4
（
2
）　
-

x
2
-
2
x
x
2
-
4
x
+
4


x
．





对于带括号的分式混合运算：
（
1
）将各分式的分子、 分母分解因式后，再进行计算；

（
2
）注意处理好每一步运算中遇到的符号 ；
（
3
）计算结果要化为最简分式．

三、应用提高、拓展创新

练习
1
计算：













11

-

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-

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