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2021年1月30日发(作者：父亲爸爸爹)

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如图，在直角坐标系中，抛物线
y=ax
+bx+c< br>（
a
≠
0
）与
x
轴交于点
A
（﹣< br>1
，
0
）
、
B
（
3
，
0< br>）两点，抛物线交
y
轴于
点
C
（
0
，
3
）
，点
D
为抛物线的顶点．直线
y=x
﹣
1< br>交抛物线于点
M
、
N
两点，过线段
MN
上一点
P
作
y
轴的平行
线交抛物线于点
Q
．

（
1
）求此抛物线的解析式及顶点
D
的坐标；

（
2
）问点
P
在何处时，线段
PQ
最长，最长为多少；

（
3
）设
E
为线段
OC
上的三等分点，连接< br>EP
，
EQ
，若
EP=EQ
，求点
P
的坐标 ．

2


考点
：

二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；两点间的距离；等腰三角形的判定．

分析：

（
1
）直接利用待定系数法将
A
、
B
、
C
的坐标代入抛物线
y=ax
2
+bx+c
（
a
≠
0
）就可以求出抛物线的解析式．

（
2< br>）根据抛物线的解析式和直线的解析式及
PQ
⊥
x
轴可以设出
P
点的横坐标，从而可以表示出
P
、
Q
的坐
标，
再 利用
P
、
Q
的纵坐标之差表示出
PQ
的长，
最后利 用抛物线的最值就可以求出
PQ
的值及
P
点的坐标．

（< br>3
）由条件求出
E
点的坐标，再由条件表示出
P
、
Q
的坐标，然后根据两点间的距离公式就可以分情况求
出点
P
的坐标．

2
解答：

解：
（
1
）∵
抛物线
y=ax
+bx+c
（
a
≠
0
）与
x
轴交 于点
A
（﹣
1
，
0
）
、
B
（3
，
0
）两点，交
y
轴于点
C
（
0< br>，
3
）
，
由题意，得

，

解得：

2
∴
抛物线的解析式为：
y=
﹣
x
+2x+3
，

2
∴
y=
﹣（
x
﹣
1
）
+4
，

∴
D
（
1
，
4
）
；


（
2
）∵
PQ
⊥
x
轴，

∴
P
、
Q
的横坐标相同，

∵
P
点在直线
y=x
﹣
1
上，设
P
（
a
，a
﹣
1
）
，则
Q
（
a
，﹣
a
+2a+3
）
，

2
2
∴
PQ=
﹣
a
+2a+3
﹣
a+1=
﹣
a
+a+4
，

∴
PQ=
﹣（
a
﹣
）
+
2< br>2
，

，则
P
点坐标为（
，﹣
）
；

∴
当
a=
时，线段
PQ
最长为

（
3
）∵
E
为线段
OC
上的三等分点，且
OC=3
，

∴
E
（
0
，
1
）或
E
（
0
，
2
）
，

2
设
P
（
p
，
p
﹣
1
）
（在
y=x
﹣
1
上）
，则
Q
（
p
，﹣
p
+2p +3
）
．

当
E
（
0
，
1
）时，



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