-

2021年1月30日发(作者：活动公司)
重
庆
中
考
材
料
阅
读
题
分
类
讲
练
（
含
答
案
）

类型
1
代数型新定义问题


例
1
【2 017·重庆
A
】对任意一个三位数
n
，如果
n
满足各数位 上的数字互不相同，且都不
为零，
那么称这个数为“相异数”．
将一个“相异数”任意 两个数位上的数字对调后可以得
到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与
111
的商记为
F(n)
．例如
n
＝
123
，对调
百位 与十位上的数字得到
213
，对调百位与个位上的数字得到
321
，对调十位 与个位上的数
字得到
132
，这三个新三位数的和为
213
＋
321
＋
132
＝
666
，
666
÷
1 11
＝
6
，所以，
F(123)
＝
6.
(1)
计算：
F(243)
，
F(617)
；
< br>(2)
若
s
，
t
都是“相异数”，其中
s
＝
100x
＋
32
，
t
＝
150
＋y(1≤ x≤9，
1
≤
y
≤
9
，
x
，
y< br>都是
F
(
s
)
正整数
)
，规定：
k
＝
.
当
F(s)
＋
F(t)
＝
18
时，求
k
的最大值．

F
(
t
)
针对训练

1
．对于一个两位正 整数
xy
(0≤y≤x≤9，且
x
、
y
为正整数
)
，我们把十位上的数与个位上
的数的平方和叫做
t
的“平方和数”，
把十位上的数与个位上的数的平方差叫做
t
的“平方
差数”．例如：对数
62
来说，
6
2
＋
2
2
＝
40
，6
2
－
2
2
＝
32
，所以
40
和
32
就分别是
62
的“平方
和数”与“平方差数”．

(1)75
的“平方和数”是
________
，
5
可以是
________
的“平方差数”；若一个数的“平方
和数”为
10
，它的“平方差数”为
8
，则这个数是
________
．

(2)
求证：当
x≤9，
y
≤
8
时，
t
的
2
倍减去
t
的“平方差数”再减去
99
所得结果也是另一
个数的“平方差数”．

(3)
将数
t
的十位上的数与个位 上的数交换得到数
t′，
若
t
与
t
的“平方和数”之和等于
t′
与
t′的“平方差数”之和，求
t.
2
．将一个三位 正整数
n
各数位上的数字重新排列后
(
含
n
本身
)
．得到新三位数
abc(a
＜
c)
，
在所有重新排列中，< br>当
|
a
＋
c
－
2b
|
最小时，我们称
abc
是
n
的“调和优选数”，
并规定
F(n)
＝
b
2
－
ac.
例如
215
可以重新排列 为
125
、
152
、
215
，因为
|
1< br>＋
5
－2×2
|
＝
2
，
|
1
＋
2
－2×5
|
|
2
＋
5
－2×1|
＝
5
，
＝
7
，
且
2
＜5
＜
7
，
所以
125
是
215
的“调 和优选数”，
F(215)
＝
2
2
－1×5
＝－
1 .
(1)F(236)
＝
________
；

(2)< br>如果在正整数
n
三个数位上的数字中，有一个数是另外两个数的平均数，求证：
F(n)
是
一个完全平方数；

(3)
设三位自然数
t＝
100x
＋
60
＋y(1≤x≤9，
1
≤
y
≤
9
，
x
，
y
为自然数
)
，交换 其个位上的数
字与百位上的数字得到数
t′.若
t
－t′＝
693< br>，
那么我们称
t
为“和顺数”．
求所有“和顺
数”中
F(t)
的最大值．

3
．进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法． 对于任何一种进制——
X
进制，就表
示某一位置上的数运算时是逢
X
进一位．十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进
制就是逢二进一，以此类推，
X进制就是逢
X
进一．为与十进制进行区分，我们常把用
X
进
制表 示的数
a
写成
(a)
X
.
类比于十进制，我们可以知道：
X
进制表示的数
(1111)
X
中，右起第一位上的
1表示
1×
X
0
，
第二位上的
1
表示
1 ×
X
1
，
第三位上的
1
表示
1×
X
2
，
第四位上的
1
表示
1×
X
3
.故
(1111)
X
＝1×
X
3
＋1×
X
2
＋
1
×
X
1
＋1×
X
0
，即 ：
(1111)
X
转化为十进制表示的数为
X
3
＋
X
2
＋
X
1
＋
X
0
.
如：
(1111)
2
＝1×2
3
＋1×2
2
＋
1×
2
1
＋1×2
0
＝
15
，
(111 1)
5
＝1×5
3
＋1×5
2
＋1×
5
1
＋
1
×
5
0
＝
156.
根据材料，
完成以下问题：

(1)
把下列进制表示的数转化为十进制表示的数：
< br>(101011)
2
＝
________
；
(302)
4
＝
________
；
(257)
7
＝
___ _____
(2)
若一个五进制三位数
(a4b)
5
与八进制三位 数
(ba4)
8
之和能被
13
整除(1≤a≤5，
1
≤
b
≤
5
，
且
a
、
b
均为整数
)
，求
a
的值；

(3)
若一个六进制数与一个八 进制数之和为
666
，则称这两个数互为“如意数”，试判断
(mm1)
6< br>与
(nn5)
8
是否互为“如意数”？若是，求出这两个数；若不是，说明理由 ．

4.
我们知道，
任意一个正整数
n
都可以进行这样的分 解：
n
＝p×q(p，
q
是正整数，
且
p≤q)，
在
n
的所有这种分解中，如果
p
，
q
两因数之差的绝对值最 小，我们就称
p×q
是
n
的最佳分
p
解．并规定：
F(n)
＝
.
例如
12
可以分解成
1×
12
，
2
×
6
或
3×4，因为
12
－
1＞
6
－
2
＞
4
－
3
，
q3
所以
3×4
是
12
的最佳分解，所以
F(12)＝
.
4
(1)
如果一个正整数
m
是另外一个正整数< br>n
的平方，我们称正整数
m
是完全平方数．

求证：对任意一个完全平方数
m
，总有
F(m)
＝
1. < br>(2)
如果一个两位正整数
t
，
t
＝
10x
＋y(1≤x≤y≤9，
x
，
y
为自然数
)
，交换其个位上 的数与
十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为
36
，那么我们称这个 数
t
为“吉
祥数”，求所有“吉祥数”；

(3)
在
(2)
所得的“吉祥数”中，求
F(t)
的最大值．

类型
2
函数型新定义问题


例
2
已 知一个大于
1
的正整数
t
可以分解成
t
＝
ac＋
b
2
的形式
(
其中
a≤c，
a
，< br>b
，
c
均为正
整数
)
，在
t
的所有 表示结果中，当
bc
－
ba
取得最小值时，称“ac＋
b
2
”是
t
的“等比中项
分解”，
此时规定：
P(t)
＝
b
＋
c
，
例如：
7
＝1×6＋
1
2
＝2×3＋
1
2
＝1×3＋
2
2
，
1
×
6
－1×1
2
（
a
＋
b
）2
＞2×3－2×1＞1×3－1×2，所以
2×3＋
1
2
是< br>7
的“等比中项分解”，
P(7)
＝
.
3
(1)< br>若一个正整数
q
＝
m
2
＋
n
2
，其 中
m
、
n
为正整数，则称
q
为“伪完全平方数”，证明：对
1
任意一个“伪完全平方数”q
都有
Ρ
(q)
＝
.
2
(2)
若一个两位数
s
＝
10x
＋
y(
1≤y≤x≤5，且
x
，
y
均为自然数
)
，交换原 数十位上的数字和
个位上的数字得到的新数的两倍再加上原数的
14
倍，
结果 被
8
除余
4
，
称这样的数
s
为“幸
福数” ，求所有“幸福数”的
P(s)
的最大值．

针对训练

1.
如果关于
x
的一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
0
有两个实数根，
且其中一个根为另一个根的
2
倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：

①方程
x
2
－
x
－
2
＝
0
是倍根方程；

②若
(x
－
2)(mx
＋
n)
＝
0
是倍根方程，则
4m
2
＋
5mn
＋
n
2
＝
0
；

2
③若点
(p
，
q)
在反比例函数
y
＝
的图象上，则关于
x
的方程
px
2
＋
3x
＋
q
＝
0
是倍根方程．

x
其中正确的是
________
．
(
写出所有正确说法的 序号
)
2.
先阅读下列材料，再解答下列问题：

材料：因式分 解：
(x
＋
y)
2
＋
2(x
＋
y)
＋
1.
解：将“x＋y”看成整体，令
x
＋
y
＝
A
，则原式＝
A
2
＋
2A
＋
1
＝
(A
＋
1)
2
.
再将“A”还原，得原式＝
(x
＋
y
＋
1)
2
.
上述解题中用到的是“整体思想”，< br>整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，
请你解答
下列问题：

( 1)
因式分解：
1
＋
2(x
－
y)
＋
(x
－
y)
2
＝
________
；

(2)
因式分解：
(a
＋
b)(a
＋
b
－
4)< br>＋
4
＝
________
；

(3)
证明： 若
n
为正整数，则式子
(n
＋
1)(n
＋
2)(n
2
＋
3n)
＋
1
的值一定是某一个整数的平方．

3.
若三个非零实数
x
，
y
，
z
满足： 只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则
称这三个实数
x
，
y< br>，
z
构成“和谐三数组”．

(1)
实数
1
，
2
，
3
可以构成“和谐三数组”吗？请说明理由；

k< br>(2)
若
M(t
，
y
1
)
，
N(t
＋
1
，
y
2
)
，
R(t
＋
3
，
y
3
)
三点均在函数
y
＝
(k为常数，
k
≠
0)
的图象上，
x
且这三点的纵坐标y
1
，
y
2
，
y
3
构成“和谐三数组 ”，求实数
t
的值；

(3)
若直线
y
＝
2bx
＋2c(bc≠0)与
x
轴交于点
A(x
1
，
0)
，与抛物线
y
＝
ax
2
＋
3bx
＋ 3c(a≠0)交
于
B(x
2
，
y
2
)
，
C(x
3
，
y
3
)
两点．

①求 证：
A
，
B
，
C
三点的横坐标
x
1
，
x
2
，
x
3
构成“和谐三数组”；

c
b
②若
a
＞
2b
＞
3c
，
x< br>2
＝
1
，求点
P(
，
)
与原点
O< br>的距离
OP
的取值范围．

a
a
4
．若一个 整数能表示成
a
2
＋
b
2
(a
，
b
是整数
)
的形式，则称这个数为“完美数”．例如，
5
是“完美数”，因为
5
＝
2
2
＋
1
2
.
再如，
M
＝
x
2
＋
2xy
＋
2y
2
＝
(x
＋
y)
2
＋
y
2
(x
，y
是整数
)
，所以
M
也是“完美数”．

(1 )
请你再写一个小于
10
的“完美数”，并判断
29
是否为“完美数 ”．

(2)
已知
S
＝
x
2
＋
4 y
2
＋
4x
－
12y
＋
k(x
，
y
是整数，
k
是常数
)
，要使
S
为“完美数”，试 求出
符合条件的一个
k
值，并说明理由．

(3)
如果数< br>m
，
n
都是“完美数”，试说明
mn
也是“完美数”．

5.
若将自然数中能被
3
整除的数，在数轴上的对应点称为“3
倍点”P，取任意的一个“3
倍点”P，到点
P
距离为
1
的点所对 应的数分别记为
a
，
b.
定义：若数
K
＝
a
2
＋
b
2
－
ab
，则称
数
K
为 “尼尔数”．例如：若
P
所表示的数为
3
，则
a
＝
2
，
b
＝
4
，那么
K
＝
2
2＋
4
2
－2×4＝
12
；若
P
所表示的数为< br>12
，则
a
＝
11
，
b
＝
13，那么
K
＝
13
2
＋
11
2
－13× 11＝
147
，所以
12
，
147
是“尼尔数”．

(1)
请直接判断
6
和
39
是不是“尼尔数”，并且证明所 有“尼尔数”一定被
9
除余
3
；

(2)
已知两个“尼尔数”的差是
189
，求这两个“尼尔数”．

类型
3
整除问题

例
3
我们知道，任意一个大 于
1
的正整数
n
都可以进行这样的分解：
n
＝
p< br>＋
q(p
、
q
是正整
数，且
p≤q)，在
n
的所有这种分解中，如果
p
、
q
两数的乘积最大，我们就称
p
＋
q
是
n
的
最佳分解．并规定在最佳分解时：
F (n)
＝
pq.
例如
6
可以分解成
1
＋
5
或
2
＋
4
或
3
＋
3
，因为
1×5<2×4<3×3，所以
3
＋
3
是
6
的最佳分解， 所以
F(6)
＝3×3＝
9.
(1)
求
F(11)
的值；

(2)
一个正整数， 由
N
个数字组成，若从左向右它的第一位数能被
1
整除，它的前两位数被2
除余
1
，
前三位数被
3
除余
2
，< br>前四位数被
4
除余
3
，
…，
一直到前
N位数被
N
除余
(N
－
1)
，
我们称这样的数为 “多余数”．如：
236
的第一位数“2”能被
1
整除，前两位数“23”被
2
除余
1
，
“
236
”
被
3除余
2
，
则
236
是一个“多余数”．
若把一个小于< br>200
的三位“多余数”
记为
t
，
它的各位数字之和再加1
为一个完全平方数，
请求出所有“多余数”中
F(t)
的最大
值．

针对训练

1.
一个正整数，由
N
个数字 组成，若从左向右它的第一位数可以被
1
整除，它的前两位数
可以被
2
整除，前三位数可以被
3
整除，…，一直到前
N
位数可以被
N整除，则这样的数叫
做“精巧数”．
如：
123
的第一位数“1”可以被
1
整除，
前两位数“12”可以被
2
整除，
“
12 3”
可以被
3
整除，则
123
是一个“精巧数”．

(1)
若四位数
123k
是一个“精巧数”，求
k
的值；

(2)
若一个三位“精巧数”
2ab
各位数字之和为一个完全平方数，请求出 所有满足条件的三
位“精巧数”．

2.
人和人之间讲友情，有趣的是，数 与数之间也有相类似的关系．若两个不同的自然数的
所有真因数
(
即除了自身以外的正 因数
)
之和相等，我们称这两个数为“亲和数”．例如：
18
的正因数有1
、
2
、
3
、
6
、
9
、18
，它的真因数之和为
1
＋
2
＋
3
＋
6
＋
9
＝
21
；
51
的正因数有
1、
3
、
17
、
51
，它的真因数之和为
1＋
3
＋
17
＝
21
，所以称
18
和< br>51
为“亲和数”．数还可以与
动物形象地联系起来，
我们称一个两头
(
首位与末位
)
都是
1
的数为“两头蛇数”．
例如：
121
、
1351
等．

(1)8
的真因数之和为
________
；求证：一个四位的“两头蛇数”与它去掉两头后得到的两
位数的
3
倍的差，能被
7
整除；

(2)
一个百位上的数为
4
的五位“两头蛇数”能被
16
的“亲和数”整除，
若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的五位“两头蛇数”
．

x
2
－
x
＋
3
3.
材料
1：将分式
拆分成一个整式与一个分式
(
分子为整数
)
的和的形式 ．

x
＋
1
x
2
－
x
＋
3
x
（
x
＋
1
）－
2
（
x
＋
1
）＋
5
x
（
x
＋
1
）2
（
x
＋
1
）
5
5
解：
＝< br>＝
－
＋
＝
x
－
2
＋
，
< br>x
＋
1
x
＋
1
x
＋
1
x< br>＋
1
x
＋
1
x
＋
1
x
2< br>－
x
＋
3
5
这样，分式
就拆分成一个整式
x
－
2
与一个分式
的和的形式．

x
＋
1< br>x
＋
1
材料
2
：已知一个能被
11
整除的个 位与百位相同的三位整数
100x
＋
10y
＋
x
，且
1≤x≤4，
求
y
与
x
的函数关系式．

解：∵
101x
＋
10y
99x
＋
11y
＋
2x
－
y
2x
－
y
＝
＝
9x
＋
y
＋
，

11
11
11
2x
－
y
又∵1≤x≤4，
0
≤
y
≤
9
，∴－7≤2x－ y≤8，还要使
为整数，

11
∴
2x
－
y
＝
0.
x
2< br>＋
6x
－
3
(1)
将分式
拆分成一个整式与一个分子 为整数的分式的和的形式，则结果为
x
－
1
_______________ ____
；

2x
2
＋
5x
－
20
(2)
已知整数
x
使分式
的值为整数，则满足条件的整数
x
＝
_________________
；

x
－
3(3)
已知一个六位整数
20xy17
能被
33
整除，求满足条 件的
x
，
y
的值．

4.
在任意
n(n >1
且
n
为整数
)
位正整数
K
的首位后添加
6
得到的新数叫做
K
的“顺数”，
在
K
的末位前添加6
得到的新数叫做
K
的“逆数”．若
K
的“顺数”与“逆数”之 差能被
17
整除，称
K
是“最佳拍档数”．比如
1324
的 “顺数”为
16324
，
1324
的“逆数”为
13264
，
1324
的“顺数”与“逆数”之差为
16324
－
13264< br>＝
3060
，
3060
÷
17
＝
180，
所以
1324
是“最
佳拍档数”．

(1)
请根据以上方法判断
31568________(
填“是”或“不是”)“最佳拍档数”；若一个首位
是
5
的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为
8
，且百位数字不小于十位数
字，求所有符合条件的
N
的值；
< br>(2)
证明：任意三位或三位以上的正整数
K
的“顺数”与“逆数”之差一定能 被
30
整除．

a
5.
若整数
a
能被整 数
b
整除，则一定存在整数
n
，使得
＝
n
，即a
＝
bn.
例如：若整数
a
能
b
被整数
7
整除，则一定存在整数
n
，使得
a
＝
7n.
(1)
将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若
所 得之差能被
7
整除，
则原多位自然数一定能被
7
整除．
例如 ：
将数字
1078
分解为
8
和
107
，
1 07
－8×2＝
91
，因为
91
能被
7
整除，所以
1078
能被
7
整除，请你证明任意一个三位数都
满足上述规律．< br>
(2)
若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的
k(k
为
正整数，
1
≤
k
≤
5)
倍，所得之和能被
13
整除，求当
k
为何值时使得原多位自然数一定能被13
整除．

参考答案

例
1.
解：
(1)
F
(243)
＝
(423
＋
342
＋23 4)÷111＝
9
，

F
(617)
＝
(167< br>＋
716
＋671)÷111＝
14.
(2)∵
s
，
t
都是“相异数”，

∴
F
(
s
)
＝
(302
＋
10
x
＋< br>230
＋
x
＋
100
x
＋23)÷111＝
x
＋
5
，

F
(
t
)
＝
(510
＋
y
＋
100
y
＋
51
＋
105
＋
10
y
)÷111＝
y
＋
6
，

∵
F
(
s
)
＋
F
(
t
)
＝
18
，∴
x
＋
5
＋
y
＋
6
＝
x
＋
y
＋
11
＝
18< br>，∴
x
＋
y
＝
7
，∵
1
≤
x
≤
9
，
1
≤
y
≤
9
，
x
，

x
＝
1
，

x
＝
2
，

x
＝
3
，

x
＝
4
，

x
＝
5
，

x
＝
6
，
y
都是正整数，∴

或

或

或

或

或



y
＝
6

y
＝
5

y
＝
4

y
＝
3

y
＝
2

y
＝
1.
（
2
）∵
s
是“相异数”，∴
x
≠
2
，
x
≠
3
，∵
t
是“相异数”，

x
＝
1
，

x
＝
4
，
x
＝
5
，
∴
y
≠
1
，y
≠
5
，∴

或

或

< br>
y
＝
6

y
＝
3

y< br>＝
2.


F
(
s
)
＝
6
，


F
(
s
)
＝
9
，


F
(
s
)
＝
10
，
∴

或

或


t
t
t
(
)
(
)
(
)

F

F

F
＝
12
＝
9
＝
8.


F
(
s
)
1
F
(
s
)F
(
s
)
5
∴
k
＝
＝
或k
＝
＝
1
或
k
＝
＝
，
F
(
t
)
2
F
(
t
)
F(
t
)
4
5
∴
k
的最大值为
.
4
针对训练

1
解：
（
1
）
74
；
32
；
31

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