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2021年1月30日发(作者：坪坝意思)



三角形五大模型




【专题知识点概述】

本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识，旨在提高学生 对该部分
知识的综合运用能力。

重点模型重温


一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

A
B
s
1
a
s
2
b
如右图
S
1
:
S
2

a
:
b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图
S
△
ACD
反之，如果
S
△
ACD
S
△
BCD
，则可知直线

S
△
BCD
；

C
D
平行于
CD
．

④等底等高的 两个平行四边形面积相等
(
长方形和正方形可以看作特殊的平行四
边形
)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个 平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，
面积比等于它们的高之比．


二、等分点结论（“鸟头定理”）


如图，三角形
AED
占三角形
ABC
面积的











三、任意四边形中的比例关系

（“蝴蝶定理”）


①

S
1
︰
S
2
=S
4
︰
S
3

或者
S
1
×
S
3
=S
2
×
S
4



②
< br>②
AO
︰
OC=
（
S
1
+S
2）
︰
（
S
4
+S
3
）


2
1
1
×
=


3
4
6
A
s
2
B
D
s
1
O
S
3
C
S
4
梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）


①

S
1
︰
S
3
=a
2
︰
b
2

s
2
a
s
1
S
4
S
3
b
②
S
1
︰
S
3
︰
S
2
︰
S
4
= a
2
︰
b
2
︰
ab
︰
ab








③
S
的对应份数为（
a+b
）
2


模型四：相似三角形性质

如何判断相似

(1)
相似的基本概念：

两个三角形对应边城比例，对应角相等。

(2)
判断相似的方法：

①
两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似；

②
两个三 角形若有两条边对应成比例，
且这两组对应边所夹的角相等则两个
三角形相似。
a
h
b
B
h
a
c
C
H
bC
c
B
H
A
A
①
a
b
ch





;

A
B
C
H
②

S
1
︰
S
2
=a
2
︰
A
2



模型五：燕尾定理

S
△
ABG
：
S
△< br>AGC
＝
S
△
BGE
：
S
△
GEC
＝
BE
：
EC
；
S
△
BGA
：< br>S
△
BGC
＝
S
△
AGF
：
S△
GFC
＝
AF
：
FC
；

S
△
AGC
：
S
△
BCG
＝
S
△
ADG
：
S
△
DGB
＝
AD
：
DB
；


【重点难点解析】

1.

模型一与其他知识混杂的各种复杂变形

2.

在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”

【竞赛考点挖掘】

1.
三角形面积等高成比








2.
“鸟头定理”







3.
“蝴蝶定理”

【习题精讲】


【例
1
】
（难度等级

※）

如图，长方形
ABCD
的面积是
56
平方厘米，点
E
、F
、
G
分别是长方形
ABCD
边上的中点，
H
为
AD
边上的任意一点，求阴影部分的面积
.





E
B
G
C
A
H
D
F
【例
2
】
（难度等级

※）

如右图，
ABFE
和
CDEF
都是矩形，< br>AB
的长是
4
厘米，
BC
的长是
3
厘米，那 么图中阴影部分
的面积是
____
平方厘米．




【例
3
】
（难度等级

※）

如图，在三角形
ABC
中，
BC=8
厘米，
AD=6厘米，
E
、
F
分别为
AB
和
AC
的中 点，那么三角形
EBF
的面积是多少平方厘米




A
F
E
D
B
C
【例
4
】
（难度等级

※※※）

如图，在面积为
1
的三角形
ABC
中，
DC=3BD,F
是
AD
的中点，延长
CF
交
AB
边于
E,
求三角
形
AEF
和三角形
CDF
的面积之和。


E
A





B
F
C
D
【例
5
】
（难度等级

※※）

如右图
BE=






B
E
BC
，
CD=
AC
，那么三角形< br>AED
的面积是三角形
ABC
面积的几分之几

A
D
C
【例
6
】
（难度等级

※）

如图所示，四边形
ABCD
与
AEGF
都是 平行四边形，请你证明它们的面积相等．






D
A
B
G
F

【例
7
】
（难度等级

※）

E
C
如图，在长方形
ABCD
中，
Y
是
BD
的中点 ，
Z
是
DY
的中点，如果
AB=24
厘米，
BC= 8
厘米，
求三角形
ZCY
的面积．







D
Z
A
Y
C
B
【 例
8
】
（难度等级

※※）

如图，正方形
ABCD
的边长为
4
厘米，
EF
和
BC
平行，< br> ECH
的面积是
7
平方厘米，求
EG
的
长。







A
E
H
G
D
F
B
C
【例
10
】
（难度等级

※※）

如图已知四边形
ABCD
和
CEFG
都是 正方形，且正方形
ABCD
的边长为
10
厘米，那么图中阴
影三角形
BFD
的面积为多少平方厘米





【例
11
】
（难度等级

※※）

如图， 一个长方形被切成
8
块，其中三块的面积分别为
12
，
23
，
32
，则图中阴影部分的面
积为







32
c
12
23
a
dx
b
【例
12
】
（难度等级

※※※）

如图，平行四边形
ABCD
周长为
75
厘米，以
BC
为底时高是
14
厘米；以
CD
为底时高是16
厘米。求平行四边形
ABCD
的面积。





B
E
C
F
A
D
【例
13
】
（难度等级

※※※）

如右图，正方形
A BCD
的边长为
6
厘米，△
ABE
、△
ADF
与四 边形
AECF
的面积彼此相等，求
三角形
AEF
的面积
.





B
E
F
A
D
C
【例
14
】
（难度等级

※※※）
< br>如图，三角形
ABC
被分成了甲（阴影部分）
、乙两部分，
BD=DC =4
，
BE=3
，
AE=6
，甲部分面
积是乙部分面积的几 分之几






【例
15
】
（难度等级

※）

某公园的 外轮廓是四边形
ABCD
，
被对角线
AC
、
BD
分 成四个部分，
△
AOB
面积为
1
平方
千米，
△BOC
面积为
2
平方千米，
△
COD
的面积为
3
平方千米，
公园陆地的面积是平方
千米，求人工湖的面积是多少平方千米





【例
16
】
（难度等级

※※）

图中是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米

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