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2021年1月30日发(作者：北京东路的日子mp3)
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北师大版八年级数学下第一章三角形及其性质知识点讲解典型例题
辅导

三角形及其性质（提高）知识讲解

【学习目标】
1.
理解三角 形及
与三角形有关的概念
,
掌握它们的文字、
符号语言及图形表述方法． 2.
理解三角形内角和定理的证明方法；
3.
掌握并会把三角形按边和角
分类
4.
掌握并会应用三角形三边之间的关系．
5.
理解三角形的高、
中线、角平分线的概念，学会它们的画法．
6.
对三角形的稳定性有
所认识，知道这个性质有广泛的应用．

【要点梳理】

要点一、三角
形的定义

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图
形叫做三角形．

要点诠释：

（
1
）三角形的基本元素：

①三角形的
边：即组成三角形的线段；

②三角形的角：即相邻两边所组成的角
叫做三角形的内角，简称三角形的角；

③三角形的顶点：即相邻两
边的公共端点
.
（
2
）三角形 的定义中的三个要求：“不在同一条直
线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （
3）三角形的表示：
三角形用符号“△”表示，
顶点为
A
、
B、
C
的三角形记作“△ABC”，
读作“三角形
ABC”，注意单独的△ 没有意义；△ABC
的三边可以用
大写字母
AB
、
BC
、< br>AC
来表示，也可以用小写字母
a
、
b
、
c
来表示，
边
BC
用
a
表示，边
AC
、
AB
分别用
b
、
c
表示．

要点二、三角形的内
角和

三角形内角和定理：三角形的内角和为
180°．

要点诠释：应
用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：

①在三角形中已知任
意两个角的度数可以求出第三个角的度数；

②已知三角形三个内角
的关系，可以求出其内角的度数；

③求一个三角形中各角之间的关
系．

要点三、三角形的分类
1.
按角分类：

要点诠释：

①锐角三角
形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角
的三角形
.
2.
按边分类：

要点诠释：

①不等边三角形：三边都不相
等的三角形；

②等腰三角形：有两条边相等的 三角形叫做等腰三角
形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，
腰与底 边夹角叫做底角;
③等边三角形：三边都相等的三角形
.
要点
四、三角形的三边关系

定理：三角形任意两边之和大于第三边
.
推
论：三角形任意两边之差小于第三边
.
要点诠释：

（
1
）理论依据：
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两点之间线段最短
.
（
2
）三边关系的应用：判断三条线段能否组 成
三角形，
若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，
则这三条线段
可以组 成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，
可求第三边长的取值范围．

（
3
）证明线段之间的不等关系．

要点
五、三角形的三条重要线段

三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，
它们提供了重要的线段或角的关系，
为我们以后
深入研究三角 形的一些特征起着很大的帮助作用，
因此，
我们需要从
不同的角度弄清这三条线段，列 表如下：

线段名称

三角形的高

三
角形的中线

三角形的角平分线

文字语言

从三角形的一个顶点向它
的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．

三角形中，连
接一个顶点和它对边中点的线段．

三角形一个内角的平分线与它的
对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段．

图形语言

作图语言

过
点
A
作
AD⊥BC
于点
D
．

取
BC
边的中点
D
，连接
AD
．

作∠BAC
的平
分线
AD
，
交
BC
于点
D
．

标示图形

符号语言
1
．
AD
是△ABC
的高．
2
．
AD
是△ABC
中
BC
边上的高．
3
．
AD⊥BC
于点
D
．
4
．
∠ADC＝90°，
∠ADB
＝90°．
(
或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．
AD
是△ABC
的中线．
2
．
AD
是△ABC
中
BC
边上的中线．
3
．
BD
＝
DC
＝
BC 4
．点
D
是
BC
边的中
点．
1
．
AD
是△ABC
的角平分线．
2
．
AD平分∠BAC，
交
BC
于点
D
．
3
．
∠1
＝∠2＝

∠BAC．

推理语言

因为
AD
是△ABC
的高，所以
AD⊥BC．
(
或∠ADB＝∠ADC
＝90°) 因为
AD
是△ABC
的中线，
所以
BD
＝
DC
＝
BC
．

因为
AD
平分
∠BAC，所以∠1＝∠2＝

∠BAC．

用途举例
1
．线段垂直．
2
．角度相等．
1
．线段相等．
2
．面积相
等．

角度相等．

注意事项
1
．与边的垂线不同．
2
．不一定在三角
形内．

― 与角的平分线不同．

重要特征

三角形的三条高
(
或它们
的延长线
)
交于一点．

一个三角形有三条中线，
它们交于三角形内一
点．

一个三角形有三条角平分线，
它们交于三角形内一点．

要点六、
三角形的稳定性

三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确
定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。

要点诠释：

（
1
）三角
形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，
大小固定指三条边长
不改变．

（
2
）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋实用精品文献资料分享

的人字梁具有三角形的结构，
它就坚固而稳定；
在栅栏门上斜着钉一
条
(
或两条
)
木板，构成一个三角形，就可以使 栅栏门不变形．大桥钢
架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．

（
3
）四边形没
有稳定性，
也就是说，
四边形的四条边长确定后，
不 能确定它的形状，
它的各个角的大小可以改变．
四边形的不稳定性也有广泛应用，
如活
动挂架，伸缩尺．
有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未
安好之前，
先在门框上斜着钉一根木板，
使它不变形．

【典型例题】

类型一、三角形的内角和
1
．在△ABC
中，若∠A＝

∠B＝

∠C，试
判断该三角形的形状．

【思路点拨】由∠A＝

∠B＝

∠C，以及
∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B
和

∠C
的度数，从而判断三
角形的形状．

【答案与解析】

解：
设∠A＝
x
，
则∠B＝
2x
，
∠C＝
3x
．

由
于∠A+∠B+∠C＝180°，即有
x+2x +3x
＝180°．

解得
x
＝30°．故
∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．

故△ABC
是直角三角形．

【总
结升华】
本题利用设未知 数的方法求出三角形三个内角的度数，
解法
较为巧妙．

举一反三：

【变式
1
】
（
2015
春•泰兴市期末）如图，
B D
是∠ABC
的平分线，DE∥CB，交
AB
于点
E
，∠A =45°，∠BDC=60°，
求△BDE
各内角的度数．

【答案】

解：∵∠A=45°，∠BDC=60°，

∴∠ABD=∠BDC
�
∠A=15°．

∵BD
是∠ABC
的角平分线，

∴∠DBC=∠EBD=15°，

∵DE∥BC，

∴∠BDE=∠DBC=15°；

∴∠BED=180°
�
∠EBD
�
∠EDB=150°．

【高清课堂：与三角形有关的角

练习（
3
）
】

【变式
2
】如图，
AC⊥BC,CD⊥AB,图中有

对互余的角？有

对相等的锐角？

【答案】
3,2
．
2.
在△ABC
中，
∠ABC ＝∠C，
BD
是
AC
边上的高，
∠ABD＝30°，
则∠C
的度数是多少
?
【思路点拨】按△ABC
为锐角三角形和钝角三
角形两种情况，分类讨论．

【答案与解析】

解：分两种情况讨论：

（
1
） 当△ABC
为锐角三角形时，如图所示，在△ABD
中，

∵ BD
是
AC
边上的高
(
已知
)
，

∴ ∠ADB＝90°(垂直定义
)
．

又∵ ∠ABD＝
30°(已知
)
，

∴ ∠A＝180°
-∠ADB
-
∠ABD＝180°
-
90°
-
30°＝< br>60°．

又∵ ∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理
)
，

∴
∠ABC+∠C＝120°，

又∵
∠ABC＝∠C，∴
∠C＝60°．
(2)
当△ABC
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为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD
中，

∵ ∠ABD＝30°(已
知
)
，所以∠BAD＝60°．

∴
∠BAC＝120°．

又∵
∠BAC+∠ABC+∠C
＝180°(三角形内角和定理
)
，

∴ ∠ABC+∠C＝60°．

∴ ∠C＝
30°．

综上，∠C
的度数为
60°或
30°．

【总结升华】在解 决无
图的几何题的过程中，
只有正确作出图形才能解决问题．
这就要求解
答者 必须具备根据条件作出图形的能力；
要注意考虑图形的完整性和
其他各种可能性，
双解 和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的
一个重要环节．

类型二、
三角形的分类
3.
一个三角形一个内角的度
数是
108°，这个三角形是（

）三 角形；一个三角形三条边的长度
分别是
7cm
，
8cm
，
7 cm
，这个三角形是（

）三角形
.
【答案】钝角；
等腰

举一反三：

【变式】一个等腰三角 形的边长为
5cm
和
4cm
，围
成这个等腰三角形至少需要（

）
cm
长的绳子，最多需要（

）
cm
长
绳子（接头忽略不计）
.
【思路点拨】对于所给 边长要分类讨论：当
4cm
为腰长时，需要绳子的长度最短；当
5cm
为腰长 时，需要绳子的
长度最长
.
【答案】
13
；
14
类型三、三角形的三边关系
4.
（
2015
春•太康县期末）在 △ABC
中，
AB=9
，
AC=2
，并且
BC
的长 为偶数，求
△ABC
的周长．

【答案与解析】

解：
根据三角形的三边关系得：
9
�
2
＜
BC
＜
9+2
，

即
7
＜
BC
＜
11
，

∵BC
为偶数，

∴AC=8
或
10
，

∴△AB
C
的周长为：
9+2+8=19
或
9+2+10= 21
．

【总结升华】此题主要考查了
三角形的三边关系，
关键是掌 握三角形的三边关系，
还要注意第三边
是偶数这一条件．

举一反三：

【变式】三角形的三边长为
2
，
x-3
，
4
，且都为整数，则共能组成





个不同的三角形
.
当
x
为





时，所组成的三角形周长最大
.
【答案】三；
8 (
由 三角形两边之和
大于第三边，两边之差小于第三边，有
4-2，解得
5，
因为
x
为整数，故
x
可取
6
，
7
，
8
；当
x=8
时，组成的三角形周长最大为
11).
5.
如图，
O
是△ABC
内一点，连接
OB
和
OC
．
(1)
你能说明
OB+OC
＜
AB+AC
的理由吗
? (2)
若
AB
＝
5
，
AC
＝
6
，
BC
＝
7
，
你能写出
OB+OC
的取值范围吗
?
【答案与解析】

解：
(1)
如图，
延长BO
交
AC
于点
E
，
根据三角形的三边关系可以得到，

在△ABE
中，
AB+AE
＞
BE
；

在△EOC
中，
OE+EC
＞
OC
，

两不等式相加，得
AB+AE+OE+EC
＞
BE+OC
．

由图可
知，
AE+EC
＝
AC
，
BE
＝< br>OB+OE
．

所以
AB+AC+OE
＞
OB+OC+OE
，即
OB+OC

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