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2021年1月30日发(作者：少女时代电影)
三角形面积公式的五种推导方法

三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一 、明确目标；二、用数格的方式不能确
定三角形的面积；
三、
能否转化成以前学过的图 形进行计算？四、
拿两个全等的直角三角形
可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形 ，
直角三角形的面积是长方形和平行四
边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否 也能拼成平行四边形；六、三次试
验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是
“
等底等高，面积一半
”
；七、
总结三角形的面积公式。

我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中，发现上面的几个
“
环节
”
有些 地方不太
符合学生的认知特点。具体分析一下：

第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。

第二步也没有什么：学生 在学习长方形和正方形的面积时用的是
“
数格
”
的方式。学习
平行四 边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的
“
转化
”
。在大部分学生对面积 这个概念
的理解还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是
“
数格< br>”
。因为这是学生
学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最简单， 最直接（当然也是最
麻烦）的方法。


关于第三步：教材上只有一句 话：能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。
这是化未知为已知的思维方式，
我们常 给初中学生提起这些认知策略，
但它的基础却在小学
阶段和学生的日常生活经验中。
教 材把这个重要的数学思想一笔带过，
把挖掘其内涵，
为学
生建立辩证观念的重任留给了 老师。
但很多老师并不特别重视这句话，
只是把它当作一个过
渡句，当成进入下面环节 的引言。

第四步。
转化是一定的。
但是，转化成什么？怎么转化？把三角 形转化成
“
能计算的图
形
”
大致有五种情况。教材推荐的是第五种（ 如图）。教材上的引导方式只有教师的主导性，
而忽视了学生的主体位置。

前面提到 ，学生计算三角形面积的首选方法是数格，那么次选方法是什么？他们的第
二方案应该还是在自己的经验 中寻找帮助。这些经验当中，与计算面积有关的直接、简单、
容易操作的内容就是在前面的几节课刚学过 的
“
切割平行四边形成长方形
”
的方法。
他们对
“
切
割
”
这个动作记忆犹新。因为：一、这个技巧刚刚学过；二、切割是个动作，但这个 动作能
把不规则变规则，所以印象深刻；三、这个简单的动作能完成面积计算的任务。所以他们的
下一步动作会是模仿上一节课的做法，
想办法切割三角形的某一角移动填补另一角，
变三角< br>形成长方形或平行四边形。
按这个说法，
学生在寻找计算三角形面积的方法时，
他首先会在
他手中所拿的三角形卡片上琢磨，
对这个三角形进行加工处理。
在不得要领 ，
或是找到了办
法，问题解决了，但心有余味，
继续探索下去时才会考虑到利用其他内 容扩展思考空间，再
找一个一样的三角形牵线搭桥，把思路引到问题的外面。

教材中 还有一点缺失：学生在教师的引导下用两个
“
全等
”
三角形进行拼接时，是一 个
尝试的过程。
教材举例说：
小华拼出了一个长方形一个平行四边形。
小林拼 出了两个三角形
——
一个人拼的全是能利用的，
一个人拼的全是不能用的，
两 个人的对比太大。
我们想这不
是教材的疏漏，
是为了突出教学任务和目标。
另 外，
教材举的例子是两个三角形能拼成一个
长方形和一个平行四边形。
但实际上能拼成 两个平行四边形，
加上长方形就是有三个图形是
已经学习过的，
都能用来推算三角形面 积。
教材忽略这个没有列出的平行四边形，
我们猜可
能是因为它的倾斜度过大，在视觉 上有一种要
“
倒
”
的感觉。如果学生受视觉效果的影响，注
意力分散 ，会影响到他们分析两种图形的底、高和面积的关系。也可能是基于简单化原则，
有两个就够了，何必要 三个。但是按这个说法，要一个就够了，何必两个。

按照教材设定的思路，
我们可以 设想：
学生手拿三角形，
听老师布置完任务。
怎么拼，
能拼出什么都不太清楚 ，
只能先随便的拼一下试试。
如果运气好或者预想能力较强，
可能直
接拼出平 行四边形和长方形。
学生在试验时，
会发现不等边拼接没有后续效果，
因为这些组合图形都不规则，不能把握。然后，
学生会把注意力放在那些特殊图形上。
一类是那些中心
对称的平行四边形，
这是学习过的内容；
一类是那些左右对称的凸多边形，
这 是好奇心驱使，
随后即会放弃。
学生的试验，
开始可能是无序状态，
随着注意 的集中，
目标一个一个的出现，
学生的意识中必定会对自己刚才的所有拼接进行回顾
（ 很多时候这个回顾是无意识的）
，
找
到拼出所有图形的方法得出两个全等三角形能顺次 拼出三个形状不同的平行四边形的结论，
使自己的思维进入有序状态。

教材把这个过 程缩减了，有些教师则更希望把它压缩成一个或几个动作，为后面的讲
解和练习挤出时间，不愿把时间精 力浪费在这个非目标、非重点、也非难点的中间环节上。
认为只要知道了转换的道理，就有了
“
等底等高，面积
2
倍
”
这个重点的突破。在动手操作上
延长 时间，势必影响教学目标的讲解和强调。

其实这是个误解。公式的推导过程本身也是对公式的 熟悉过程，过程熟悉了，结果也
就熟悉了。
以后也就无须用多的吓人的练习题让学生做，
把公式强印到学生的脑子中。
举一
个化学上的例子：两种物质能发生反应，
这是先决 条件。
但是反应所需要的环境如加热、电
击、
搅拌或是放在溶液中使其反应更充分，< br>以及催化剂等这些控制反应进行的因素也很重要，
甚至是必须的。学生在探寻知识的过程中所取得 的经验和教训就是知识发挥作用的控制因
素。一般上，我们认为把知识放在问题中，解决问题，知识的作 用就发挥出来了。但是，问
题从何而来？来自思维。思考什么？思考我们看到的，感觉到的。如果对周围 事物的发展、
变化、规律、联系、相互作用、矛盾冲突以及相似性、特殊点（这些名词、概念确实存在于
我们的意识和思维中）没有任何的反应，就不会产生问题、提出问题。不会发现问题的人，
一般 也不会主动回答别人的问题。
让学生自己动手就是为了训练学生的动手能力观察能力和
感受性。

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