-

2021年1月30日发(作者：蒋家骏)
三角形

几何
A
级概念：
（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）

1
．三角形的角平分线定义：

三角形的一个角的平分线与这个角的
对边相交，这个角的顶点和交点之间的
线段叫做三角形的角平分线
.
（如图）

B
D
C
A
几何表达式举例：

(1)
∵
AD
平分∠
BAC

∴∠
BAD=
∠
CAD
(2)
∵∠
BAD=
∠
CAD
∴
AD
是角平分线

2
．三角形的中线定义：
< br>在三角形中，连结一个顶点和它的对边
的中点的线段叫做三角形的中线
.
（如< br>图）


3
．三角形的高线定义：

从三角形的一个 顶点向它的对边画垂
线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的
高线
.
（如图）

※
4
．三角形的三边关系定理：

三角 形的两边之和大于第三边，三角形
的两边之差小于第三边
.
（如图）



5
．等腰三角形的定义：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角

A
几何表达式举例：

(1)
∵
AD
是三角形的中线

∴
BD = CD
B
D
C

(2)
∵
BD = CD
∴
AD
是三角形的中线


A
几何表达式举例：

(1)
∵
AD
是Δ
ABC
的高

∴∠
ADB=90
°

B
D
C

(2)
∵∠
ADB=90
°

∴
AD
是Δ
ABC
的高


A
几何表达式举例：

(1)
∵
AB+BC
＞
AC
∴……………

B
C

(2)
∵
AB-BC
＜
AC
∴……………


几何表达式举例：

(1)
∵Δ
ABC
是等腰三角形

- 1 -
形
.
（如图）



6
．等边三角形的定义：

有三条边相等的三角形叫做等边三角
形
.
（如图）

B
B
A
∴
AB = AC
(2)
∵
AB = AC
C

∴Δ
ABC
是等腰三角形

几何表达式举例：


A
(1)
∵Δ
ABC
是等边三角形

∴
AB=BC=AC
C


(2)
∵
AB=BC=AC
∴Δ
ABC
是等边三角形

7
．三角形的内角和定理及推论：

（
1
）三角形的内角和
180
°；
（如图）

（
2
）直角三角形的两个锐角互余；
（如图）

几何表达式举例：

(1)
∵
∠
A+
∠
B+
∠
C=180
°

（
3
）
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
（如图）

∴…………………

※（
4
）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
.


B
C
A
(2)
∵∠
C=90
°

∴∠
A+
∠
B=90
°

(3)
∵∠
ACD=
∠
A+
∠
B
A
A
C
B
B
C
D
（
1
）

（
2
）

（
3
）
（
4
）

∴…………………

(4)
∵∠
ACD
＞∠
A
∴…………………

8
．直角三角形的定义：

有一个角是直角的三角形叫直角三
角形
.
（如图）


A
几何表达式举例：

(1)
∵∠
C=90
°

∴Δ
ABC
是直角三角形

C
B

(2)
∵Δ
ABC
是直角三角形

∴∠
C=90
°

9
．等腰直角三角形的定义：


几何表达式举例：

- 2 -
两条直角边相等的直角三角形叫等

腰直角三角形
.
（如图）

A
(1)
∵∠
C=90
°
CA=CB
∴Δ
ABC
是等腰直角三角形

B
C

(2)
∵Δ
ABC
是等腰直角三角
形

∴∠
C=90
°
CA=CB
10
．全等三角形的性质：

（
1
）全等三角形的对应边相等；
（如图）

（
2
）全等三角形的对应角相等
.
（如图）



B
C
F
G
A
E
几何表达式举例：

(1)
∵Δ
ABC
≌Δ
EFG
∴
AB = EF
………

(2)
∵Δ
ABC
≌Δ
EFG
∴∠
A=
∠
E
………

几何表达式举例：

(1)
∵
AB = EF
∵

∠
B=
∠
F
G
11
．全等三角形的判定：

“
SAS
”
“
ASA
”
“
AAS
”
“
SSS
”“
HL
”
.
（如图）



B
A
E
C
F
又∵
BC = FG
∴Δ
ABC
≌Δ
EFG
(2)
………………

(3)
在
Rt
Δ
ABC
和
Rt
Δ
EFG
中


（
1
）
（
2
）




C
B
G
F
A
E
∵
AB=EF
又∵
AC = EG
∴
Rt
Δ
ABC
≌
Rt
Δ
EFG

（
3
）

12
．角平分线的性质定理及逆定理：


（
1
）在角平分线上的点到角的两边

距离相等；
（如图）

（
2
）到角的两边距离相等的点在角
几何表达式举例：

(1)
∵
OC
平分∠
AOB
又∵
CD
⊥
OA CE
⊥
OB
∴
CD = CE
- 3 -
平分线上
.
（如图）

D
A
(2)
∵
CD
⊥
OA CE
⊥
OB
又∵
CD = CE
B


13
．线段垂直平分线的定义：

垂直于一条线段且平分这条线段的
直线，叫做这条线段的垂直平分线
.
（如图）


14
．
线段垂直平分线的性质定理及逆

定理：

（
1
）线段垂直平分线上的点和这条
A
C
N
M
P< br>A
O
F
C
O
E

∴
OC
是角平分线

几何表达式举例：


E
(1)
∵
EF
垂直平分
AB
B
∴
EF
⊥
AB OA=OB

(2)
∵
EF
⊥
AB OA=OB
∴
EF
是
AB
的垂直平分线

几何表达式举例：

(1)
∵
MN
是线段
AB
的垂直平分
线

B
线段的两个端点的距离相等；
（如图）

（
2
） 和一条线段的两个端点的距离
相等的点，
在这条线段的垂直平分线
上
.
（如图）

15
．等腰三角形的性质定理及推论：


∴
PA = PB
(2)
∵
PA = PB
∴点
P
在线段
AB
的垂直平分线
上

几何表达式举例：

（
1
）等腰三角形的两个底角相等；
（ 即等边对等角）
（如图）

(1)
∵
AB = AC
（
2
）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”
∴∠
B=
∠
C
三线合一；
（如图）

（
3
）等边三角形 的各角都相等，并且都是
60
°
.
（如图）


A
(2)
∵
AB = AC
又∵∠
BAD=
∠
CAD
∴
BD = CD
A
A
AD
⊥
BC
………………

B
C

（
1
）

B
D
C

（
2
）

B
C
（
3
）

(3)
∵Δ
ABC
是等边三角形

- 4 -

-

-

-

-

-

-

-

-