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2021年1月30日发(作者：alphabet)

第十一章

三角形

全章教案

教材内容

本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。

三角形的高、< br>中线和角平分线是三角形中的主要线段，
与三角形有关的角有内角、
外角。
0< br>教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于
180
的基础上， 进
行推理论证，
从而得出三角形外角的性质。
接着由推广三角形的有关概念，
介绍了多边形的
有关概念，
利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、
外角和公式 。
这些知识加深了学
生对三角形的认识，
既是学习特殊三角形的基础，
也是研 究其它图形的基础。
最后结合实例
研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活 中的应用
.
教学目标

〔知识与技能〕

1
、 理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线；
2
、了解三角形的
稳 定性，
理解三角形两边的和大于第三边，
会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形；0
3
、会证明三角形内角和等于
180
，了解三角形外角的性质。
4
、了解多边形的有关概念，会
运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。
5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四
边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行简单的 平面镶嵌设计。

〔过程与方法〕

1
、在观察、操作、推理、归纳 等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数
学推理的习惯；
2
、在灵活运用 知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性
质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理 的能力。

〔情感、态度与价值观〕

1
、体会数学与现实生活的联 系，
增强克服困难的勇气和信心；
2
、会应用数学知识解决
一些简单的实际问 题，增强应用意识；
3
、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服
务于实践的辩 证唯物主义观点。

重点难点

三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与 内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和
0
等于
180
的证明，根据三条线段 的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是
难点。

课时分配

7.1
与三角形有关的线段

………………………………………
2
课时

7.2
与三角形有关的角

…………………………………………
2
课时

7.3
多边形及其内角和

…………………………………………
2
课时

7.4
课题学习

镶嵌

……………………………………………
1
课时

本章小结

…………………………………………………………
2
课时


11
．
1
．
1
三角形的边

【教学目标】

1
、知识与技能、理解三角形的表示法，分类法以及三边存在的关系，发展空间观念。

2
、过程与方法：

⑴经历探索三角形中三边关系的过程，认识三角形这个最 简单，最基本的几何图形，
提高推理能力。

⑵

培养学生数学分类讨论的思想。

3
、情感态度与价值观：

⑴培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力，体会三角形知识的应用价
1


值。

⑵通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的 情感，合作交流，主动参与
的意识，在独立思考的同时能够认同他人。

【重点】
掌握三角形三边关系

【难点】
三角形三边关系的应用

[
教学过程
]
一、情景导入

三角形是一种最常见的几何图形，

[
投影
1-6]
如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标
志，等等，处处都有三角形的形象。













那么什么叫做三角形呢？

二、三角形及有关概念

不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做
三角形。

注意
：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

B
c
a
b
A
(1)
C

组成三角形的线段叫做三角 形的
边
，相邻两边所组成的角叫做三角形的
内角
，简称角，
相邻两边 的公共端点是三角形的
顶点
。

三角形
ABC
用符号表示为 △
ABC
。
三角形
ABC
的顶点
C
所对的边
AB
可用
c
表示
,
顶
点
B
所对的边< br>AC
可用
b
表示
,
顶点
A
所对的边
BC
可用
a
表示
.
三、三角形三边的不等关系

探究
：
[
投影
7]
任意画一个△
ABC,
假设有一 只小虫要从
B
点出发
,
沿三角形的边爬到
C,
它有几种路线 可以选择
?
各条路线的长一样吗
?
为什么？

有两条路线：
（
1
）从
B→C
，
（
2
）从
B→ A→C
；不一样，

AB+A
C
＞
BC
①；因为两点
之间线段最短。

同样地有
AC+BC
＞
AB
②

AB+BC
＞
AC
③

由式子①②③我们可以知道什么？

三角形的任意两边之和大于第三边
.
四、三角形的分类

我们知道 ，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三
角形、钝角三角形统称为斜三 角形。

2


按角分类
:




三角形




直角三角形
















斜三角形



锐角三角形


























钝角三角形

那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。

三边都相等的三角形叫做
等边三角形
；

有两条边相等的三角形叫做
等腰三角形
；

三边都不相等的三角形叫做
不等边三角形
。

顶角

腰

底角

底边

腰

底角



















显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。

按边分类
:
三角形




不等边三角形




等腰三角形



底和腰不等的等腰三角形




























等边三角形


五、例题

例

用一条长为
18
㎝的细绳围成一个等腰三角形。
（< br>1
）如果腰长是底边的
2
倍，那么
各边的长是多少？（
2）能围成有一边长为
4
㎝的等腰三角形吗？为什么？

分析
：< br>（
1
）等腰三角形三边的长是多少？若设底边长为
x
㎝，则腰长是多少 ？（
2
）
“边
长为
4
㎝”是什么意思？

解：
（
1
）设底边长为
x
㎝，则腰长
2 x
㎝。

x+2x+2x=18
解得
x=3.6
所以， 三边长分别为
3.6
㎝，
7.2
㎝，
7.2
㎝
.
（
2
）如果长为
4
㎝的边为底边，设腰长为
x
㎝， 则

4+2x=18
解得
x=7
如果长为
4
㎝的边为腰，设底边长为
x
㎝，则

2
×
4+x=18
解得
x=10
因为
4+4< br>＜
10
，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是
4
㎝的 等腰
三角形。

由以上讨论可知，可以围成底边长是
4
㎝的等腰三角形。

五、课堂练习

课本
65
面练习
1
、
2
题。

六、课堂小结

1
、三角形及有关概念；

3


2
、三角形的分类；

3
、三角形三边的不等关系及应用。

作业
：

课 本
69
面
1
、
2
、
6
；
70面
7
题。





11.1.2
三角形的高、中线与角平分线

【学习目标
】

1
、知识目标：认识三角形的高、中线与角平分线
.
2
、能力目标：会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线
,
通过画图 了解三角形的三
条高
(
及所在直线
)
交于一点
,
三 角形的三条中线
,
三条角平分线等都交于一点
.
3
、情感目标：采 用自学与小组合作学习相结合的方法，培养自己主动参与、勇于探究的精
神。

【
重点难点】

重点：
(1)
了解三角形的高、中线与角平分线的概念
,
会用工具准确画出三角形的高、
中线与角平分线
.
(2)
了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点
.
难点
：
(1)
三角形平分线与角平分线的区别
,
三角形的高与垂线的区别
.
(2)
钝角三角形高的画法
.
(3)
不同的三角形三条高的位置关系
.
〔教学过程〕

A
D





一、导入新课






我们已经知道 什么是三角形，也学过三角形的高。
三角形的主要线段除高外，
还有中线和角平分线值得我们< br>E
研究。

B
C





二、三角形的高

请你在图中画出△
ABC
的一条高并说说你画法。

A










B
D
C

从△
ABC
的顶点
A
向 它所对的边
BC
所在的直线画垂线，垂足为
D
，所得线段
AD
叫
做△
ABC
的边
BC
上的
高
，表示为
AD
⊥
BC
于点
D
。

注意
：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

请你再画出这个三角形
AB
、
AC
边上的高，看看有什么发现？

三角形的三条高相交于一点。

如果△
ABC
是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？

现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。


4

A
D
B
O

















E
C
F

显然，上面的结论成立。

请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。

上面的结论还成立。

三、三角形的中线

如图，
我们把连结△
ABC
的顶点A
和它的对边
BC
的中点
D
，
所得线段
AD< br>叫做△
ABC
的边
BC
上的
中线
，表示为
B D=DC
或
BD=DC
＝
1/2BC
或
2BD=2DC=B C.
A
B

请你在图中画出△
ABC
的另两条边上的中线，看看有什么发现？

三角的三条中线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。

上面的结论还成立。

四、三角形的角平分线

如图，画∠
A
的平分线
AD
，交∠
A
所对的边
BC
于点
D
，所得线段
AD
叫做△
ABC
的
角平分线
,< br>表示为∠
BAD=
∠
CAD
或∠
BAD=
∠
CAD
＝
1/2
∠
BAC
或
2
∠
BAD= 2
∠
CAD
＝∠
BAC
。

A
2
1
D
C
B
D
C

思考
：三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。

请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？

三角形三个角的平分线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。

上面的结论还成立。

想一想：
三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？

三 角形的三条中线的交点、
三条角平分线的交点在三角形的内部，
而锐三角形的三条高
的 交点在三角形的内部，
直角三角形三条高的交战在角直角顶点，
钝角三角形的三条高的交
点在三角形的外部。

5


五、课堂练习

课本
66
面练习
1
、
2
题。

六、课堂小结

1
、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。

2
、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。

作业：

课本
69
面
3
、
4
；< br>70
面
8
、
9
题。



11.1.3
三角形的稳定性

【学习目标
】

1
、知识目标：通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，
2
、能力
目标：稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用

3
、 情感目标：采用自学与小组合作学习相结合的方法，培养自己主动参与、勇于探究的精
神。

【
重点难点】

重点：
了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用

难点
：准确使用三角形稳定性与生产生活之中

[
教学过程
]
一、情景导入



< br>盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样
做呢？

二、三角形的稳定性

〔实验〕
1
、
把三 根木条用钉子钉成一个三角形木架，
然后扭动它，
它的形状会改变吗？










不会改变。

2
、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

会改变。

3
、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来， 然后扭动它，它的形
状会改变吗？

（
2
）


6


不会改变。

从上面的实验中，你能得出什么结论？

三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。

三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用

三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳 定性也未必不好，它们在生产和生活中都
有广泛的应用。如：




















钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用 三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不
稳定性。

你还能举出一些例子吗？

四、课堂练习

1
、下列图形中具有稳定性的是（








）

A
正方形






B
长方形





C
直角三角形





D
平行四边形

2
、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？


3
、课本
68
面练习。

作业
：
69面
5
；
70
面
10
题。



11.2.1
三角形的内角和

【学习目标
】

1
、了解三角形的内角；


7

2
、 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于
180
度；

3
、学会解决与求角有关的实际问题；

4
、初步培养学生的说理能力。

【
重点难点】

重点
：了解三角形的内角和性质，学会解决简单的实际问题。

难点
：说明三角形内角和等于
180
度。

[
教学过程
]




一、导入新课

我们在小学就知道三角形内角和等于
180
0
，这个结论是通过实验得到的，这个命题是
不是真命题还需要证明，怎样证明呢？

二、三角形内角和的证明

回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出

∠
BCD
的度数，可得到∠
A+
∠
B+
∠
ACB=180
。
[
投影
1]

0




















图
1
想一想，还可以怎样拼？

0
①剪下∠
A
，按图（
2
）拼在一起，可得到∠
A+
∠
B+
∠
ACB=180。




















图
2
C
剪下按图（
3
）拼在一起，可得到∠< br>A+
∠
B+
∠
ACB=180
0
。

②把

B
和
















0
如果把上面移动的角在图上进行转移，由图
1
你能想到证明三角形内角和等 于
180
的
方法吗？

0
已知△
ABC
， 求证：∠
A+
∠
B+
∠
C=180
。

证明一

过点
C
作
C
M
∥
AB< br>，则∠
A=
∠
ACM
，∠
B=
∠
DCM，

0
又∠
ACB+
∠
ACM+
∠
D CM=180

0
∴∠
A+
∠
B+
∠
AC B=180
。

0
即：三角形的内角和等于
180
。

由图
2
、图
3
你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。

8


三、
例题

例

如图，
C
岛在
A
岛的北偏东
50
0
方向，B
岛在
A
岛的北偏东
80
0
方向，
C
岛在
B
岛
的北偏西
40
0
方向，从
C
岛看
A
、
B
两岛的视角∠
ACB
是多少度？








分析：
怎样能求出∠
ACB
的度数？


根据三 角形内角和定理，只需求出∠
CAB
和∠
CBA
的度数即可。

∠
CAB
等于多少度？怎样求∠
CBA
的度数？

0
0
0
解：∠
CBA=
∠
BAD-
∠
CA D=80
-50
=30

0

∵
AD
∥
BE
∴∠
BAD+
∠
ABE=180

0
0
0
0
∴∠
ABE=180
-
∠
BAD=180
-80
=100

0
0
0
∴∠
ABC=
∠
ABE-
∠
EBC=100
-40
=60

0
0
0
0
0
∴∠
ACB=180
-
∠
ABC-
∠
CAB=180
-60
-30
=90

0
0
答：从
C
岛看
AB
两岛的视角∠
ACB=180
是
90
。

四、课堂练习

课本
74
面
1
、
2
题。

作业
：

76
面
1
、
3
、
4
；
77
面
7
、
9
题。




11
．
2
．
2
三角形的外角

【教学目标】

1
、知识与技能
:

使学生初步掌握三角形内角和定理的两个推论，并会应用．
。

2
、 过程与方法：培养学生总结知识内容，使之条理化，以便加深理解和记忆，养成
良好的学习习惯．

3
、情感态度与价值观：

⑴培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力。

⑵通过师生共同活动，促 进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与
的意识，在独立思考的同时能够认同他人。< br>
【重点】
三角形内角和定理推论的应用．

【难点】
三角形外角的概念．真正理解推论，并能灵活运用．

[
教学过程
]

一、导入新课

〔投影
1
〕
如图，△
ABC
的三个内角是什么？它们有什么关系？

是∠
A
、∠
B
、∠
C
，它们的和是
180
0
。

若延长
BC
至
D
，则∠
ACD是什么角？这个角与△
ABC
的三个内角有什么关系？


9

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