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2021年1月30日发(作者：报废物资)
鹏兴教育培训学校（中心）

第三章

三角形

第一节

认识三角形

知识点一、三角形相关概念


1.
三角形：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 三角形。表示为“

ABC
”

2.
边：
组成三角形的线段叫做三角形的边；


表示：

AB,AC,BC
或

a, b, c
3.
顶点：
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；

4.
角：
相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

5.
三角形有三条边、三个内角、三个顶点

例：
如图，共有三角形的个数是（

）

A
．
3 B
．
4 C
．
5 D
．
6
练习









1
．如做下图所示，图中的三角形有（

）

A.6
个
B.8
个
C.10
个
D.12
个



2.
如右上图所示，图中三角形的个数为（




）
.
A.3
个






B.4
个







C.5
个







D.6
个


知识点二、三角形的三边关系


1.
三角形的两边之和大于第三边。

2.
三角形的两边之差小于第三边。

3.
作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。


例
1
．
七（
1
）班某同学想利用下列长度的木棒制成一个三 角形工具，下列各组你认为可行的是（


）

A
．
5
，
2
，
2 B
．
2
，
3
，
6 C
．
5
，
3
，
4 D
．
7
，
13
，
6
例
2
．一个三角形两边长为
5
和
7
，且有两边长相等，这个三角形的周长是（< br>
）

A.17 B.19 C.17
或
19 D.
无法确定


练习

1.
有下列长度（
cm
）的三条小木棒，如果首尾顺 次连结，能钉成三角形的是（

）

A
．
10
、
14
、
24 B
．
12
、
16
、
32 C
．
16
、
6
、
4 D
．
8
、
10
、
12

2.
有
5
根小木棒，长度分别为
2cm
、
3cm
、
4cm
、
5cm
、
6cm
，任意取其中的
3
根小木棒首尾 相接搭三角形，可搭出不
同的三角形的个数为（


）

A
．
5
个
B
．
6
个
C
．
7
个
D
．
8
个

3.
已知等腰三角形的周长为
16，且一边长为
3
，则腰长为（


）

A
．
3 B
．
10 C
．
6.5 D
．
3
或
6.5
4.
甲地离学校
4km
，乙地离学校
1km
，记甲乙两地之间的距离为
d km
，则
d
的取值范围为
____________
5.
如果三角形的两边长分别是
2
和
4
，且第三边是奇数，那么第三边长为

，如果第三边长为偶数，则此三
角形的周长为
.

知识点三、三角形的内角的关系


1.
三角形三个内角和等于
180
°。

2.
直角三角形的两个锐角互余。


例
1
：
在△
ABC
中，已知∠
B = 40
°，∠
C = 80
°，则∠
A =
（度）

例
2
：
已知∠
A
、∠
B
、∠
C
是△
ABC
的三个内角
.

①如 果∠
A
=90
°，∠
C
=55
°，那么∠
B
=_____
；

②如果∠
A
=90
°，∠
B< br>－∠
C
=24
°，那么∠
B
=_____
，∠
C
=_____
；

③如果∠
C
=4
∠
A
，∠
A
+
∠
B
=100
°，那么∠
A< br>=_____
，∠
B
=_____.


例
3
：
直角三角形的一锐角为
60
°，则另一锐角为

。

练习

1
．△
ABC
中，∠
A=
1
2
∠
B=
1
3
∠
C
，则三 个内角分别为
___________
．

2
．一个三角形最多有< br>__________
个直角：有
________
个锐角；有
___ ______
个钝角．

3
．在△
ABC
中，∠
A
－∠
B=15°
，∠
C=75°
，则∠
A=_______ ___
，∠
B=__________
．

4.
已知一个 三角形三个内角度数的比是
1:5:
6
，则其最大内角的度数为（




）

A.
60
o






B.
75
o









C.
90
o



D.
120
o

5.
直角三角形的一个锐角的是
32
°，则另一个锐角是＿＿＿度。

6.
等腰三角形的一个角为
45
°，则顶角为

。


1
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知识点四、三角形的稳定性


三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。


例：< br>木工师傅作一木制矩形门框时，常需在其相邻两边之门钉上一根木条，其中所涉及的数学道理
是< br> .

练习
：
如图，木工师傅在做完门 框后，为防止变形常常象图中所示那样钉上两条斜拉的木条
(
图中的
AB
、< br>CD
两根
木条
)
，这样做是运用了三角形的
( )

A
、全等性
B
、灵活性
C
、稳定性
D
、对称性


例
2.
适合条件∠
A =
1
∠
B =
∠
C
的三角形一定是（

）

3
A
．锐角三角形
B.
钝角三角形
C.
直角三角形
D.
任意三角形

变
：
1.
如果一个三角形的三个内角的度数之比为
2
：
3
：< br>5
，那么这个三角形是（


）

A
．锐角三角形
B
．直角三角形
C
．钝角三角形
D
．无法判断

2.
△< br>ABC
中，∠
A=2
∠
B=3
∠
C
，则这个 三角形中最小的角是
________
度．

例
3.
一个零 件的形状如图所示，若∠
A=60
，∠
B=20
，∠
D=30
，求∠
BCD

0
0
0
练习

1.
在三角形的三个内角中，最多的锐角个数是（


）

A
．
0
个
B
．
1
个
C
．
2
个
D
．
3
个

2.
锐角三角形中任意两个锐角的和必大于（


）

A
．
120
°
B
．
110
°
C
．
100
°
D
．
90
°

3.
下列判断，其中判断正确的有（


）

①三角形的三个内角中最多有一个钝角

②三角形的三个内角中至少有两个锐角

③有两个内角为
50
和
20
的三角形一定是钝角三角形

④直角三角形中两锐角的和为
90

A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个

4.
如图
AB
∥
CD,AD
、
BC
交于点
O
，∠
A=42
，∠
C=58
则∠
AOB=
（

）

A
．
42
B
．
58
C
．
80
D
．
100

0
0
0
0
0
0
0
0
0






知识点五、三角形的分类


1.
三角形按边分类










不等边三角形

三角形



















底和腰不相等的等腰三角形










等腰三角形


























等边三角形


2.
三角形按角分类










锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

三角形



直角三角形（有一个角为直角的三角形）










钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形。


例
1.

已知，在△
ABC
中，

∠
A +
∠
B =
∠
C
，那么△
ABC
的形状为（

）

A
、直角三角形
B
、钝角三角形
C
、锐角三角形
D
、以上都不对




2
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2.
如图，△
ABC
中，∠< br>ABC
和∠
ACB
的平分线交于点
O
，若∠
BOC= 120
°
,
求∠
A


第
4
题图

第
5
题图

第
6
题图

第
7
题图

5.
如图，在△
ABC
中，∠
ABC=90
°，∠
C=40
°，
AC
∥
BD，则∠
ABD=______
度．

6
．如图，直线
a
∥
b
，则∠
A
的度数是（



）

A
．28°
B
．31°
C
．39°
D
．42°

7.
右图中的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是（


）

A
．一个锐角一个钝角
B
．两个锐角
C
．一个锐角一个直角
D
．一个直角一个钝角

8
． 已知三角形的三个内角的度数之比为
1
：
2
：
3
，则这个三 角形是（

）

A
．锐角三角形
B
．直角三角形
C
．钝角三角形
D
．不能确定

9.
在锐角三角形中，任意两个锐角三角形的和一定大于（




）



A
．
90
°
B.91
°
C.100
°
D.120
°







3.
在△
ABC
中，∠
B
、∠
C
的平分线相交于点
O
，若∠
A=40
°，则∠
BOC=_________
度．

练习

三角形的角平分线

1.
三角形的角平分线、中线、高都是（


）

A
．直线
B
．线段
C
．射线
D
．以上都不对

2
．如图，在△
ABC
中，
AD
平分∠
BAC
且与
BC
相交于点
D
，∠B=40° ，

∠BAD=30°，则∠
C
的度数是（


）


知识点六、三角形的三种重要线段


1.
三角形的角平分线

定义：
在三角形中，一个内角的平分线与它 的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平
分线。

性质：
三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。

注意：
三角形的角平分线一条线段，而角的平分线是一条射线


2.
三角形的中线

定义：
在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：
三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

注意：
三角形的中线是线段而不是直线，且三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分

3.
三角形的高线

定义：
从三角形一个顶点向它的对边所在直线作 垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角
形的高）
。

性质：
三角形的三条高所在的直线交于一点。

锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；

直角三角形的三条高线的交点是它的斜边的中点；

钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；





注意：
三角形的高线是线段


例：
1.

在△
ABC
中，
AD
是角平分 线，若∠
B=50
º，∠
C=70
º，则∠
ADC= .
A
．70°
B
．80°
C
．100°
D
．110°

3.
如图，
BD
是△
ABC
的角平分线，
DE
∥
BC
，交
AB
于点
E
，∠
A=45
°，

∠
BDC=60
°，求∠
BED
的度数．





4.
如图，已知∠
DAB+
∠
D= 180
°，
AC
平分∠
A
，且∠
CAD=25
°，
（
1
）求∠
DCA
的度数；

（
2
）求∠
ACE
的度数．





∠
B=95
°。


3
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三角形的中线

例
6
．
能把一个三角形分成面积相等的两部分的是该三角形的一条（


）

A
．中线
B
．角平分线
C
．高线
D
．边的垂直平分线

图
1
是一个三角形，
分别连接这个三 角形三边的中点得到图
2
；
再分别连接图
2
中间小三角形的中点，< br>得到图
3
．
（若
三角形中含有其它三角形则不记入）

A
．①②③
B
．①②
C
．②③
D
．①③

3.
下面四 个图形中，线段
BE
是△
ABC
的高的图是（



）

A
．
B
．
C
．
D
．

4
.
如果一个三角形的三条高 的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（


）

A
．锐角三角形
B
．钝角三角形
C
．直角三角形
D
．都有可能


（
1
）图
2
有
__________
个三角形；图
3
中有
_______
个三角形

（
2
）
按上面方法继续下去，
第
20
个图有
______
个三角形；
第
n
个图中有
____
个三角形．
（用
n
的代数 式表示结论）


三角形的高

例
1.
如图
1
，在直角△
ABC
中，
CD
是斜边
AB
上的高 ，∠
BCD
=35
°，则∠
A
=_____.


2.
如图
2
，已知∠
ACB
=90
°，
C D
是斜边
AB
上的高线，可得：∠
1=_____
，∠
2= _____.(
填写图中的角
)


5.
下列说法错误的是（


）

A
．三角形的角平分线能把三角形分成面积相等的两部分
B
．三角形的三条中线，角平分线都相交于一点

C
．直角三角形三条高交于三角形的一个顶点
D
．钝角三角形的三条高所在
直线
的交点在三角形的外部

6. < br>如图
,
在△
ABC
中，∠
ABC=90
°，
BD
⊥
AC
，则图中互余的角有

对
.

7.
如图，
DB
是△
ABC
的高，
AE
是角平分线，∠
BAE=26
，求∠
BFE
的度数
.


0


































1
题图























2
题图

3.
如图，△
ABC
中，
AD
是
BC
边上的高，
AE
是三角形∠
BA C
的角平分线，若∠
B=40
°，∠
C=70
°，求∠
DA E





练习

1.
下列 说法：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②同角或等角的余角相等；③相等的角是对顶角；

④三角形的三条高交于一点．其中正确的有（


）

A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个

2
．下列说法正确的是（


）

①三角形的三条中线都在三角形内部；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；

③三角形三条高都在三角形的内部．






4

8.
如图，在△
ABC
中，∠
A BC=52
，∠
ACB=68
，
CD
、
BE
分别是
AB
、
AC
边上的高，

BE
、
CD相交于
O
点，求∠
BOC
的度数
.







9.
已知：如图所示，∠
AB C=66
°，∠
ACB=54
°，
BE
是
AC
边上 的高，
CF
是

AB
边上的高，
H
是
BE
和
CF
的交点，求：∠
ABE
，∠
ACF
和∠BHC
的度数．


0
0

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