第一讲巧数图形
巡山小妖精
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2021年01月30日 19:05
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第一讲
巧数图形
小朋友们，我们数学课上学习了四边形， 你还记得他们的特点吗？你们是
不是做过下面的这种题：
图中共有（
）个平行四边形
这属于我们奥数里边的一个专题：巧数图形，你能快速的数出来吗？ 有没有什
么巧妙的办法呢？现在让我们一起看一下吧。
一、数线段
例
1
数出右图中共有多少条线段。
方法一：
找规律数线段 。共有
3
＋
2
＋
1
＝
6(
条
)< br>。
方法二：
分类数线段。
共有
3
＋< br>2
＋
1
＝
6(
条
)
。
例
2
．数出右面图中共有多少条线段？
解析：
线段有一个 重要特征：线段都是笔直的．所以
我们在数的时候，必须将这幅图分成四个部分，每一
部分分别 采用以线段左端点分类数的方法，然后把四
部分算得结果加起来．
第一部分从
A
到
E
共有
4
＋
3
＋
2
＋1
＝
10
条线段．
第二部分从
G
到
J
共有
4
＋
3
＋
2
＋
1
＝
10
条线段．
第三部分是
FG
一条线段．
第四部分是
JK
一条线段．
10
＋
10
＋
1
＋
1
＝
22(
条
)
例
3．
一条线段上共有
10
个点，以这
10
个点为端点的不同线段共 有多少条？
分析
：一条线段上有
10
个点，那么我们先把线段画出来
因此，共有线段：
9
＋
8
＋…＋
3
＋< br>2
＋
1
＝
(9
＋
1)
×
9
÷
2
＝
45(
条
)
总结：
1
、找规律数线段
：
一般地，如果线段上有几 个点
(
其中
n
是大于或等
于
2
的自然数
)
，那么以这
n
个点为端点的线段共有：
(n
－
1 )
＋
(n
－
2)
＋…＋
3
＋
2
＋
1
＝
n
×
(n
－
1)
÷
2
；
2
、分类数线段
练习
：下列图形中各有多少条线段？
（
3
）
二、数角
例
4
．右面图形中有几个角？
分析
方法和数线段相同
练习
（
）个角
（
）个角
三、数三角形
例
5
．数出下面图中共有多少个三角形？
方法一
数三角形个数的方法与数线段的方法差不多．
方法二
我们可以发现，可以抓住底边
BC
来考虑，底边
BC
中所包含的每一条线 段都恰好对应一个三角形．
底边左端点是
B
的三角形共有△
BDA
、△
BEA
、△
BCA
三个．
底边左端点是D
的三角形共有△
DEA
、△
DCA
两个．
底边左端点是
E
的三角形只有△
ECA
一个．
所 以一共有三角形：
3
＋
2
＋
1
＝
6(
个< br>)
．
方法三
我们把图中
△
ABC
、
△
ACD
、△
ADE
看作基本三角形：
由
1
个基本三角形构成的三角形有
△
ABC
、
△
ACD
、
△
ADE
；
由
2
个基本三角形构成的三角形有
△
ABD
、
△
ACE
；
由
3
个基本三角形构成的三角形有
△
ABE
。
所以
3
＋
2
＋
1
＝
6
（个）
例
6
．数一数图中共有多少个三角形？
思路分析：我们可以将这幅图分成三个部分来数，即下面三幅图．
在△
ABC
中，一共有
5
＋
4
＋
3
＋
2
＋
1
＝
15(< br>个
)
三角形，
在△
ABD
中，一共有
5< br>＋
4
＋
3
＋
2
＋
1
＝
15 (
个
)
三角形；
在△
BDC
中，一共有
5
个三角形．所以
15
＋
15
＋
5
＝
35(
个
)
例
7
．图中共有多少个不同的三角形？
思路分析：可以用上一题的方法，也可以有另外的思路
:
横着看，有
3
个基本三角形，所以
1+2+3=6
竖着看，有两行，所以三角形个数为
6
×
2=12
个
例
8
．数出下图中共有多少个三角形？
思路分析：这题我们可以采 用按基本图形组合的方法来数．把
图中最小的一个三角形看作基本图形．
由一个基本三角形构成的三角形共有
8
个；
由两个基本三角形构成的三角形共有
4
个；
由四个基本三角形构成 的三角形共有
4
个．因此：
8
＋
4
＋
4
＝
16(
个
)
例
9
．数出下面图形中共有多少个三角形？
解析：分类数三角形
由一个基本三角形构成的三角形共有
9
个；
由四个基本三角形构成的三角形共有
3
个；
由九个基本三角形构成的三角形只有
1
个．
因此
9
＋
3
＋
1
＝
13(
个
)
，所以，图形中 共有
13
个三角形．
例
10
．数出下图中共有多少个三角形？
思路分析：分类编号
由一块形成的三角形有
4
个；
由两块拼成的三角形有
5
个，分别是①＋②
①＋③
③＋④
②＋④
⑤＋⑥；
由三块拼成的三角形有两个，分别为①＋③＋⑤，②＋④＋⑥；
由四块拼成的三角形有
1
个，即是①＋②＋③＋④；
没有由五块拼成的三角形；
由六块拼成的三角形有
1
个，即最大的三角形．
所以，图中三角形 一共有
4
＋
5
＋
2
＋
1
＋
1＝
13(
个
)
．
总结：
1
、找规律数三角形
2
、纵横数三角形
3
、分类数三角形
练习
：下列图形中各有多少个三角形？
（
）个三角形
（
）个三角形
（
）个三角形
（
）个三角形
（
）个三角形
（
）个三角形