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2021年1月30日发(作者：山西专升本分数线)

1
、如图
,
四边形
ABCD
是边长为
2
的正方形，点
G
是
BC
延长线上一点，连结
AG
， 点
E
、
F
分别在
AG
上，连接
BE
、DF
，∠
1=
∠
2
，

∠
3=
∠
4.
(1)
证明：△
ABE
≌△
DAF
；

（
2
）若∠
AGB=30°
，求
EF
的长
.
A
4
2
B
1
E
3
F
D
C
G

【解析】

（
1
）∵四边形
ABCD
是正方形，










∴
AB=AD
，

在△
ABE
和△
DAF
中，
∴△
ABE
≌△
DAF.


2< br>

1


AB

DA


4


3

，

（
2
）∵四边形
ABCD
是正方形，

∴∠
1+
∠
4=90
o

∵∠
3=
∠
4,
∴∠
1+
∠
3=90
o

∴∠
AFD=90
o

在正方形
ABCD
中，

AD
∥
BC,
∴∠
1=
∠
AGB=30
o

在
Rt
△
ADF
中，∠
AFD=90
o




AD=2 ,


∴
AF=
3

,

DF =1,
由
(1)
得△
ABE
≌△
ADF,
∴
AE=DF=1,
∴
EF=AF- AE=
3

1
.
2
、如图，

AB
AC
,
AD

BC
于点
D
，
AD

AE
，
AB
平分

DAE
交DE
于点
F
，请你写出图中
三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．





【解析】

△
ADB
≌△
ADC
、
△
ABD
≌△
ABE
、△
AFD
≌△
AFE
、
△
BFD
≌△
BFE
、
（
1
）


△
ABE
≌△
ACD
（写出其中的三对即可）
.

（
2
）以
△
ADB
≌
ADC
为例证明．< br>
证明：
AD

BC
,

ADB


ADC

90
°
.

在
Rt
△
ADB
和
Rt
△
ADC
中，

AB

AC
,
AD

AD
,



Rt
△
ADB
≌
Rt
△
ADC
.
3
、在△
ABC
中
,AB=CB,
∠
ABC=90
º
,F
为
AB
延长线上一点
,
点
E
在< br>BC
上
,
且
AE=CF.

(1)
求证< br>:Rt
△
AB
E
≌
Rt
△
CBF;
(2)
若∠
CAE=30
º
,
求∠
ACF
度数< br>.
C
E
F
B
第
22
题图


【解析】

（
1
）∵∠
ABC=90
°



∴∠
CBF=
∠
ABE=90
°

在
Rt
△
ABE
和
Rt
△
CBF
中

∵
AE=CF, AB=BC



∴
Rt
△
ABE
≌
Rt
△
CBF(HL)
(2)
∵
AB=BC,
∠
ABC=90
°


∴


∠
CAB=
∠
AC
B=45
°


A

∵∠
BAE=
∠
CAB-
∠
CAE =45
°
-30
°
=15
°
.
由（
1
）知


Rt
△
ABE
≌
Rt
△
CBF
，


∴∠
BCF=
∠
BAE=15
°

∴∠
ACF=
∠
BCF+
∠
ACB=45
°
+15°
=60
°

4
、已知：如图，点
C
是线段< br>AB
的中点，
CE=CD
，∠
ACD=
∠
BCE,

求证：
AE=BD
．


题
20
图

【解析】

∵点
C
是线段
AB
的中点，

∴
AC=BC
，

∵∠
ACD=
∠
BCE,

∴∠
ACD+
∠
DCE=
∠
BCE+
∠
DCE,
即∠
ACE=
∠
BCD,


AC
BC

在△
ACE
和△
BCD
中，


ACE


BCD
，


CE

CD

∴△
ACE
≌△
BCD
（
SAS
）
，

∴
AE=BD.
5
、如图
10< br>，已知
Rt

ABC

Rt

ADE
，

ABC


ADE

90

,
BC
与
DE
相交于点
F
，连接
CD
,
EB
．

（
1
）图中还有几对全等三角形，请你一一列举 ；
（
2
）求证：
CF

EF
．


【解析】

（
1
）

ADC


ABE
,

CDF


EBF






（
2
）证法一：连接
CE









∵
Rt

ABC

Rt

ADE


∴
AC

AE









∴

ACE


AEC









又∵
Rt

ABC

Rt

ADE


∴

ACB


AED










∴

A CE


ACB


AEC


AED













即

BCE


DEC









∴
CF

EF








证法二：∵
Rt

ABC

Rt

ADE


∴
AC
< br>AE
,
AD

AB
,

CAB
< br>
EAD
,









∴

CAB


DAB< br>

EAD


DAB










即

CAD


EAB










∴

A CD


AEB
(
SAS
)

∴
CD

EB
,

ADC


ABE









又∵

ADE


ABC

∴

CDF


EBF

又∵

DFC


BFE

∴

CDF


EBF
(
AAD
)

∴
CF

EF

6
、如图，点
F
是
CD

的中点，且
AF
⊥
CD
，
BC
＝
ED
，∠
BCD
＝∠
EDC
．

（
1
）求证：
AB=AE
；

（
2
）连接
BE
，请指出
BE
与
AF
、
BE
与
CD
分别有怎样的关系？

B
A
E

C
F
D

（只需写出结论，不必证明）
．

【解析】

（
1
）证明：联结
AC
、
AD
∵点
F
是
CD

的中点，且
AF
⊥
CD
，∴
AC=AD




∴∠
ACD=
∠
ADC




∵∠
BCD
＝∠
EDC

∴
∠
ACB
＝∠
ADE





∵
BC=DE
，
AC=AD





∴△
ABC
≌△
AED




∴
AB=AE
（
2
）
BE
⊥
AF,BE//CD,AF
平分
BE
7
、如图
l
，已知正方形
ABCD
的对角线
AC
、
BD
相交于点O
，
E
是
AC
上一点，连结
EB
，
过 点
A
作
AM

BE
，垂足为
M
，
AM
交
BD
于点
F
．

(1)
求证：
OE=OF
；

(2)
如图
2
，
若点
E
在
AC
的延长线上，
AM
< br>BE
于点
M
，
交
DB
的延长线于点
F
，
其它条件
不变，则结论“
OE=OF
”还成立吗
?
如果 成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

A
O
F
B
M
图
1
E
C
D
A
O
M
B
F
图
2
D
C
E

【解析】


(1)
证明：∵四边形
ABCD
是正方形．








∴

BOE=
AOF
＝
90

．
OB
＝
OA





又∵
AM

BE
，∴< br>
MEA+

MAE
＝
90

=

AFO+

MAE
∴

MEA
＝

AFO






∴
Rt
△
BOE
≌

Rt
△
AOF






∴
OE=OF
(2)OE
＝
OF
成立

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