相似三角形及黄金分割
巡山小妖精
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2021年01月31日 02:22
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学思达教育
相似三角形
2012
年暑期
相似三角形知识点
一、☆内容提要
1
、比例的有关性质：
a
c
b
d
ad
bc
（比例基本定理）
b
d
a
c
d
c
a
b
或
b
a
c
d
a
b
c
d
合比性质：
b
d
a
c
m
a< br>
c
m
a
< br>
b
d
n
< br>0
等比性质：
b
d
nb
d
n
b
a
b
b
2
a
c
b是
a
,
c
的比例中项
b
c
应用变形
:
a
c
a
c
a
kb
c
kd
，
。
,
求证
:
b
d
a
b< br>c
d
b
d
a
c
b
d
a< br>
b
c
d
a
c
证明
:
（
1
）∵
∴
∴
∴
b
d
a
c
a
c
a
b
c
d
a
c
a
c
a
kb
c
kd
（
2
）
k
k
b
d
b
d
b
d
已 知
2
、黄金分割的定义：
在线段
AB
上，点
C< br>把线段
AB
分成两条线段
AC
和
BC
，如果
AC
BC
小线段
大线段
（
）
,
整段
AB
AC
大线段
那么称线段
AB
被点
C黄金分割（
golden
section
）
,
点
C< br>叫做线段
AB
的黄金分割点，
AC
与
AB
的比叫做< br>黄金比
.
其中
AC
5
1
＝
≈0.618.
AB
2
A
C
B
推导黄金比：
设
AB=1
，
AC=x
，
则
BC=1-x
，
所以2
5
1
x
1
x
，
即x
1
x
，
用配方法解得
x=
< br>2
1
x
≈
0.618
特别提示：
1
、一条 线段有
2
个黄金分割点，它们关于原点对称。
2
、黄金比并不为黄 金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线
段的比为黄金比。黄金比没有单位。
例：若矩形的两邻边长度的比值约为
0.618
，这个矩形称为黄金矩形； 若在黄金矩形中截
取一个正方形，那么剩余的矩形仍是黄金矩形。
3
、必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是一条线段的黄金分割点。
涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第
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学思达教育
相似三角形
2012
年暑期
二、☆有关知识点：
1
、
相似三角形
定义
：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三 角形。
2
、
相似三角形的
表示
方法：用符号“∽”表示， 读作“相似于”
。
3
、
相似三角形的
相似比
：相 似三角形的对应边的比叫做相似比。
4
、
相似三角形的预备定理：平行于三 角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成
的三角形与原三角形相似。
5
、
相似三角形的
判定
定理：
(1)
三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
类型
全等三角形的判定
相似三角形
的判定
SAS
两边
对应成
比例
夹角
相
等
斜三角形
SSS
AAS
（
ASA
）
直角三角形
HL
一
条
直
角
边
与
斜
边
对
应
成比例
三边
对应成
两角
对应相
比例
等
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例” 就
可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并< br>从中探究新知识掌握的方法。
6
、直角三角形相似
：
（
1
）直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
（
2
）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对 应成比例，
那么这两个直角三角形相似。
射影定理
：
CD
²
=AD
·
BD
，
AC
²
=AD
·
AB
，
BC
²
=BD
·
BA
（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）
.
7
、
相似三角形的
性质
定理：
（
1
）相似三角形的对应角相等。
（
2
）相似三角形的对应边成比例。
（
3
）相似 三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（
4
）相似三角形的周长比等于相似比。
（
5
）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8
、
相似三角形的
传递性
如果△
AB C
∽△
A
1
B
1
C
1
，△
A1
B
1
C
1
∽△
A
2
B
2< br>C
2
，那么△
ABC
∽
A
2
B
2< br>C
2
三、☆注意
1
、相似三角形的基本定理，它 是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的
基础，这个定理确定了相似三角 形的两个基本图形“
A
”型和“
Z
”型。
在利 用定理证明时要注意
A
型图的比例
AD
DE
AE
，每个比的 前项是同一个三角形的三条
AB
BC
AC
边
，
而
比
的
后
项
是
另
一
个
三
角
形
的
三
条
对
应
边
，
它
们
的
位
置
不
能
写
错
，
尤
其
是
要
防
止
写
成
AD
DE
AE
的错误。
DB
BC
EC
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、相似三角形的几种基本图形
:
A
E
A
B
D
D
C
②
A
P
C
B
A
E
C
③
C
D
B
①
A
D
E
C
A
B
D
B
D
B
C
⑥
④
⑤
Ⅰ、平行线：
A
型
Z
型
图①为“
A< br>”型图，条件是
DE
∥
BC
，基本结论是△
ADE
∽ △
ABC
；
图②为“
X
”型图， 条件是
ED
∥
BC
，基本结论是△
ADE
∽△
AB C
；
Ⅱ、相交线
图③，图④是图①的变式；图⑤是图②的变式；
图⑥是“母 子”型图，条件是
CD
为斜边上的高，基本结论是△
ACD
∽△
AB C
∽△
CBD
。
Ⅲ、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明
3
、三角形相似及比例式或等积式。
4
、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
5
、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着
k;
对于等比问题，常用处理办法是设“公比 ”为
k
。
6
、对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基 本图形）
“抽”出来的办法处理。
四、☆实题演练
1.
如图，已知
DE//BC,EF//AB,
则下列比例式中错误的是
( )
A
、
AD
AE
CE
EA
DE
AD
EF
CF
B
、
C
、
D
、
< br>AB
AC
CF
FB
BC
BD
AB
CB
A
A
E
D
F
E
D
B
B
F
C
2
题图
C
2.
如图，
E
是平行四边形
ABCD
的边
BC
的延长线 上的一点，
连接
AE
交
CD
于
F,
则图中共有相似 三角形
对。
3.
三角形
ABC
中，< br>DE//BC,
且
AD:DB=2:1
，那么
DE:BC=
。
4.
如图，已知
DE//BC,CD
和BE
交于点
O,
若
BE:BO=5:3
，则
AD:DB =
。
A
D
B
3
题图< br>A
D
B
O
4
题图
E
C
E
C
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．如图，已知
A B//CD,BO:CO=1:4
，点
E,F
分别是
OC,OD
的中 点，则
EF:AB=
。
6.
如图，已知DE//FG//BC,
且
AD:FD=1:2
，
FG
是
DE,BC
的比例中项，则
DF:BF=
。
A
A
O
E
F
F
D
5
题图
BD
E
G
C
B
6
题图
C
7.
梯形
ABCD
的对角线
AC,BD
相交于点
O,
过
O
作
EF
平行于底，
与腰
AD,BC
相交于
E.F,
若
DC=14
，
OF==12.
则
DE=
。
8.
如图，
E
是平行四边形
ABCD
的边
AD
上的点，
AE=
D
E
O
B
AB
7
题图
ED,BE
交
AC
于
F,
则
A
E
=
。
D
C
F
8
题图
C
9.
若
FD//BC,FB//AC.
=
，则
=
=
A
D
F
E
10.
如图，
E
是
AC
的中点，
C
是
BD
的中点，则
A
F< br>E
B
9
题图
C
B
C
10
题图
D
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如图，三角形
ABC
中，
BD
是角平分线，过
D
作
DE//AB
交
BC于点
E,AB=8
，
BE=3
，求
EC
的长
12.
如图，直线
L1//L2
，
AF:FB=2:3
，< br>BC:CD=2:1
，求
AE
：
EC=
A
G
A
L1
D
F
E
B
E
C
BC
L2
11
题图
12
题图
☆
作辅助线构造“
A
”
“
X
”型
1
、如图，
BD
AE
CD
AF
DE
1
，求
BF
。
（试用多种方法解）
方法一：
方法二：
方法三：
A
F
E
B
D
C
A
F
E
B
D
C
A
F
E
B
D
C
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