浅谈数学美的表现形式
温柔似野鬼°
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2021年01月31日 02:26
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宜宾学院
论文题目
姓
名
院（系）
班
级
实习单位
电话号码
指导老师
完成时间
毕
业
论
文
数学美
曾娜娜
数学系
专业
教育
12
级
5
班
宜宾市七中
刘志平
2015.3
- 1 -
数学美
【摘要】
爱美之心，人皆有之，人们执著地追求美。但什么是美？却只能意会，不能 言传。然
而当我们聆听一首优美的乐曲，观看一幅精美的图画，或置身于幽雅的大自然中，我们便
会全身心地感到愉悦，受到一种美的陶冶。
可是除了艺术的美、大自然的美外，人们是否 想到科学也有美，数学也有美呢？有不
少中小学生认为学习数学很艰苦、枯燥无味，不存在什么美感的问 题。只是为了考试，为
了升学而不得不学习数学。
数学果真无美感可言吗？否。古今中外有许多知名学者都认为
数学是美的，并作过精辟的论述。
古希腊学者 毕达哥拉斯说：
“美就是和谐，
整个天体是一种和谐，
宇宙的和谐是由数组
成 的，因而构成了整个宇宙的美。
”
英国哲学家、数学家罗素认为：
“数学 ，如果正确地看它，不但拥有至高的美，是一种
冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性脆弱的方面，这 种美没有绘画或者音乐那种华丽
的装饰，
它可以纯净到崇高的地步，
能够达到只有伟大 的艺术才能谱写的那种完美的境地。
”
这就道出了美的特殊性。
香港旅美 数学家、菲尔兹奖获得者丘成桐说：
“数学家寻美的境界，讲求简单的定律，
解决实际问题，而 这些因素都永远不会远离世界。
”即数学有取之不尽的源泉。
数学美的表现形式是 多种多样的，从数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的
方法及思维看，有简约之美 、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、
和谐之美、奇异之美等。
【关键词】
语言美
和谐美
奇艺美
对称美
- 2 -
【引言】
在高中的时候，我学习不好，因为成绩不好的原 因渐渐的也不怎么喜欢读书了。那时
我的数学老师是一个快要退休的男老师
（我们班的学生都叫 他梅爷）
，
他人特别的慈祥也很
关心学生，时不时的再上课的时候讲一个，两个冷笑话 来调节一下气氛。每次当我昏昏欲
睡的时候总会被他讲的幽默笑话给弄醒了。我很喜欢梅爷，也喜欢他讲 的笑话，因此喜欢
上了数学，顺理成章的来到了数学系。记得一次在数学课上老师给我们看来一些图片（ 这
些图片特别的奇妙明明是一副静的图片，可是看起来确是动的）当时就被这些图片给震撼
住了 ，居然数学中还存在着这么多好玩儿的东西！现在的我数学根本谈不上什么造诣，但
是却总有一种好奇心 激励着我去了解数学的美。
伽利略曾今说过：
“自然这部书由数学语言
写成的，哪里有 数学，哪里就有美”
。数学是美的，数学是美的科学。数学美的表现形式是
多种多样的，从内容 来看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，
有简约之美、类比之美、抽象之美 、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和
谐之美、奇异之美等。
1
语言美
数学有着自身特有的语言———数学语言，其中包括：
1.1
数的语言——符号语言
关于“
”
，
《九章算术》
如斯说：
“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至 于不可
割，则与圆合体，而无所失矣”
；面对“
2
”这一差点被无理的行为淹 没的无理数，我们
一直难以忘怀那位因发现
“边长为
1
的正方形，
其 对角线长不能表示成整数之比”
这一
“数
学悖论”而被抛进大海的希帕索斯（公元前五 世纪毕达哥拉斯学派成员）
。还有
sin
α
、
∞
等等，一个又一个数的语言，无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致。
1.2
形的语言——视角语言
从形的角度来看——对称性
（“中心对称”
、
“
轴对称”
演绎了多少遥相呼应的缠绵故事）
；
比例性（美丽的“黄金分割法”分出的又岂止身材的绝妙配置？）
；和谐性（如对数中：对数记号、底数以及真数三者之间的关联与配套实际上是一种怎样的经典的优化组合！
）
；鲜
明性（
“最大值”
、
“最小值”
让我们联想起——“山的 伟岸”与“水的温柔”
，并深切地感
悟到：有山有水的地方，为何总是人杰地灵的内在神韵„„ ）和新颖性（一个接一个数学
“悖论”的出现，保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力）等等。
2
．简洁美
- 3 -
爱因期坦说过：
“美，本质上终究是简单性。
”他还认为，只有借助数学，才能达到简
单性的美学准则。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上
至美。
欧拉给出的公式：
V
－Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没
有人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个
如此简 单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？！
在数学中，像欧拉公式这 样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：
圆的周长公式：
C=2
π< br>R
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方
+
=
。
正弦定理：
Δ
ＡＢＣ的外接圆半径Ｒ，则
a
b
c
2
R
sin
A
sin
B
sin
C
数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的
定理更简洁。
正如伟大的希而伯特曾说过：
“数学中每一步真正的进展都与更有力的工 具和
更简单的方法的发现密切联系着”
。
庞加莱指出：
“在解中， 在证明中，给我们以美感的东西是什么呢？是各部分的和谐，
是它们的对称，是它们的巧妙、平衡”。
3
．和谐美
美是和谐的．和谐性也是数学美的特征之一 ．和谐即雅致、严谨或形式结构的无矛盾
性．
没有那门学科能比数学更为清晰的阐明自然界的和谐性。
数论大师赛尔伯格曾经说， 他喜欢数学的一个动机是以下的公式：
1
，这
4
1
3
1
5
个公式实在美极了，奇数1
、
3
、
5
、„这样的组合可以给出
，对于 一个数学家来说，此公
式正如一幅美丽图画或风景。
欧拉公式：
ei
1
，曾获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他 那个时代，数
学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有< br>关的棣美弗－欧拉公式是
cos
i
sin
e
i
（１）
。这个公式把人们以为没有什么共同性的
两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，
继而赞叹―― 确是“天作之合”
。
数学最伟大的和谐美要从黄金分割说起了。黄金分割又称黄金律，是指各部分间一定
- 4 -
的数学比例关系，
即将整体一分为二，
较大部分与较小部分之比 等于整体与较大部分之比，
其比值为
1
∶
0.618
或
1. 618
∶
1
，即长段为全段的
0.618
。
0.618被公认为最具有审美意义
的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
在正五边形中，边长与对角线的长的比例为黄金分割。在自然界中黄金分割也广泛的
存在，
比如说向光的相邻两片叶子的也柄的的角度大部分是成
137
度
28
分的，
而这个角度
恰好是把一个圆分成为
1
：
0.618< br>，又是一个完美的黄金分割。这有什么原因呢？原来当植
物的相邻叶子呈这个角度分配的时候可以 最大限度的吸收阳光，最大化的利用了阳光，为
植物自己的生长常创造了良好的条件。甚至在人体上也有 大量的黄金分割，人的肚脐到脚
的距离与让你的身高之比为黄金分割，人的鼻尖到额头顶的距离与人的整 个头的长度的比
为黄金分割比，一只眼睛与头的宽度之比也为黄金分割。被誉为美神的维纳斯像就是按照
黄金分割比来雕刻的。在建筑学中黄金分割的地位更不用说。建筑物的窗口，宽与高度的
比一般 为
；伟大的金字塔，巴黎圣母院都存在着大量的关于黄金分割的比例。当气温为
23
摄氏度时，人感到最舒服，此时
23:37
（体温）约为
0.618
；名画的主题，大都画在画
面的
0.618
处，弦乐器的声码放在琴弦的
0. 618
处，会使声音更甜美。建筑设计的精巧、
人体科学的奥秘、美术作品的高雅风格，音乐作 品的优美节奏，交融于数的对称美与和谐
美之中。
黄金分割比在许多艺术作品中、 在建筑设计中都有广泛的应用。达·芬奇称黄金分割
比
5
1
为“神圣比例”
．他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例 关系上”
。与
2
5
1
有关的问题还有许多，
“黄金分割”
、
“神圣比例”的美称，她受之无愧。
2
4
．奇异美
全世界有很大影响的两份杂志曾联合邀请全世界的数 学家们评选
“近
50
年的最佳数学
问题”
，其中有一道相当简单的问 题：有哪些分数
ab
，不合理地把
b
约去得到
a
，结果却< br>bc
c
是对的？
经过一种简单计算，可以找到四个分数：
1 6
26
19
49
。这个问题涉及到“运算谬误，
,
,
,
64
65
95
98
结果正确”的歪打正着，在给人惊喜之余，不 也展现一种奇异美吗。
还有一些“歪打正着等式”
，比如
- 5 -