北师大版九年级上册数学相似三角形整理与复习
玛丽莲梦兔
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2021年01月31日 02:27
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12
相似三角形整理与复习
【考点分析】
①了解比例的性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．
②通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比．
③掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
一、比例线段
1.
比例线段：
在四条线段中，
如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，
那么这四条
线段叫做成比例线段，简称比例线段
.
a
c
，则
d
叫
a
、
b
、
c
的第四比例项
.
b
d
a
b
2
3.
比例中项：若
，即
b
ac
，则
b
叫
a
、< br>c
的比例中项
.
b
c
2.
第四比例项：若
针对练习：
1
、下列说法中正确的是（
）
A.
两条线段的比总是整数
B.
两条线段的比总是正数
C.
两条线段的比可能为
0 D.
两条线段的比与所采用的长度单位有关
2
、下列各组中的四条线段成比例的是
( )
A.
a
=
2
，
b
=3
，
c
=2
，d
=
3
B.
a
=4
，
b
=6
，
c
=5
，
d
=10
C.
a
=2
，
b
=
5
，
c
=2< br>3
，
d
=
15
D.
a
=2
，
b
=3
，
c
=4
，
d
=1
二、比例的性质
1
基本性质：
a
c
a
b
ad
bc
;
b2
ac
（
a
、
b
、
c
、< br>d
都不为零）
b
d
b
c
2
等比性质：
如果
a
c
e
m< br>a
c
e
m
a< br>
(
b
d
< br>f
n
0
)
，那么
．
b
d
f
n
b
b
d
f
n
温馨提示：
(1)
此性质的证明运用了“设
k
法”
，这种方法是有关比例计算，变形中一种常
用方法．
(2)
应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)
可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用
等比性质也成立．如：
12
a
c
e
a< br>
2
c
3
e
a
2
c
< br>3
e
a
< br>；其中
b
2
d
3
f
0
b
d
f
b
2
d
3
f
b
2
d
3
f
b
三、黄金分 割
点
C
把线段
AB
分成两条线段
AC
和
BC,
如果
AC
BC
,
那么称线段
AB
被点
C
黄金分割
,
AB
AC
点
C
叫做线段
AB
的
黄金分割点
, AC
与
AB
的比叫做
黄金比
.
A
C
B
黄金比
=
5
1
0
.
618
2
四、相似多边形
1.
一般地
,
形状相同的图形称为相似图形。
2.
对应角相 等、
对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形
.
相似多边形对应边的比叫做相
似比。
3
、相似多边形的性质
（
1
）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。
（
2
）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
例
1
、
（
1
）若
2
x
－
5
y
=0
，则
y
∶
x
=__ ______
，
x
y
=________.
x
（
2
）已知
变式练习
1
：
（
1
）已知
x
y
z
2
x
3
y
4
z
x
y
z
0
，求下列各式的值：
y
5x
3
y
z
3
5
7
xx
y
4
，则
y
2
x
3
x
y
的值；②若
x
+< br>y
+
z
=6
，求
x
、
y
、
z
.
z
（
2
）已知
x
∶
y
∶< br>z
=3
∶
4
∶
5
，①求
12
（
2
）若
a
2
b
c
5
,
且
2a
－
b
+3
c
=21.
试求
a
，b
，
c
.
3
4
6
例
2
、< br>如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片
ABCD
，先折出
BC
的中点
E
，再折出
线段
AE
，然后通过折叠使
EB
落到线段
EA
上，折出点
B
的新位置
B′，因而
EB′=E B．类似
地，在
AB
上折出点
B″使
AB″=AB′．这是
B″就是
AB
的黄金分割点．请你证明这个结论．
变式练习
2
：
据有关实验测定，当气温处于 人体正常体温（
37
°
C
）的“黄金分割点”时，
人感到最舒适.
这个气温约为
_______
°
C.
例
3
、
以长为
2
的线段
AB
为边作正方形
ABCD< br>，取
AB
的中点
P
，连结
PD
，在
BA的延长线上
取点
F
，使
PF
=
PD
，以
AF
为边作正方形
AMEF
，点
M
在
AD
上，< br>
（
1
）求
AM
、
DM
的长
. < br>（
2
）求证：
AM
=
AD
·
DM
.
（
3
）根据（
2
）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？
2
12
变式练习
3
：
如果一个矩形
ABCD
(
AB
＜
BC
)
中，
AB
5
1
≈
0.61 8
，那么这个矩形称为黄
BC
2
金矩形，
黄金矩形给人以美感
.
在黄金矩形
ABCD
内作正方形
CDEF
，
得到一个小 矩形
ABFE
(
如
图
)
，请问矩形
ABFE
是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性
.
例
4
、
如 图，将矩形
ABCD
沿两条较长边的中点的连线对折，得到的矩形
ADFE
与 矩形
ABCD
相似，确定矩形
ABCD
长与宽的比。
变式练习
4
：
在长
8cm
，宽
4cm
的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（图中阴影部分）
与矩形相似，那么留下的矩形的面积为（
）
cm
。
A 32 B 8 C 24 D12
2
12
课堂练习
（一）选择题
1.
已知线段
a
、
b
、
c
、
d
满足
ab
=< br>cd
，把它改写成比例式，错误的是
( )
A.
a
∶
d
=
c
∶
b
B.
a
∶
b
=
c
∶
d
C.
d
∶
a
=
b
∶
c
D.
a
∶
c
=
d
∶
b
2.
下列说法中正确的是：所有的（
）都相似。
A
、菱形
B
、矩形
C
、正方形
D
、梯形
3.
一条线段的黄金分割点有（
）
.
A. 1
个
B. 2
个
C. 3
个
D.
无数个
4.
已知点
M
将线段
A B
黄金分割
(
AM
＞
BM
)
，则下列各式中不正确 的是
( )
A.
AM
∶
BM
=
AB
∶
AM
B.
AM
=
5
1
5
1
AB< br> C.
BM
=
AB
D.
AM
≈
0.618
AB
2
2
5.
下列各组图形中相似的是（
）
A
、①②③
B
、②③④
C
、①③④
D
、①②④
6.
如图，
正五边形
F GHMN
是由正五边形
ABCDE
经过位似变换得到的，
若
AB:F G=2:3
，则下列结论正确的是（
）
A
．
2DE=3MN
，
B
．
3DE=2MN
，
C. 3
∠
A=2
∠
F D
．
2
∠
A=3
∠
F
7.
已知
a
c
,
则下列式子中正确的是（
）
b
d
A.
a
∶
b< br>=
c
2
∶
d
2
B.
a
∶
d
=
c
∶
b
C.
a
∶
b
=
（
a
+
c
）∶（
b
+
d
）
D.
a
∶
b
=
（
a
－
d
）∶（
b
－
d
）
8.
如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是
( )
A.2
∶
1
（二）填空题
B.4
∶
1 C.
2
∶
1
D.1
∶
2
12
9.
如果
a
b
3
a
,
那么
=_ _______.
b
5
b
10.
若
5
：
2=
（
3-x
）：
x
，则
x=________ ___
11.
在
1
∶
500000
的地图上，
A
、
B
两地的距离是
64
cm
，
则这两地间的实际距离是
________.
（三）解答题
12.
已知线段
AB=10cm，
C
、
D
是
AB
上的两个黄金分割点，求线段
CD
的长
.
13.
在同一时刻物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为
50 m
，同时高为
1.5 m
的测杆的影长为
2.5 m
，那么古塔的高是多少
?
14.
已知实数
a
,
b
,
c
满足
自我巩固
1.
以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（
）
b
c
c
a
a
b
b
c
,
求
的值
.
a
b
c
a