无烟日宣传资料-开学第一课主题

2021年1月31日发(作者：啊娘使道传)
一、

长
方体和正方体

1
、两个面相交的线叫做棱，三条棱相交的点叫做顶点。

2
、

相同点

形体

面

长方
6
体

面是正方形。

的长方体

正方
6
体

长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。

长方体的
12
条棱有
3
组，每组的四条棱长度相等。
长方体的棱长总和
=
长×
4+
宽×
4+
高×
4 =
（长
+
宽
+
高）×
4
12
8
六个面都是正方形

六个面的面积相等

六条棱长都相等

12
8
时也有两个相对的
相对的面的面积相等

等

正方体是特殊
棱

顶点

面的形状

一般都是长方形，
有
平行的四条棱长度相
面的大小

棱长

不同点

关系

长方体放桌面上，最多只能看到
3
个面。

3
、正方体的展开

1
）
．
“
141型”
，中间一行
4
个图：作侧面，上下两个各作为上下底面，
•
共有
6
种基本图形。




2
）
．
“
231
型”
，中间
3
个作侧面，共
3
种基本图形。见上图

3
）
．
“
222
”型，两 行只能有
1
个正方形相连。


4
）
．
“
33
”型，两行只能有
1
个正方形相连。

4
、长 方体的表面积就是长方体六个面的总面积。由于相对的面完全相同，所以可以先求出前面、后面和下面
三 个面的面积，再乘以
2
，就可以求出表面积了。

长方体的表面积

=
长×宽×
2+
长×高×
2+
宽×高×
2

=
（长×宽
+
长×高
+
宽×高）×
2
正方体的六个面完全相同，所以计算时只要算出其中的一个面，再乘
6
就可以了。
正方体的表面积

=
棱长×棱长×
6
5
、在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。在解答时，可以把这几个面的面积分别算
出来，再相加，也可以先算出六个面的面积总和，再减去不需要的那个（些）面。

一个抽屉 有
5
个面，分别是前面、后面、左面、右面、底面。所以做这样一个抽屉所需要的木板，只要算 出
这
5
个面的面积就可以了。

通风管顾名思义是通风用的，没有底面。所以只要算四个侧面就可以了。

（
1
）具有六个面的长方体、正方体物品：油箱、罐头盒、纸箱子等；

（
2
）具有五个面的长方体、正方体物品：水池、鱼缸等；

（
3
）具有四个面的长方体、正方体物品：水管、烟囱等。

6
、体积和容积。

（
1
）体积：物体所占空间的大小

（
2
）容积：容器所能容纳物体的体积

像这个长方体木箱的体积除 了里面能容纳物体的体积外，还有做成木箱的木板的体积。一个物体的体积
要比一个物体的容积大，因为 体积还包括自身材料的体积。

7
、
体积（容积）单位。

（
1
）用列表的形式来表述体积单位的大小，以利于记忆。

单位名称

1
立方厘米

米

棱长是1
分米的正方体，体积是
1
立方分
1
立方分米

米

用
3
根
1
米长的木条做成互相垂直的架子放在 墙
1
立方米

棱长是
1
米的正方体，体积是
1
立方米

角所圈定的空间的大小

体积与容积单位之间的关系：
1
立方厘米
=1
毫升



1
立方分米
=1
升

升和毫升之间的 进率是
1000
，因为
1
升是
1
立方分米，
1毫升是
1
立方厘米。升和毫升相比，升是高级单位，
毫升是低级单位，把高级单位 的数量换算成低级单位的数量，都要乘相应的进率。

8
、因为长方体的体积都是由它 的长、宽、高决定的，它的体积
=
长
×
宽
×
高。正方体是特 殊的长方体，长
=
约为一个粉笔盒的大小

意义

棱长是< br>1
厘米的正方体，体积是
1
立方厘
约为一个手指尖的大小

相当的实物

宽
=
高，因而它的体积是由棱长决定的，体积
=
棱长
×
棱长
×
棱长。因为长方体和正方体的底面积是两条棱长决定的，即长方体底面积
=
长
×
宽；正方体的底面积
=
棱长
×
棱长；所以长方体和正方体的体积又可以说是由
底面积和高决定的，它们的体积
=
底面积
×
高。

（
1
）长方体的体积
=
长×宽×高

（
2
）正方体的体积
=
棱长
×
棱长
×
棱长

（
3
）长方体的体积
=
底面积×高

9
、 求这根长方体木料的体积要用“底面积×高”
，从中间截成两段，表面积实质上增加了两个底面，如图。
两个面的面积和是
12
平方分米，一个面的面积是
6
平方分米。


本题求体积用的公式是“底面积×高”
，也可以说用的是“横截面 积×长”
。另外对于把一个长方体截成两
段，截了一次，增加了两个面，如果是截成三段，就是 截了两次，增加了四个面。也就是说每截一次，增加
两个面。

10
、综合运 用体积单位、长度单位的知识。将一个大的形体分成一个小的形体。将小正方体紧紧地排成
一排，能排多 少米，实际上就是将这些小正方体的棱长加起来，看有多长。

棱长是
1
米的 正方体，它的体积是
1
立方米，棱长是
1
分米的正方体，它的体积是
1
立方分米，
1
立方米

= 1000
立方分米，
所以能分成
1000
个。
顺次紧紧地排成一排，
那么就能排成
100 0
分米，
1000
分米

= 100
米。


二、

分
数乘法

1
、分数和整数相乘，可以表示求几个几分之几相加的和。

2
、求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算。

3
、分数和整 数相乘，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。如果整数能与分数的分母约分，要先
约分，再 计算。

4
、在解答有关分数乘法的实际问题时要找准单位“
1
”的 量。数量关系式是：单位“
1
”

×分率

=
分率对应
的量

5
、
求一个数的几分之几
（几倍）
是多少的分数应用题的解题思路和解答方法完全相同：
用一个数乘几分之几。
解题思路 中是把一个数看作单位“
1
”
，这也就提示我们解答分数应用题时先要找准单位“1
”
。同样，我们在
画线段图时，也应该先画出单位“
1
”的量 。

在解答分数应用题的过程中，不仅仅要找准单位“
1
”的量，还要知道分 率对应的量是什么？一般来讲，题目
中分率如果是多（少）的分率，那么分率对应的量就是多的部分（少 ）
。

6
、根据“实际产量比计划节约了
”
，写出一个数量关系式

计划产量

×


=
实际产量比计划节约的产量

7
、分数和分数相乘，表示求一个数的几分之几 相加的和，分数和分数相乘，用分子相乘的积作分子，用分母
相乘的积作分母。

8< br>、因为整数可以看成分母是
1
的假分数，所以分数和分数相乘的计算方法适用于分数和整 数相乘。

9
、三个数相乘，先把前两个数相乘，得出的积再和第三个数相乘。但为了 简便，可以先把所有分数的分子和
分母约分，再把约分后的分子和分母相乘。

10< br>、一个数和真分数相乘，所得的积小于这个数；一个数和假分数相乘，所得的积大于这个数。
< br>11
、解答分数乘法应用题时，可以借助于线段图来分析数量关系。在画线段图时，先画单位“< br>1
”的量。数量
关系式是：单位“
1
”

×分率

=
分率对应的量。

12
、乘积为1
的两个数互为倒数，求一个数（
0
除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调 换位置。

13
、
1
的倒数是
1
，
0没有倒数，真分数的倒数都大于
1
，自然数的倒数都是分子为
1
的真分数 ，假分数的倒
4
5
4
5
数小于或等于
1
。

14
、
典型例题

例
1
、
下面的长方形代 表
1
公顷，请你在图中表示出
1
公顷的
2
2
3，结果是多少公顷？


分析与解：
这个题目要分层次思考，一步一步展 开。
（
1
）
1
公顷是
1
公顷的
1
2
2
（
1
公顷的一半）
；
的
2
，就是将< br>1
3
2
公顷部分平均分成
3
份，表示出
2
份 。

第一种解法：

1
公顷的
2
2
3






1
2
公顷




第二种解法：

第三种解法：

1
2
公顷

1
2
1
2
公顷的
3

2
公顷



2
）
1
2
公顷
（


1
2
公顷的


2
3
1
21
2
1
2
1
2
2
公顷的
是大长方形的
，
×
=
（公顷）或
×
=
（公顷）

6
6
3
2
3
2
3
2
3
1
1
例
2
、一袋大米重
25
千克，先吃去这袋大米的
，又吃去
千克，两次一共吃去多少千克？


5
5
分析与解 ：
求两次共吃去多少千克，
要用第一次吃的千克数加上第二次吃的千克数；
第一次吃了 这袋大米的
，
是把这袋大米看作单位“
1
”
，即吃去
25< br>千克的
；第二次吃去
千克。先求出第一次吃去多少千克。

25
×

=
5
（千克）
5 +
= 5
（千克）

答：两次一共吃去
5
千克。

点评： 这一题的关键就是正确理解题目中两个
所表示的不同含义，第一个
表示是一个数的几分之几，是 分
率；而第二个
表示的是
千克，是具体的量。要先求出第一天的
所对应的量再 直接加上第二天吃的
千克
就可以了。在解题过程中，一定要注意区分，并作出正确的判断，再进 行解答。

例
3
、填空。

（


）×

= 7
×

（


）
=
（


）×
1
=
0.8

×

（

）

49
5
6
1
5
1
5
1
5
15
1
5
1
5
1
5
1
5
15
1
5
1
5
1
5
1
5
分析与 解：
这是一道连等式填空。从题中可以看出，四道乘法算式的积都要相等，但是都等于几呢？题目中没有明确的要求，说明有多种填法。但是要解答得又对又快，可以从倒数的意义入手，即考虑每个算式的积< br>都是
1
，这样，在相应的括号里只填上与之相乘的那个数的倒数就可以了。
< br>如果题目中明确给出了一个确定的数值作为积，那么解答此题时就只能一道一道地去思考解答了。

（

9
4

）×

4
9
= 7
×

（

1
7

）
=
（

6
11

）×
1
5
6
=
0.8

×

（

5
4

）

已知
a
×
3
7
3
=
11
12

×
b=
15
15

×
c
，并且
a
、
b
、
c
都不等于
0
，把
a
、
b
、
c
这三个数按从小到大的顺序排列 ，并说
明理由。

假设
a
×
3
7
3
=
11
12

×
b=
15
15

×
c = 1
那么
a =
3
16

、
b=
12
11

、
c= 1
那么
a
＜
c
＜
b

例
4、一根钢管截成两段，第一段占
3
，第二段长
3
5
5
米 。哪一根长？

分析与解：
可以用画图的方法，把题意表示出来。线段图如下：


第一段占
3

第二段长
3
5
5
米



通过线段图可以看出，第一段占
，第二段占
1 -
=

，

>

。

答：第一段长一些。

点评：乍看上去，两个
，一个是分率，一个是具体的量 。而单位“
1
”是多少并不知道，所以无法比较大小。
与此题类似的课本上的思考题答 案也无法比较。其实仔细对比一下，就会发现，课本上的是两根钢管，而这
儿是一根钢管，这是本质的不 同。所以通过思考得出第一次用得多。所以具体题目还得具体分析。



3
5
3
5
3
5
2
5
3
5
2
5
三、

分
数除法

1
、分数除以整数可 以用分数的分子除以整数，但不能总得到整数的商，所以通常把分数除以整数转化成
分数乘这个整数的倒 数。

2
、分数除以整数（
0
除外）
，等于分数乘这个整数 的倒数。

3
、一个数除以分数，等于乘这个分数的倒数。

4
、甲数除以乙数（
0
除外）
，等于甲数乘乙数的倒数。

5
、一个数除以真分数所得的商大于这个数；一个数除以假分数，所得的商小于或等于这个数。

5
5
÷
2
表示的意义是（

已知两个因数的积是
，与其中一个因数是
2
，求另一个因数是多少？

6
6
3
24
一台榨油机
小时榨油
吨，平均每小时榨 油多少吨？榨
1
吨油要多少小时？

5
25
24
3
8
8
5

÷
=
（吨）
1
÷
=
（小时）

25
5
5
5
8
8
5

答：平均每小时榨油
吨，榨
1
吨油要
小时。

5< br>8
4
3
例
5
、如果
a

b
,
b=80
。那么
a=
（
45
）
。

3
4
6
、在分数连除或分数乘除混合运算中，遇到除以一个数时，只要乘这个 数的倒数就可以了。在计算过程
中除以一个数，只要转化为乘这个数的倒数，而乘一个数是不要变化的。 所以，当乘、除法放在一起的时候，
往往容易混肴。计算过程中一定要做好判断。

7
、在解答分数除法应用题时要找准单位“
1
”的量，而简单的分数除法应用题就是要求 单位“
1
”的量。

8
、分数除法应用题的数量关系式是：

单位“
1
”

×分率
=
分率对应的量

在具体解答时，用方程做，设单位“
1
”的量为ⅹ。

9
、 解答分数除法应用题时，可以借助于线段图来分析数量关系。在画线段图时，先画单位“
1
”的 量。

可以发现：分析的思路与乘法应用题是一致的，也是根据题里叙述的条件，明确把哪个数 量看作单位“
1
”
。
但是单位“
1
”的数量是未知的，所以 先根据一个数和分数相乘的意义列出等量关系式，然后设未知数，列出
相应的方程并解答。解答应用题时 最关键的就是对应用题的数量关系进行分析，而不能套用解题思路。可以
进行这样的小结：当应用题中单 位“
1
”已经知道时，就用乘法解；当单位“
1
”不知道，要求单位“
1
”时，
要用除法解或列方程解。


期中考试前的知识梳理

知识点梳理

（一）数的运算：
分数乘除法计算

1
、
分数乘法的意义与计算法则

①意义：分数与整数相乘的意义既可以表示求几个几分之几相加的和是多少？又可以表

示求一个数的几分之几是多少？

分数与分数相乘的意义是求一个数的几分之几是多少？

2
2
9
9
1
2
1
2

×
表示（
的
是多少？）

3
3
5
5
例
1
、
×
6
既表示

（
6
个
相加的和是多少？）又表示（
6< br>的
是多少？）

2
9
②计算法则：分数和整数相乘，用分数的 分子和整数相乘的积作分子，分母不变；

分数和分数相乘，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。计算时要先约分，再相乘。

例
2
、
×
12 =
4
9
16
2
9
3

×
=

5
3
3
10
2
、分数除法的意义与计算法则

①意义：已知两个因数的积，与其中的一个因数，求另一个因数是多少？

例
3
、
÷
2
7
9
2
9
表示（已知两个因数的 积是
，与其中的一个因数是
，求另一个因数是多少？）

14
714
②计算法则：分数除以整数可以用分数的分子除以整数，但不能总得到整数的商，所以通常把分 数除以
整数转化成分数乘这个整数的倒数。

一个数除以分数，等于乘这个分数的倒数。

甲数除以乙数（
0
除外）
，等于甲数乘乙数的倒数。

3
、分数连乘、连除和乘除混合运算

分数连乘：先把前两个数相乘，得出的 积再和第三个数相乘。但为了简便，可以先把所有分数的分子和分
母约分，再把约分后的分子和分母相乘 。

连除和乘除混合运算：在分数连除或分数乘除混合运算中，遇到除以一个数时，只要乘这个 数的倒数就
可以了。

4
、倒数的意义与求倒数的方法

倒数的意义：乘积为
1
的两个数互为倒数。

求倒数的方法：求一个 数（
0
除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。

5
例
6
、

与（

）互为倒数。
9
的倒数是（

）
。

（

）与
0.25
互为倒数。

6
7
（

）是

的倒数。
1
的倒数是（

）
。

（

）没有倒数。

9
（二）式与方程

解方程：运用等式的性质解形如
ax
±
b=c
、
ax
÷
b=c
、
ax
±
bx=c
的方程

例
7
、解下列方程

4x
–
31 = 65 25x
÷

2
= 100 5x + 4x = 1.8
4x
–
31+31=65+31 25x
÷
2
×
2
= 100
×
2



（
5+4
）
x = 1.8
4x=96 25x= 200 9x = 1.8
4x
÷
4=96
÷
4 25x
÷
25
= 200
÷
25





9x
÷
9 = 1.8
÷
9
x=24 x= 8 x = 0.2
（三）解决问题

1
、分数乘除法问题：正确解答“求一个数的几分 之几是多少”与“已知一个数的几分之几是多少，求这
个数”的相关实际问题。

解答 分数乘除法应用题时，可以借助于线段图来分析数量关系。在解答时要找准单位“
1
”的量。数 量关
系式是：单位“
1
”

×分率

=
分率对应的量。当题中单位“
1
”已经知道时，就用乘法解；当单位“
1
”不 知
道，要求单位“
1
”时，要用除法解或列方程解。

9
例
8
、①一个平行四边形的底是
6
米，高是底的

倍，高是多少？

8
9
9
27
底

×

=
高
6
×
=
（米）

8
8
4
②五星农场去年养猪
320
头，今年比去年多养
。今年比去年多养猪多少头？

去年养×

=
今年比去年多养






320
×

=

40
（头）

1
8
1
8
1
8
③学校建教学楼，计划投资
480
万元，实际节约了
，计划节约多少万元？

计划×

=
实际比计划节约






480
×

=

80
（万元）

④一枝钢笔
26
元，是一只书包价钱的
。一只书包多少元钱？


一只书包价钱×
=
一枝钢笔价钱

ⅹ
=26
ⅹ
=65
2
、列方程解决问题： 会列形如
ax
±
b=c
、
ax
÷
b=c
、
ax
±
bx=c
的方程解决需要两、三步计算的实际问题。

例
9
、①学校兴趣小组中，书法组有
64
人，比美术组人数的
3< br>倍还多
7
人。美术组有多少人？




美术组人数

×
3 + 7
人
=
书法组的人数

解：设美术组有
x
人。



3x + 7 = 64








x = 19

②一张桌子和一把椅子共卖
245元，已知桌子的价格是椅子的
4
倍。一张桌子多少元？







解：设一张椅子
x
元。





x + 4x = 245 x = 49 4x = 49
×
4 = 196
（四）认识图形

长方体和正方体的特征：



2
5
2
5
2
5
1
6
1
6
1
6
相同点

形体

面

棱

长方
6
12
体

的面是正方形。

正方
6
12
体


（五）测量

1
、体积（容积）的意义和体积单位：

体积的意义：物体所占空间的大小

容积的意义：容器所能容纳物体的体积

8
六个面都是正方形

8
有时也有两个相对
顶点

面的形状

一般都是长方形，
不同点

关系

面的大小

相对的面的面
积相等

六个面的面积
相等

棱长

平行的四条棱
长度相等

正方体是特殊的长方体

12
条棱长都
相等

体积单位：立方米、立方分米、立方厘米

单位名称

意义

相当的实物

棱长是
1
厘米的正方体，
体积是
1< br>立方厘
1
立方厘米

米

棱长是
1
分米的正方体，
体积是
1
立方分
1
立方分米

米

用
3
根
1
米长的木条做成互相垂直的架子放在 墙
1
立方米

棱长是
1
米的正方体，体积是
1
立方米

角所圈定的空间的大小

体积与容积单位之间的关系：
1
立方厘米
=1
毫升



1
立方分米
=1
升

在括号里填上合适的体积或容积单位。








一个火柴盒的体积大约是
11
（







）

一个油桶能盛油
120
（







）

一台电视机的体积大约是
292
（








）

一只茶杯的容积大约是
250
（







）

2
、长方体、正方体表面积和体积的意义与计算：

①长方体、正方体表面积的意义与计算：

约为一个粉笔盒的大小

约为一个手指尖的大小

意义：就是长方体、正方体六个面的总面积。

计算：长方体的表面积

=
长×宽×
2+
长×高×
2+
宽×高×
2

=
（长×宽
+
长×高
+
宽×高）×
2
正方体的表面积

=
棱长×棱长×
6
②长方体、正方体体积的意义与计算：

意义：就是长方体、正方体所占空间的大小。

计算：长方体的体积
=
长×宽×高

正方体的体积
=
棱长
×
棱长
×
棱长

长方体（正方体）的体积
=
底面积×高

（六）综合应用

表面积的变化：通过图形的拼与分，发现表面积变化的规律

例
12
、①把两个棱长
3
厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积与两个正方体的表面积 之
和比有没有变化？是怎样变化的？

长方体表面积：







6
×
3
×
4 + 3
×
3
×
2 = 90
（平方厘米）

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