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2021年1月31日发(作者：感恩818)
第五章相交线与平行线

同学们，你们对粕交线、平行线一

定不陌生吧！你看，大桥上的钢集和

钢
索，棋盘上的横线和竖线
.
学校操场

上的双杠
.
教室中的课桌面、，黑板面相

邻
的两条边与相对的两条边
........
都给

5.1
相交线

5.2
平行线

5.3
平行线
的性质


5.4
平移

我们以相交线、平疔线的形第
.
你能庄

身边再找
到一些相交线和平疔线的实

例吗？

两条直线相交能彫成哪些角？这

些角有什
么粘征？什么样的两条直线

互柏垂直？垂线有
什么性质？什么样

的两条直线互相平庁？互相
平疔的直

线有什么特征？怎样平移一个图形？

这些，都是本辛要学习的内容
.


』相交线

5.1.1
相交线


ra >1-1

握紧把手时
.
随看两个把手之间的角逐渐变小
.
剪刀刃之间的
角也相应变小
.
直到剪开布片•如果把

旳刀的构造看作两条相
交的
W
线，这就关系到曲条相

交直线
(intersection lines)
所成的角的问题
.
--------------------------------------------- ---------------------------

任意画两条相交的直线
.
在形成的四个角
(
图
5. 1-2)
中
.
两两

相配共能组成几对
角？各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关

系将它们分类
.
分别量一下各个角的度数
.
各类角的度数有什么关系？为什么？

在 图
5.1-1
转动剪
刀把手的过程中
.
这个关系还保持吗？

两直线相交

所形成的角


€


B

、
2/7

厂
f
D


Z1
和

Z2 Z2
和
z_

Zl Z2

Z3 Z4


Z
和
Z
Z
和
Z

H


位置关系
|
大小关系

图

5.1-2

Z1
和
Z3
Z_
和
Z_

Z1
和
Z2
有一条公共边
(
・它们的另一边互为

反向延论线
(
Z1
和
Z2
互补
).
貝有这 种关系的两个

角・勺
.
为
邻补角
(adjacent angles on a straight line).
Zl
和
/3
有 一个公共顶点
O
并
H.Z1
的两边分

别
MZ3
的两
边的反向延氏线・具冇这种位遼关系的

两个角
,
互为
对顶角
(vertical angles).

在图
5,1-2
中，
Z1
与
Z 2
互补，
Z3
与
Z2
互补
.
由“同角
的补角相等

・可以得出
Z1 = Z3.
类似地
.
Z2 = Z4.
这样
.
我们得
到：

对顶角相等
.

你能利用这个性质解释前面观察中的现象吗？

例

如图
5 ,1-3.
直线
a
、
b
相交
.
Zl = 40
求

Z2. Z3. Z4
的度数
.

解
，由邻补角的定义
.
可得

Z2=180°
-Z 1 = 180°
-40°
= 110°
；

由对顶角相等•可得

Z3=Z1=4O°
°

4 = Z2=140°

・

练习

如图
.
取两根木条—
6.
将它们仃
在一起
.
并把它

们想塞成
.
两条
直线
.
就得

到一个梱交线模型
.
你能

说出其中的一些邻补爾与


对顶角吗？如果其中一个角是
35°
・
其他三个

用各是
多少度？这个馬是
90
—
115°
、
h
呢
?

5


5-1.2
垂线

b

I)
K



观察

在相交线的模型
(
上页练习

插
因〉中
.
固定木
j
转动木

条儿当〃的
位置变化时
.
、
b
所成的角
a
也会发
生变化
.
当

a
=90°

时
(
[S
5
・

I
-
4
).
a

与
〃
互

相
碓

(jx-
rpcndicuhr).

垂直是相交的•种轻殊悄形・两条
M
线互相垂直
.
其
(ixTix-ndicu lar line).
它们

足
(
fool of a perpendicu hr).
在图
5.1-5
.
.
垂足为
4
I
曲•生活屮
.
刑条直线乓相垂
l*L
的恃形很恋见
.
说出
5. 1 6
屮的一吐钵
I
匝
K
的线条
.
你能再举出

兀他例子

图

xl-6
中的•条也线叫做刃•条直线的< br>的交点叫做
中
图
吗？
如图
5
・
1-7.
1.

用三角尺或量命器画已知直线
/
的垂线
.
这样的垂线能画出

几条？

2.

经过直线
/
上一点人画
/
的垂线
.
这样的垂线能画出几策？

3.

经过直线
/
外一点〃画
/
的垂线，这样的垂线能画出儿条？




经过一点
（
L2
知直线匕或直线外）
.
能価出已知直

线的一条垂线
•并且只能画出一条垂线■瞼

过一点有且只有一条直线与己知点线垂直
.


1

练习



画一条线段或射线的垂线
.
线的垂线
.
如图
.
射线
.4
〃的垂线
.
•

P



就是画它们所在立


请你过点
P
画出线心
B <

B

P

•

If

2

Q

A

A
(1)


(2)


V



A

P B

V, 7


⑶


、


在灌溉时
,
要把河中的水引

到
农田
P
处
,
如何挖
渠能使渠

道最短？

R] 5. 1 8


如图
5
・
1-9.
连接直线
/
外一

点
P
与直线
Z
上

各点（人
A
】
▼
,

A
J
・
・・・・
其

中
PO_LI

（我们

称
P0
为点
P
到

直线
/
的垂线段）
.
比较拔段卩（丿・
p

PA
・
PA
2
.

图

5.1-9

PA
3
.
…的长短
.
这些线段中•哪一条最短？

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中
.
垂

线段最短
.

简单•说成’
垂线段锻短
.

fl
线外一点到这条直线的垂线段的氏度
.
叫做点

到直线的距
离
.

现在・你知道水渠该怎么挖了吗
?
在图
I
•.画出来
.
如果图
中比例尺为
1 : 100 000.
水渠大约耍挖名
K?



























































复习
巩固匚

2.
如图
.
直线
AB.
CD EF
相交于点
Q

(1)

写出匕
/VO
ZB
（）
E
的邻补角：

(2)

写岀
ZDOA
、
ZEOC
的对顶角
$$
(3)

如果
ZAOC=50°
・
求
Z
、
Z
（
OB
的度数
.

（第
2
题）

3.

找出图中互相垂育的线段，并用三角尺检脸
.
4.

如图
.
在一张半透明的纸上画一条直线人在
/
上任取一点

P
・
在
/
外任取
-
点
Q
・
折出过点

且与
/
垂直的
IT
线
.
这
样的直线能折
出儿条？为什么？过点
Q
呢？

5.

如图，
HAE
丄
BC,
CF
丄
AD.
垂足分别为比
F.
D

（第
4
軀）

（第
5
即

（讥、

（
M
的距离的大小
.
(ft 6tf
)

“
.
如图・用
ht
角器
iWi ZAOB
的平分线
OC
・
在
（
XT
：
任取 一点
P
・
比较点
P
到
叱口怪厂「匚三浅

9


综合运用




7.
如图•比线人乩










CD
相交于点
ZE
（
r = 70 0A
平分
ZE
（
X.
求
ZBOD
的

ftft.

«.
困中是对顶你能说
;
I
：
用它测城角的原理吗？

9
・
建筑匚人常在
-
根细绳上拴 •个重物
,
做成一个“铅锂”.挂铅锤的线总乘住于地

面内的任何血线•当这条线贴近墙壁时•说明培与地面垂耳

请你也做•个铅寮

检脸••下你的课京桌腿等•叫看起来与地而垂血的物体足件姗实与地向垂
m


（第
9
聽》

HI
.
如图
.
这是小明鬧学在体
（第
10

ffiftk
跳远后留下的脚印
.
他的跳远成绩址多少（比例

尺
为

1 : 150
）
?

拓广探索

11.

如圈
.
AB1I. HCA
/. B
为垂足
.
那么九

B. C
三点在耐一

条直线上吗
?
12.

直线八〃、（
Q
相交于点
O.

（
1
）

OE
、
OF
分别是
ZA OC
、
ZBOD
的平分线
.
画出这个图

形
.
（
2
）

射线
OE
、
OF
在同
-
条血线上吗？

⑶ 画乙
AOD
的平分线（心（疋与
OG
冇什么位鞋关系？

10



“
观察与猜想

选学

看图时的錯觉

規察以下
19
形
.
并回签所提的问題
.
1.

圈
1
中的线段

与”哪一条牧？


田
1


2.

图
2
中的圆
A
大还是
an
夕
圮
?



3.

图
3
中的四边形是正方形吗？

图
3


侏对自己的结论有砂吗？和用劃度尺和三用尺爻一童、测一测・这时你的苓案是什么？

要对事
物作出某种判斯
.
总是虽于对这个亨物的观常、实於与理考，其中观察和实脸

是作出判斷的玄妥依携
.
所以，观察必灰认鼻、仔细，不能规枝大•+、马 马虎虎
.
有时观

糜得出的猜想不一定正确
.
还要借助
于实脸进行栓脸
.
图
4
屮的线“与〃互相平行吗？如何检验？学习了后而的知识后・你的检验方法会更

多
.


12

M.s>























































5. 2. 1
平行线

如图
5. 2-1,
分别将木条
a
、
b
与木条（•钉在

一起
.
并把它们想象成两端可以无限延伸的三条

直境
.< br>转动
s
直
线

从在
c
的左便
1
与
苴毁
b
相交

逐步变为在右侧与”相
交
.
想象一下・在这个过

程中
.
有没有直线

与直线〃不相
交的位置呢？

在木条转动过程屮
.
存在一个直线
G
与直线厶不

相交的位
JT
，
这时直线
d
与
b
互相平行
（
parallel
）
,
记

作
a
H b.

平行线在生活中是很常见的（图
5.2-2
）
・
你还能

举出
其他一些例子吗？

在同一平面内，两条玄线有几种位置关系？动手

画一画
.

























-
---------

C

B
・

在图
5.2-1
转动木条&
的过程中
.
有几个位

置使得
a
与力平行？如图
5.2-3,
过点
H
画直线

“的平行线，能画出几条？再过点
「画直线。的

平行线
.
它和前面过点
B
画出的直线平行吗？

通过观察和画图
.
可以体验一个基本
M
实（平行

公理）
:
经过直线外一点
.
有且只有一条直线与这条直线

平行
.

本书中所•说的

基本审实足人
们在

长
期实践屮总结出

来的
结论，
展衣亨

实也称为
公理，
它

可以作为以后
推理

的依扯

同样
.
我们还有：

如果两条直线都与第三条直线平行
.
那么这两条

直线也互相
平行
.

也就是说
;
如果
b//a. g

那么
b//c< br>（
图
5
・
2
・
4
）
・


--------
-

图

5.2 I



1
4


5.2.2
直线平行的条件


我们说厶
I
和
厶
2
构成同位

角
它
们具有怎

样的位迅
关系？

田中还有其
他的

同位角吗？标
记

出它们
.

X ,
■

简化图
5.2-5
得图
5
・
2■&
可以看到
.
H«
j
AH

M
平行线
C6
实际上就是过点
P I
断与
Z2
相等的
Zl
・

这说明
.如果同位
角相等•那么
A8//CLX
这样就得

到利用同位角判定两条直线平
行的方法：

方法
1
两条直线被第三条直线所戒
・
如果同位

角相等
.
那
么这两条直线平行
.

tti 5.2-6

如图
5.2-
7 •
你能说出木工用图中这种叫做角尺

的工具画
平行线的逍理吗？

期五• 賁爻吒


15


Z2
和厶
3 <
内
错角，厶
2
和

乙
4
是同旁内角
.
图中
还有没有其

他的
内错角和同

旁内
如图
5. 2-8,
分别将木条

a
、
b
与木
条
c
钉在一起，并把

它们想象成直
坝
.
在直线
S
b
被直线
c
所截成的角
中
.
Z1
和

/2
是同位角
.
Z2
和
Z3
有
怎

样的位置关系？

Z2
和
Z4
呢？

M?

转动

或以

这些角之间还保持这种关系吗？

-_
—
~
f
: -------------------------------------------------- -----

-
----

—

J


Q

V
因为
Z2 = Z3.
而
Z3 = Z1
（为什么）
.
所以
Z1

同位角相等，

两克线平
行；

内错角相寻，

两直线平
行；

同旁內角互补
.
两克绒平行
.
= Z2.
即同位角相等
.
从而
a//b.
这样
.
由方法
1
・

町以得出利
用内错角判定两条直线平行的另
-
种方法；

方法
2
两条直线被第三条直线所戏
.
如果内错

角相等
.
那
么这两条直线平行
.

利用同旁内角■有判怎两条直线平行的第三种方

法
;

方法
3
两条直线被第三条直线所截
.
如果同旁

内角互补
.
那么这两条直线平行，


-
-----
—
J



遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的（或已经解决的）问題来

解决
.
这一节
中
.
我们是怎样利用
“
同位角相等
.
两直线平行”得到“内

错角相等
.
两直纹平行”的？
你能利用” 同位角相等
•
两直线平行

或

••内错角相等，两直线平行 ”得到“同旁内
角互补
・
两直线平行

吗？



Ml





“


枕木

■

铁軌

例

在同一平面内，如果两条貢线都眶百于同一

条直线・
那么这的条直线平行吗？为什么？

h

分析：
垂直总与直角联系在一起
.
我们学过哪些

判断两条亶线
平行的方法？

答：
这两条直线平行
.
理山如下：


a


1

2


如图

5.2-10.
因为〃丄

•
c
丄

所以

Zl=Z2=90°
.
从而

b//c

（为什么）・

你还能利用氏他方法说明
b//c
吗？


图

5.2 10


17



这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部

分（图
5.2-
11< br>）
.
其中的横榕坝互相平行吗？你

有多少种判别方法？


复习巩固

I.
如图
.
为了加匍房屋
.
要在屋架上加一根横梁
DE.
使
DE//BC.
如果
ZAB C= 31 Z/ADE
应为
多少度？


（第
1
題）

（第
Z
题）

2< br>•如图
.
•个弯形骨逍
AMD
的拐角
ZABC=120°・
Z
〃（
D = 60°
・
这时说管道

An//cr
）
对吗？为什么？
18


3.< br>如圏
.
这是两条道路互相垂直的交通路口
.
你能画岀它的平面示意图吗
?
类似地
.
你能画出
胸条道路成
75°
角的交通路口的示总图吗？


4.
如图
.
宜线
s
b
、
「被直线？所截
.
北得
Z1=Z2=Z3
・

（
1
）

从
Z1 = Z2
可以得出哪两条直线平行？根据是什么
?
（
2
）

从
Z1=Z3 nJ
以得出哪两条宜线平行？根据是什么
?
（
3
）

青线
a
、
b
、
「互相平行吗？根据是什么？
5
•如图
,
冇一块玻璃
,
用什么方法可以检査相对的两边是否平 行
?
（笫
3
題）

（第
5
題》



（第。眩）

仇根据图中所给出的条件
.
找出互相平行的直线和互相垂宜的直线
.

7
・
读下列语句
.
并画出图形；

（< br>1
）
点卩是立线人“外一点，
i
［线经过点卩，
R
与
r
［线
AB
r
行；

⑵ 血线
AB
、是相交克线•点
P&ftmAB.
CD
外的一点
.
也线
EF
经过点

P
且与 直线平
行
.
与直线
CD
相交于
E.

&< br>如图•利用平行线可以设计一些图
案
.
请你
设计一些类似图案
.
并把你的设计与

同学们交
流一下
.


19



（第
8
越）

9
借助血尺、三角尺和量用器・在图中找出互相平行的直线和互相垂直的直线
.
平安
大
长安
衝


〈第
〈第

10
9
⑹

6
）

g
如图.
为了说明示总图中的平安大道与长安街是互相平行的•在地图上
ttftJZl

=90
你能通过盛贰图中
C
标岀的氏他的角来验证这个结论吗？说岀你的理你

拓广探索



11.

观察如图所示的长方体
.
用符号表示下列两梭的位置关系
;
AJ3, ______ AB.
AA
}

AD
______
B
C
・

你能在教电里找到这些位餐关系的实例吗？与同学讨论•
下
.
12.

两条燃被第三条直线所般，如果同位角相零・町以得出内错角

相氛

同旁内角互补
.
如果内错角相职

怎样得到同位角相轨

同旁内角互补
?
AB
・
人卩

GD
・

20
V


也＜

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