分解质因数(一)
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2021年01月31日 11:26
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雨天钓鱼-七一建军节
第
29
讲
分解质因数
(
一
)
2005
年
2
月
28
日，设在美国奥兰多的梅森素数搜索组织的一名数学爱好者，发现了迄
今为止 最大的素数，即
2
25964951
－
1
。
素数也叫做质数，是只能被自己和
1
整除的数。
如果一个质数是某 个数约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。例如：
2
、
3
都是
36
的质因数，
4
和
9
都是
36
的因数，但不是< br>36
的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 我们常用分解质因数的
方法，并利用已知的条件和未知条件中的数的特征，从而顺利地解决一些相关的数 学问题。
例题与方法
例
1
、
2
3
÷
(
)=(
)< br>„„
5
。
在括号填入适当的数，
使等式成立，
共有多少种不同 的填法？
思路点拨
丁丁：这是一道带余除法，被除数是
23
，余数是
5
，要求的是除数和商。根据“被除
数
=
除 数×商
+
余数”
，可以知道“除数×商
=
被除数－余数
=2 3
－
5=18
”
。
小麦斯：对
!
这道题 要用到带余除法算式的数量关系：除数×商
=
被除数－余数，在上
述讨论中，既然知道 了“除数×商”的积是
18
，将
18
写成两个自然数相乘的形式，这样共有三种情况：
1
×
18
、
2
×
9
、< br>3
×
6
。
机灵猴：特别注意的是，余数必须比除数小，那么 可以将
1
、
2
、
3
排除，因为它们都
小于
5
，不能作为除数，剩下的只能是
6
、
9
和
18
作 为除数了。
解：
符合题意的填法有：
23
÷
(6)=3
„„
5
；
23
÷
(9)=2
„„
5
；
23
÷
(18)=1
„„
5
。
小麦斯：聪明的小读者，如果上面算式中的余数与商相同，被除数又应是多少？
例< br>2
、
小华的妹妹参加了今年中学数学智力竞赛，小华问他妹妹：
“这次竞赛你得 了多
少分？获了第几名？”妹妹告诉他：
“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是
2910
，你
看我的成绩和名次各是多少？”
思路点拨
丁丁：由题中“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是
2910
”可以知道，
29 10
是
三个数量的乘积，那么就要把
2910
分解质因数。
小麦斯：将一个合数分解质因数，常用短除法求得，有时也 采用直接分解的方法，要
注意的是，在质因数的连乘中，一般要按照从大到小的顺序排列。
< br>机灵猴：将
2910
分解质因数得
2910=2
×
3
×
5
×
97
。
小华的妹妹是个中学生，不可能是
2
岁、
3
岁、
5
岁，也不能是
6
岁、
10
岁，因此，
可以肯定，小华妹妹是
3
×
5=15(
岁
)
，名次是第
2
名，成绩是
97
分。
解
：将
2910
分解质因数得
2910=2
×
3
×
5
×
97
=2
×
(3
×
5)
×
97
答
： 小华的妹妹今年
15
岁，名次是第
2
名，成绩为
97
分。< br>
小麦斯：数学问题来源于生活，因此，有些数量可以结合实际情况作出判断。
例
3
、
学校木工组做了一些长方形的教学用板，它们的长和宽是互质数，而且这些长 方
形的面积都是
2008
平方厘米，这样的长方形可能有多少种？
思路点拨
丁丁：前面我们学过了长方形的面积公式：长方形的面积
=
长×宽，由题意可知，木板
的面积是
2008
平方厘米，说明长乘的宽的积是
2008
平方厘米，只要将
2008
写成两个数的
乘积就可以了。即：
2008=1
×
2008
=2
×
1004
=4
×
502
=8
×
251
小麦斯：上面将
2008
写成两个整数的形式，要注意的是“它们的长和宽是互质数”这
一个条件及一些实际情况。
机灵猴：互质数就是公约数只有
1
的两个数。 在上面
4
组乘法算式中，只有
1
和
2008
互质、
8
和
251
互质，所以可能的答案只有两组，另外，
2008
厘米长 的木板，即
20.08
米长
的教学木板，是不切实际的。
丁丁：< br>哦
!
这道题不仅要将
2008
写成两个整数的乘积，
同时还要 根据互质数的概念，
将
不符合题意的数组排除在外。
解：
将
2008
写成两个整数相乘的形式，共有
4
组。
11
×
2008
、
2
×
1004
、
4
×
502
、
8
×
251
。
其中互质的是
1
和
2008
、
8
和
251
，
1
和
2008
不切实际，排除掉。
答：
可能的情况只有一组，即长251
厘米、宽
8
厘米。
小麦斯：
公约数只有
1
的两个数叫做互质数，
上面的数组虽然有
4
组，
但真正符合题意
的只有
1
组，另外还要考虑一些实际情况。
例
4
、将下列八个数平均分成两组，并使这两组数的乘积相等：
12
、
18
、
33
、
35
、
36
、
65
、
77
、
104
．
思路点拨
丁丁：将这八个数平均分成两组，每组四个 数，并要求这两组数的乘积相等，应该怎
么办？
小麦斯：
注意到两组乘式的 积相等可以知道，
在这两组数的乘积中，
所含有质因数必须
完全相同，因此，必须将这 八个数分解质因数，得：
12=2
×
2
×
3
；< br>36=2
×
2
×
3
×
3
；
18=2
×
3
×
3
；
65=5
×
13
；< br>33=3
×
11
；
77=7
×
11
；
35=5
×
7
；
104=2
×
2
×
2< br>×
13
。
机灵猴：观察上述分解式中，虽然有很多的质因数，但只要 适当归类，
就可以发现其中
的奥妙。
小麦斯：从上面可以看出，
1 04
和
65
分在不同的组里，因为含有质因数
13
的只有这两
个数，又因为
65
含有质因数
5
，所以，
35
和
104
应在同一组；
35
里有质因数
7
，那么
77
必须和
65
一组，同理，
33
、
35
和
104一组，因为共有
8
个质因数
2
，每边共有
4
个质因数< br>2
，所以，
33
、
35
、
104
和
18
一组，
77
、
65
、
36
和
12应为另一组。
解：
先把这八个数分解质因数，
再按各组中每种质因数的 个数相同的原则进行划分，
可
得：
（
2
×
3）×（
2
×
3
）×（
5
×
13
）×（
7
×
11
）＝（
2
×
3
）×（
3
×
11
）
（
5
×
7
）
2
2
2
2