一次函数与三角形面积
玛丽莲梦兔
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2021年01月31日 12:48
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.
.
. .
一次函数相关的面积问题
思路：画出草图，把要求的图形构建出来， 根据面积公式，把直线与坐标轴的交点计算
出来，把坐标转化成线段，代入面积公式求解。
规则图形
（公式法）
不规则图形
（切割法）
不含参数问题
含参数问题
（用参数表示点坐标，转化成线段）
注意：坐标的正负、线段的非负性。
求面积时，尽量使底或高中的一者确 定下来（通过对图像的观察，确定底和高）
，然后根
据面积公式，建立等式。
1
、求直线
y = -2x +4
，
y = 2x -4
及
y
轴围成的三角形的面积。
2
、已知正比例函数
y = 2x
与一次函数
y = x +2
相交于点
P
，则在
x上是否存
在一点
A
，使
S
△
POA=4?
若存 在，求出点有坐标；若不存在，请说明理由。
.
.
资
.
料
.
..
.
.
. .
3
、如下图，一次函数的图像交正比例函数的图像于
M
点，交x
轴于点
N
（
-6
，
0
）
，已知点< br>M
在第二象限，其横坐标为
-4
，若
S
△
NOM=1 5
，求正比例函数的
解析式。
y
M
N
O
x
4
、如图，直线
l
1
的解析表达式为
y
3
x
3
，且
l
1
与
x
轴交于点
D
，直线
l
2
经
过点
A
，
B
，直线
l
1
，
l
2
交于点
C
．
（
1
）求点
D
的坐标；
（
2
）求直线
l
2
的解析表达式；
（
3
）求
△
ADC
的面积；
（
4
）在直线
l
2
上存在异于点
C
的另一点
P
，使得
l
1
y
l
2
D
3
A
（
4
，
0
）
B
C
O
3
2
x
写出点
P
的坐标．
图
11
△
ADP< br>与
△
ADC
的面积相等，请直接
．．
.
.
资
.
料
.
..
.
.
. .
5
、如图，直线
L
的解析表达式为
y = -
1
x +2
，且与
x
轴、
y
轴交于点
A
、
B
，
2
在
y
轴上有一点
C
（< br>0
，
4
）
，
动点
M
从
A
点以每秒
1
个单位的速度沿
x
轴向左
移动。
（
1
）求
A
、
B
两点的坐标；
（
2
）△
COM
的面积
S
与
M
的移动时间
t
之间的函数关系式；
（
3
）当何值时△
COM
≌△
AOB
，并求出此时
M
点的坐标。
y
C
B
O
M
A
x
一次函数（动态问题）
举一反三：
如图
（十二）
，
直线
l
的解析式为
y
x
4
，
它与
x
轴、
y
轴分别相交于
A
、
B< br>两点．平行于直线
l
的直线
m
从原点
O
出发，沿x
轴的正方形以每秒
1
个单位长度的速
度运动，它与
x
轴、
y
轴分别相交于
M
、
N
两点，设运动时间为
t
秒（
0
t
≤
4
）
．
（
1
）求
A
、
B
两点的坐标；
（
2
）用含
t
的代数式表示
△
MON
的面积
S
1；
（
3
）以
MN
为对角线作矩形
OMPN< br>，记
△
MPN
和
△
OAB
重合部分的面积为
S
2
，
①当
2
t
≤
4
时，试探究
S
2
与
t
之
l
y
B
l
m
P
A
x
图十二
N
O
y
B
E
P
P
F
M
A
x
间的函数关系式；
m
②在直线
m
的运动过程中，
当
t
为何
.
.
资
.
料
.
..
O
M
N
.
.
. .
值时，
S
2
为
△
OAB
面积的
5？
16
【答案】解
（1
）当
x
0
时，
y
4
； 当
y
0
时，
x
4
．
A
(4
，，（
；
0)
B
0
，
4
）
（
2
）
MN
∥
AB
，
OM
OA
1
1
1
，
OM
ON
t
，
S
1
OM
·
ON
t
2
；
< br>ON
OB
2
2
（
3
）①当
2
t
≤
4
时，易知点
P
在
△
OAB
的外 面，则点
P
的坐标为
(
t
，
t
)
,
x
t
，
即
F
(
t
，4
t
)
，
同
理
E
(4
< br>t
，
t
)
，
则
F
点
的
坐< br>标
满
足
y
t
< br>4
，
PF
PE
t
(4-t
)
2
t
4
，
所以< br>S
2
S
△
MPN
S
△
PEF
S
△
OMN
S
△
PEF
1
1
1
1
3
t
2
PE
·
PF
t
2
(
2
t< br>
4
)(
2
t
4
)
t
2
8
t
8
；
2
2
2
2
2
1
2
1
2
5
1
5
②当
0
t
≤
2
时，
S
2
t
，
t
4
4
，
解得
t
1
5
0
，
t
2
5
2
，2
2
16
2
2
3
2
5
7
两个 都不合题意，舍去；
当
2
t
≤
4
时，
S
2
t
8
t
8
，解得
t
3
3
，
t
4
，
2
2
3
7
5
综上得，当
t
或
t
3
时，
S
2
为
△
OAB
的面积的
．
3
16
模仿操练：
如图，< br>直线
y
x
4
与两坐标轴分别相交于< br>A.B
点，
点
M
是线段
AB
上任
意一点（< br>A.B
两点除外）
，过
M
分别作
MC
⊥
OA
于点
C
，
MD
⊥
OB
于
D
．
（
1
）当点
M
在
AB
上运动时， 你认为四边形
OCMD
的周长是否发生变化？并说明理由；
（< br>2
）当点
M
运动到什么位置时，四边形
OCMD
的面积有最大 值？最大值是多少？
（
3
）
当四边形
OCMD
为 正方形时，
将四边形
OCMD
沿着
x
轴的正方向移动，
设平 移的距
离为
a
（
0
a
4
)< br>，正方形
OCMD
与
△
AOB
重叠部分的面积为
S< br>．试求
S
与
a
的函数关
系式并画出该函数的图象．
.
.
资
.
料
.
..
.
.
. .
6
、在
ABC
中，
< br>C
Rt
,
AC
4
cm
,
BC
5
cm
,
点
D
在
BC
上，且以
CD
＝
3cm,
现
有两个动点
P
、
Q
分别从点
A
和点
B
同时出发，其中点
P
以
1cm/s
的速度，沿
AC
向终
点
C
移动；点
Q
以
1.25cm/s
的速度沿
BC
向终点
C移动。过点
P
作
PE
∥
BC
交
AD
于 点
E
，连结
EQ
。设动点运动时间为
x
秒。
（
1
）用含
x
的代数式表示
AE
、
DE
的长度；
（
2
）当点
Q
在
BD
（不包 括点
B
、
D
）上移动时，设
EDQ
的面积为y
(
cm
)
，求
y
与
x
的函数关系式 ，并写出自变量
x
的取值范围；
（
3
）当
x为何值时，
EDQ
为直角三角形。
A
2
E
P
B
Q
D
C
.
.
资
.
料
.
..
.
.
. .
4
3)
，
点
B
在
x
正
半
轴
上
，
且
7
、
如
图
1
，
在
平
面
直
角
坐
标
系
中
，
已
知
点
A
(0
，
∠
ABO
30
．动点
P
在线段
AB
上从点
A
向点
B
以每秒
3
个 单位的速度运动，设运
动时间为
t
秒．在
x
轴上取两点
M< br>，
N
作等边
△
PMN
．
（
1
）求直线
AB
的解析式；
（
2）求等边
△
PMN
的边长（用
t
的代数式表示）
，并求 出当等边
△
PMN
的顶点
M
运
动到与原点
O
重合时
t
的值；
（
3
）
如果取
OB< br>的中点
D
，
以
OD
为边在
Rt
△
A OB
内部作如图
2
所示的矩形
ODCE
，
点
C在线段
AB
上．设等边
△
PMN
和矩形
ODCE
重叠部分的面积为
S
，请求出当
0
≤
t
≤
2秒时
S
与
t
的函数关系式，并求出
S
的最大值．
y
y
A
P
A
C
E
O
M
O
N
B
x
D
B
x
（图
1
）
（图
2
）
.
.
资
.
料
.
..
.
.
. .
8
、两块完全相同的直角三 角板
ABC
和
DEF
如图
1
所示放置，点
C
、
F
重合，且
BC
、
DF
在一条直线上，其中
A C
=
DF
=4
，
BC
=
EF
=3
．固定
Rt
△
ABC
不动，让
Rt
△
DEF
沿
CB
向左平移，直到点
F
和点
B
重合为止．设
FC
=
x
，两个三角形重叠阴影部分的面积为
y
．
（
1
）如图
2
，求当
x
=
1
时，
y
的值是多少？
2
（
2
）如图
3
，当 点
E
移动到
AB
上时，求
x
、
y
的值；< br>
（
3
）求
y
与
x
之间的函数关系式；
.
.
资
.
料
.
..
.
.
. .
9
、
（重庆课改卷）
如图
1
所示，
一张三角形纸片
ABC
，
∠
ACB=90°,A C=8,BC=6.
沿斜边
AB
的中线
CD
把这张纸片剪成
AC
1
D
1
和
BC
2
D2
两个三角形（如图
2
所示）
.
将纸片
AC
1
D
1
沿直线
D
2
B
（
AB）方向平移（点
A
,
D
1
,
D
2
,< br>B
始终在同一直线上）
，当点
D
1
于
点
B< br>重合时，
停止平移
.
在平移过程中，
C
1
D
1
与
BC
2
交于点
E,
AC
1
与
C
2
D
2
、
BC
2
分别
交于点
F
、
P
.
（
1
）当
AC
1D
1
平移到如图
3
所示的位置时，猜想图中的
D
1E
与
D
2
F
的数量关系，并
证明你的猜想；
（
2
）设平移距离
D
2
D
1
为
x
，
AC
1
D
1
与
BC
2
D
2
重叠部分面积为
y
，请写出
y
与
x
的
函数关系式，以及自变量的取值范围；
（
3
）对于（
2
）中的结论是否存在这样的
x
的值；使得重叠部分的面积等于原
ABC
面
积的
1
？若不存在，请说明理由
.
4
C
C
1
C
2
C
1
P
F
E
D
1
C
2
.
.
资
.
A
B
A
D
料
.
..
D
1
D
2
B
A
图
1
D
2
B
图
2
图
3