抛物线三角形面积求法
巡山小妖精
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2021年01月31日 12:49
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抛物线内接三角形面积的计算通法
一、问题的提出
(2016
年 酒泉中考题
)
如图
1(1)
，已知抛物线经过
A
(3,0)
，
B
(0,3)
两点
.
(1)
求此抛物线的解析式和直线
AB
的解析式
;
(2)
如图
1(1)
，动点
E，从
O
点出发，沿着
OA
的方向以
1
个单位
/
秒的速度向终点
A
匀
速运动，同时，动点
F
从点
A
出发，沿着
AB
方向以
2
个单位
/
秒的 速度向终点
B
匀速运
动，当
EF
中任意一点到达终点时另一点也随之 停止运动
.
连结
EF
，设运动时间为
t
秒，当
t< br>为何值时，
V
AEF
为直角三角形
?
(3)
如图
1(2)
，取一根橡皮筋，两端点分别固定 在
A
，
B
处，用铅笔拉着这根橡皮筋使
笔尖
P
在直 线
AB
上方的抛物线上移动，动点
P
与
A
，
B两点构成无数个三角形，在这些
三角形中是否存在一个面积最大的三角形
?
如果存 在，求出最大面积，并指出此时点
P
的坐
标
;
如果不存在，请简要说 明理由
.
本题第
(3)
问是求 抛物线内接不规则三角形的最大面积问题，解这类问题有没有一种通
用的方法呢
?
值得 我们探究
.
二、几种特殊情况
1.
抛物线内接三角形有一边在
x
轴上
:(
这里约定
A
点的横坐标记为
x
A
，A
点的纵坐
标记为为
y
A
)
如图
2(1)
，有
S
ABC
1
1
AB
OC
x
A
x< br>B
y
C
.
2
2
如图
2(2)
，有
S
A BC
1
1
AB
DC
x
A< br>
x
B
y
C
.
2
2
如图
2(3)
，有
1
1
A B
DC
x
A
x
B
y
C
.
2
2
2.
抛物线内接三角形有一边与< br>x
轴平行
:
如图
3(1)
，有
1
1
S
ABC
AB
DC
x
A
x
B
y
C
y
D
,
2
2
1
1
或
S
A BC
AB
OC
x
B
x< br>A
y
D
y
C
;
2
2
S
ABC
如图
3(2)
，有
S
ABC
或
S
ABC
1
1
AB
DC
x
A
x
B
y
C
y
D
,
2
2
1< br>1
AB
OC
x
B
x
A
y
D
y
C
.
2
2
在以上特殊情况下，只要 求出
A
、
B
、
C
、
D
的坐标，代入即可以 求出抛物线内接三
角形的面积
.
三、建立模型
当抛物线内接三角形的三 边均不与坐标轴平行时
(
如图
4)
，三角形的面积又该怎么计算
呢< br>?
解题的基本思路是将任意三角形转化为上述特殊的三角形，然后类比解决
.
如图
4
，过点
C
作“轴的垂线交< br>AB
于点
D
,
则
ABC
被分成了两个以< br>CD
为一公共边
的三角形
.
过点
A
作
AE
CD
于点
E
，过B
作
BF
CD
于点
F
，则
1
1
S
ABC
S
CDA
S
ABC
CD
AE
C D
BF
CD
(
AE
BF
)
，
2
2