英雄联盟2016全球总决赛-党员开展批评与自我批评发言材料

2021年1月31日发(作者：仍然林徽因)
圆锥曲线中求三角形面积的几种方法

（宜昌市田家炳高级中学



胡爱斌）

圆锥曲线中求三角形面积的问题很常
见。
此类 题若方法选取不当将直接影响解题
的速度与准确率，
如下看求三角形面积的几
种有效方 法。

1
、

正弦定理和余弦定理相结合求面
积

例
1
：双曲线
x
2
y
2
16
< br>9

1
上有点
P
，
F
1
、
F
2
是双曲线的焦点，且∠
F
1
PF
2
=

3
，求
△
F
1
PF
2
的面积

解析
：
设
PF
1
=m,
PF
2
=n
，
由双曲线
的定义可知

m< br>
n

2
a

8
，
m
< br>n
2

64

即
m
2
+n
2
-2mn=64

(1)
在△
F
1
PF
2
中，
F
1
F2
=10
，由余弦定理
得
m
2
+n
2
-2mncos

3
=100

(2)
(2)-(1)
，整理得
mn=36

S
1
< br>F
1
PF
2
=
2
mn
·
sin
3
=9
3

已知
F
x
2
y
2
例
2
：
1
、
F
2
是椭圆
100

64

1
的
两
个
焦
点
，
P
是
椭
圆
上
一
点
，
若
∠
F
1
PF
2
=

3
，求△F
1
PF
2
的面积

解析
：设
PF< br>1
=m
，
PF
2
=n
，由椭圆
的定义可知< br>m+n=20
，
在△
F
1
PF
2
中，
由余弦
定理得

m
2
+n
2
-2mncos
3
=
F
1
F
2
2
=144
即

m

n

2

3
mn=144

又
m+n=20
，

mn=
256
3
< br>S
1

F
1
PF
2
=
2
P F
1
·
PF
2
·
sin
∠
F
1< br>PF
2
=
1
2
mn
·
sin
< br>3
=
1
2

256
3

3
2

=
64
3
3

点评
：
求解焦 点三角形的面积若是结合
圆锥曲线的定义，
用余弦定理得出三角形边
与角的关系式，再 用正弦定理算面积，
设而
不求，
往往能事半功倍，
极大地减少计算量。
当∠
F
1
PF
2
=

2
时用上述解法亦 可，
不过
用圆锥曲线定义与勾股定理，
再算两直角边
积的一半更简便。如下例 ：

例
3
：
已
知
F
1
和
F
2
为
双
曲
线
x
2
4

y
2

1
的两个焦点，点
P
在双曲线上
且满足∠< br>F
1
PF
2
=

2
，求△
F
1
PF
2
的面积

解析
：
(
PF
2
1

PF
2
)

=4a
2
= 16(
双曲线
第
一
定
义
)
，
而
由
勾
股
定
理
得
PF
2
2
1

PF
2

(
2
c
)
2

20
，

F
1
P
·
F
2
P

=
1
2
[
PF
2
2
1

PF
2
2

(
PF
1

PF
2
)
]
=
1
2

（
20-16
）
=2

S
1

F
1
PF
2
=
2

F
1
P
·
F
2
P
=
1
2

2=1
2
、

用分割法求面积

例
4
：一三角形以抛物线
y
2
=4x
的焦点

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