三角形等高模型与鸟头模型：知识例题精讲
余年寄山水
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2021年01月31日 13:01
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三角形等高模型与鸟头模型
例题精讲
板块一
三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积
底
高
2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三 角形的底不变，高越大
(
小
)
，三角形面积也就越大
(
小< br>)
；
如果三角形的高不变，底越大
(
小
)
，三角形面积也就越大
(
小
)
；
这说明当三角形的面积变 化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生
1
变化时，三 角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的
3
倍，底变为原来的
，则三角形面积与原 来的一
3
样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于 高或底的变化．同时
也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如左图
S
1
:
S
2
a
:
b
A
B
S
1
a
S
2
b
C
D
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图
S
△< br>ACD
S
△
BCD
；
反之，如果
S
△
ACD
S
△
BCD
，则可知直线
AB
平行于
CD
．
④等底等高的两个平行四边形面积相等
(
长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形
)
；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等 ，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例
1
】
你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴
3
个面积相等的三角形；⑵
4
个面积相等的三角形；⑶
6
个面积相等的三角形．
【例
2
】
如图，
BD
长
1 2
厘米，
DC
长
4
厘米，
B
、
C
和
D
在同一条直线上．
⑴
求三角形
ABC
的面积是三角形
ABD
面积的多少倍？
⑵
求三角形
ABD
的面积是三角形
ADC
面积的多少倍？
A
.
B
D
C
.
【例
3
】
如右图 ，
ABFE
和
CDEF
都是矩形，
AB
的长是
4< br>厘米，
BC
的长是
3
厘米，那么图中阴影部分的面
积是
平方厘米．
A
E
D
B
F
C
【例
4
】
如图，
长方形
ABCD
的面积是
56
平方厘米，
点
E
、
F
、
G
分别是长方形
ABCD
边上的中点，
H
为
AD
边上的任意一点，求阴影部分的面积 ．
A
E
B
H
D
G
F
C
【例
5
】
长方形
ABCD
的面积为
36
cm
2
，
E
、
F
、
G
为各边中点，
H
为
AD
边上任 意一点，问阴影部分面积
是多少？
A
H
D
E
G
B
F
C
【例
6
】
长方形
ABCD
的面积为
3 6
，
E
、
F
、
G
为各边中点，
H
为
AD
边上任意一点，问阴影部分面积是多
少？
AH
D
E
G
B
A
(
H
)
FD
C
E
G
B
F
C
【例
7
】
如右图，
E
在
AD
上，
AD
垂直
BC
，
AD
12
厘米，< br>DE
3
厘米．求三角形
ABC
的面积是三角形
EB C
面积的几倍？
.
.
A
E
B
D
C
【例
8
】
如图，在平行四边形
ABCD
中，
EF
平行
AC
，连结
BE
、
AE
、
CF
、
BF
那么与
V
BEC
等积的三角形一共
有哪几个三角形？
F
A
D
E
【例
9
】
(
第四届”迎春杯”试题
)
如图，三角形
A BC
的面积为
1
，其中
AE
3
AB
，< br>BD
2
BC
，三角形
BDE
的
面积是多少？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
B
C
【例
10
】
(
2008
年四中考题
)
如右图，
AD
DB
，
AE
EF
FC
，
已知阴影部分面积为
5
平方厘米，
ABC
的面积是< br>
平方厘米．
B
D
A
E
F
C
【例
11
】
如图
ABCD
是一个长方形，点
E
、
F
和
G< br>分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是
36
个
平方单位，求三角形EFG
的面积是多少个平方单位．
G
C
D
E
A
F
B
【例
12
】
如图，大长方形由 面积是
12
平方厘米、
24
平方厘米、
36
平方厘米、48
平方厘米的四个小长方
形组合而成．求阴影部分的面积．
A
36cm
2
2
12cm
48cm
2
24cm
2< br>B
M
36cm
2
2
12cm
N
48cm2
24cm
2
C
D
【例
13
】
如图，
三角形
ABC
中，
DC
2
BD
，
CE
3
AE
，
三角形
ADE
的面积是
20
平方厘米，
三角形
ABC
的面 积是多少？
.
.
A
E
B
D
C
【例
14
】
(
2009
年第七届”希望杯”二 试六年级
)
如图，
在三角形
ABC
中，
已知三角形
ADE
、
三角形
DCE
、
三角形
BCD
的面积分别 是
89
，
28
，
26
．那么三角形
DBE
的面积是
．
B
D
A
E
C
【例
15
】
(
第四届
《小数报》
数学 竞赛
)
如图，
梯形
ABCD
被它的一条对角线
BD
分成了两部分．
三角形
BDC
的面积比三角形
ABD
的面积大
10
平方分米．
已知梯形的上底与下底的长度之和是
15
分米，
它 们的
差是
5
分米．求梯形
ABCD
的面积．
A
D
B
C
【例
16
】
图中
V
AOB
的面积为
15cm
2
，线段
OB
的长度为
O D
的
3
倍，求梯形
ABCD
的面积．
A
O
D
B
C
【解析】
在
VABD
中，因为
S
V
AOB
15cm
2，且
OB
3
OD
，所以有
S
V
AO D
S
V
AOB
3
5cm
2
．
因为
V
ABD
和
V
ACD
等 底等高，所以有
S
V
ABD
S
V
ACD
．
从而
S
V
OCD
15cm
2
，
在
V
BCD
中，
S
V
BOC
3
S
V
OCD
45cm
2
，
所以梯形 面积：
15
5
15
45
80
．
（
cm
2
）
【例
17
】
如图，把四边形
ABCD
改成一个等积的三角形．
D
A
B
C
【例
18
】
（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成
4
个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面
积的
15%
，黄色三角形面积是
21
cm
2
．问：长方形的面积是多少平方厘米？
.
.
黄
红
绿
红
【例
19
】
O
是长方形
ABCD
内一点，已知
OBC
的面积是
5cm
2
，
OAB
的面积是
2cm
2
，求
OBD
的面
积是多少？
D
A
O
P
B
【例
20
】
如右图，
过平行四边形
ABCD
内的一点
P
作边的平行线
EF
、
GH
，
若
PBD
的面积为
8
平方分
米，求平行四边形
PHCF
的面积比平行 四边形
PGAE
的面积大多少平方分米？
A
E
P
F
G
D
C
B
H
C
【例
21
】
A
如右图，正方 形
ABCD
的面积是
20
，正三角形
BPC
的面 积是
15
，求阴影
BPD
的面积．
P
D
B
【例
22
】
在长方 形
ABCD
内部有一点
O
，形成等腰
AOB
的面 积为
16
，等腰
DOC
的面积占长方形面积
的
1 8%
，那么阴影
AOC
的面积是多少？
D
O
C
C
A
B
【例
23
】
（
2008
年“陈省身杯”国际青少年数学邀请 赛六年级）如右图所示，在梯形
ABCD
中，
E
、
F
分别是其两腰
AB
、
CD
的中点，
G
是
EF上的任意一点，
已知
ADG
的面积为
15cm2
，而
BCG
的面
7
积恰好是梯形
ABCD
面积的
，则梯形
ABCD
的面积是
cm
2
．
20
.
.
A
D
F
E
G
B
【例
24
】
C
如图所示，四边形
ABCD
与
AEGF
都是平行四边形，请你证明它们的面 积相等．
F
A
B
G
D
【例
25
】
E
C
如图，正方形
ABCD
的边长为
6
，
AE
1
.
5
，
CF
2．长方形
EFGH
的面积为
．
H
A
E
D
G
B
F
C
【例
26
】
如图，
ABCD
为平行四边形，< br>EF
平行
AC
，
如果
V
ADE
的面积为4
平方厘米．
求三角形
CDF
的面
积．
D
C
F
A
E
B
【例
27
】
图中两个正方形的边长分别是
6
厘米和
4
厘米 ，
则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．
【例
28
】
如图，有三个正方形的顶点
D
、
G
、K
恰好在同一条直线上，其中正方形
GFEB
的边长为
10
厘米 ，求阴影部分的面积．
.
.
D
C
G
Q
F
O
H
E
K
P
A
B
【例
29
】
(< br>2008
年”华杯赛”决赛
)
右图中，
ABCD
和
C GEF
是两个正方形，
AG
和
CF
相交于
H
，已知
CH
等于
CF
的三分之一，三角形
CHG
的面积等于
6
平方厘米，求五边形
ABGEF
的面积．
F
E
A
D
H
B
C
【例
30
】
(
第八届小数报数学竞赛决赛试题
)
如下图，
E
、
F
分别是梯形
ABCD
的下底BC
和腰
CD
上的点，
DF
FC
，并且甲、 乙、丙
3
个三角形面积相等．已知梯形
ABCD
的面积是
32
平方厘米．求图中阴
影部分的面积．
G
A
乙
D
F
甲
B
E
丙
C
【例
31
】
如图，已知长方形
ADEF的面积
16
，三角形
ADB
的面积是
3
，三角形
ACF
的面积是
4
，那么
三角形
ABC
的面积是多少？< br>
A
F
C
D
【例
32
】
B
E
如图，在平行四边形
ABCD
中，
BE
EC
，
CF
2
FD
．求阴影面积与空白面 积的比．
A
H
F
G
B
E
C
D
【例
33
】
(
第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛
)
如图所示，
三角形
ABC
中，
E
是
AC
D
是
AB
边的中点，
边上的一点，且
AE
3
EC
，
O
为
DC
与
BE
的交点．若< br>
CEO
的面积为
a
平方厘米，
BDO
的 面积
.