《球的体积和表面积》教案
巡山小妖精
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2021年01月31日 22:08
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《球的体积和表面积》教案
教学目标
1
、知识与技能
⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用 的基本数学思想方法：
“分
割——求和——化为准确和”
，有利于同学们进一步学习微 积分和近代数学知识
.
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题
.
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力
.
2
、过程与方法
< br>通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式
Ｖ
＝
4
3
π
R
和面积公
3
2
式
Ｓ
＝
4< br>π
R
的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体
现了极限思想
.
3
、情感与价值观
通过学习，
使我们 对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，
提高了空间思维
能力和空间想象能力，增强 了我们探索问题和解决问题的信心
.
教学重难点
重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法
.
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成
.
教学过程
一、创设情景
提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、
锥体和台体那样 展开成平面图形，
那么怎
样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考
.
设疑引课：
球的大小是与球的半径有关，
如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学
生推导球的体积和面积公式
.
二、探究新知
1
．探究球的体积公式
回顾祖暅原理：
夹在两个平行平面之间的两 个几何体，
被平行于这两个平面的任意平面
所截，如果截面的面积都相等，那么这两个几何体的 体积一定相等
.
构造新的几何体，结合祖暅原理推导球的体积公式
(
见P
32
页
).
球的体积公式：
V
4
R
3
.
3
2
.
探究球的表面积公式
设球
O< br>的半径为
R
，我们把球面任意分割为一些“小球面片”
，它们的面积分别用
S
1
,
S
2
,
,
S
i
,
表示，则球的表面积
:
S
S
1
S
2
S
i
以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这 些“小
锥体”可近似地看成棱锥，
“小锥体”的底面积
S
i
可近似地等于“小棱锥”的底面积，球
的半径
R
近似地等于小棱锥的高
h< br>i
，
因此，
第
i
个小棱锥的体积
V
i
1
h
i
S
i
，
当
“小锥 体”
3
的底面非常小时，
“小锥体”的底面几乎是“平的”
，于是球的体积< br>:
1
V
(
h
1
S
1
h
2
S
2
3
h
i
S
i
)
，
又∵
h
i
R
，且
S
S
1
S
2
∴可得
V
又∵
V
S
i
1
R
S
，
3
4
1
4
R3
，∴
R
S
R
3
，< br>
3
3
3
∴
S
4
R< br>2
即为球的表面积公式
三、例题示范
例
1
已
知
过
球
面
上
A
,
B
,
C
三
点
的
截
面
和
球
心
的
距
离
为
球
半
径
的
一
半
，
且
A
B
B
C
C
A
2
，求球的表面积
.
解：设截面圆心为
O
，连结O
A
，设球半径为
R
，
则
O
A
2
3
2
3
，
2
3
2
3
2
2
2
在Rt
O
OA
中，
OA
O
A
O
O
，
∴
R
2
(
C
A
D
'
O
O'
B4
2
3
2
1
2
)
R
，∴< br>R
，
3
3
4
2
∴
S< br>
4
R
64
．
9
'
例
2
．
半球内有一个内接正方体，
正方体的一个面在半球
A
C
'
D
B
'
O
B
C
的 底面圆内，若正方体棱长为
6
，求球的表面积和体积
.
A
A
'
R
A
O
C
'
C