斡旋是什么意思-我有一只小毛驴歌词

2021年1月31日发(作者：春节对联大全2020)

外接球及内切球的体积表面积问题



一．选择题（共
23
小题）

1
．
已知
A
，
B
是球
O
的球面上两点，
∠
AOB=90
°
，
C
为该球面上的动点，
若三棱锥
O
﹣
ABC
体积的最大值为
36
，则球
O
的表面积为（


）

A
．
36
π

B
．
64
π

C
．
144
π
D
．
256
π

2
．已知底面边长为
1
，侧棱长为
的正四棱柱的各顶点均在同一球面 上，则该球的体积为
（


）

A
．

B
．
4
π

C
．
2
π

D
．

，若四面体
ABCD
体积的最大
3
．点
A
、
B
、
C
、
D
在同一个球的球面上 ，
AB=BC=AC=
值为
，则这个球的表面积为（


）

A
．

B
．
8
π

C
．

D
．

4
．
四面体
ABCD
的四个顶点都在球
O
的表面上，
AB
⊥平面
BC D
，
△
BCD
是边长为
3
的等
边三角形．若
AB=2
，则球
O
的表面积为（


）

A
．
8
π

B
．
12
π

C
．
16
π

D
．
32
π

5
．三棱锥
P
﹣< br>ABC
中，
PA
⊥平面
ABC
，
AC
⊥BC
，
AC=BC=1
，
PA=
，则该三棱锥外接
球的 表面积为（


）

A
．
5
π

B
．

C
．
20
π

D
．
4
π

6
．
已知三角形
PA D
所在平面与矩形
ABCD
所在平面互相垂直，
PA=PD=AB=2
，
∠
APD=90
°
，
若点
P
、
A、
B
、
C
、
D
都在同一球面上，则此球的表面积等于（


）

A
．
4
π

B
．
π
C
．
12
π

D
．
20
π

7
．
已知三棱锥
O
﹣
ABC
，
A
，
B
，
C
三点均在 球心为
O
的球表面上，
AB=BC=1
，
∠
ABC=120
°
，
三棱锥
O
﹣
ABC
的体积为
A
．
544
π
B
．
16
π

C
．
，则球
O
的表面积是（


）

π
D
．
64
π

8
．设正方体的全面积为
24
，那么其内切球的体积是（


）

A
．

B
．

C
．

D
．

9
．
四面体
ABCD
的四个顶点都在球
O
的表面上，
AB
⊥平面
BC D
，
△
BCD
是边长为
3
的等
边三角形．若
AB=2
，则球
O
的表面积为（


）

A
．
4
π

B
．
12
π

C
．
16
π

D
．
32
π

10
．三棱锥
S
﹣
ABC
的所有顶点都在球
O
的表面上，
SA
⊥平面
ABC
，
AB
⊥
BC
，又
SA=AB=BC=1
， 则球
O
的表面积为（


）

A
．

B
．

C
．
3
π

D
．
12
π

11
．在四面体
S
﹣
ABC
中，
SA
⊥平 面
ABC
，∠
BAC=120
°
，
SA=AC=2
，
AB=1
，则该四面体
的外接球的表面积为（


）

A
．
11
π

B
．
7
π

C
．

D
．

第
1
页（共
18
页）



12
．体积为
的三棱锥
S
﹣
ABC< br>的所有顶点都在球
O
的球面上，已知△
ABC
是边长为
1的正三角形，
SC
为球
O
的直径，则球
O
的表面积为（


）

A
．
π

B
．
2
π

C
．
4
π

D
．
6
π

13
．在正三棱锥
S
﹣
ABC
中，
M
是
SC
的中点，且
AM
⊥
SB
，底面边长
AB=2
，则正三
棱锥
S
﹣
ABC
外接球表面积为（


）

A
．
6
π

B
．
12
π

C
．
32
π

D
．
36
π

14
．已知四面体
P
﹣
ABC
的四个顶点都在球
O
的球面上，若
PB
⊥平面< br>ABC
，
AB
⊥
AC
，且
AC=1
，
PB=AB=2
，则球
O
的表面积为（


）

A
．
7
π

B
．
8
π

C
．
9
π

D
．
10
π

15
．
已知过球面上
A
、
B
、
C
三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，
且
AB=BC=CA=2
，
则球 面面积是（


）

A
．

B
．
C
．
4
π

D
．

16
．
已知三棱锥
V
﹣
ABC
，
V
A
⊥平面
ABC
，
在三角形
ABC
中，
∠
BAC=120
°
，
AB=AC=V
A=2
，
三棱锥V
﹣
ABC
的外接球的表面积为（


）

A
．
16
π

B
．

C
．

D
．
20
π

17
．一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此

三棱锥外接球的表面积为（


）


A
．
B
．
9
π

C
．
4
π

D
．
π

1 8
．在底面为正方形的四棱锥
S
﹣
ABCD
中，
SA=SB =SC=SD
，异面直线
AD
与
SC
所成的
角为
6 0
°
，
AB=2
．则四棱锥
S
﹣
ABCD
的外接球的表面积为（


）

A
．
6
π

B
．
8
π

C
．
12
π

D
．
16
π

19
．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（


）


A
．
208
π
B
．
128
π
C
．
64
π

D
．
32
π

20
．
已知在三棱锥
P
﹣
ABC
中，
PA=PB=BC=1
，
AB=
，
AB
⊥
BC
，
平面
PAB
⊥平面
ABC
，
若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（


）

A
．
π

B
．
3
π

C
．

D
．
2
π

第
2
页（共
18
页）



21
．如图是一个四面体的三视图，则其外接球的体积为（


）


A
．
8

B
．

C
．
4

D
．

22
．在棱锥< br>P
﹣
ABC
中，侧棱
PA
、
PB
、
PC
两两垂直，
Q
为底面△
ABC
内一点，若点
Q
到
三个侧面的距离分别为
3
、
4
、
5
，则以线段< br>PQ
为直径的球的表面积为（


）

A
．
100
π
B
．
50
π

C
．
25
π

D
．

23
．设长方体的长、宽、高分别为
2a
、
a
、
a
，其顶点都 在一个球面上，则该球的表面积为
（


）

2
2
2
2
A
．
3
π
a

B
．
6
π
a

C
．
12
π
a

D
．
24
π
a



二．填空题（共
7
小题）

24
．正四棱锥
P﹣
ABCD
的五个顶点在同一球面上，若该正四棱锥的底面边长为
4
，侧 棱长
为
，则这个球的表面积为


．

25
．已知底面边长为
，各侧面均为直角三角形的正三棱锥
P
﹣
ABC
的四个顶点都在同一
球面上，则此球的表面积为


．

2 6
．如图，已知球
O
的面上四点
A
、
B
、
C
、
D
，
DA
⊥平面
ABC
，
AB
⊥
BC
，
DA=AB=BC=
，则球
O
的体积等于


．


27
．三棱锥
P
﹣
ABC
中，△
ABC
为等边三角形，
PA=PB=PC=2
，
PA
⊥
PB
，三棱锥
P
﹣
ABC
的外接球的表面 积为


．

28
．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为
，则其外接球的表面积是


．

29
．已知
OA
为球
O
的 半径，过
OA
的中点
M
且垂直于
OA
的平面截球面得到圆< br>M
．若圆
M
的面积为
3
π
，则球
O
的表面积等于


．


第
3
页（共
18
页）



30
．正四棱锥
S
﹣
ABCD
的底面边长和各侧棱长都为
球面上 ，则该球的体积为


．




，点
S
、
A
、
B
、
C
、
D< br>都在同一个
第
4
页（共
18
页）



外接球及内切球的体积表面积问题

参考答案与试题解析



一．选择题（共
23
小题）

1
．< br>（
2015
•
新课标
II
）
已知
A
，
B
是球
O
的球面上两点，
∠
AOB=90
°，
C
为该球面上的动点，
若三棱锥
O
﹣
ABC
体积的最大值为
36
，则球
O
的表面积为（


）

A
．
36
π

B
．
64
π

C
．
144
π
D
．
256
π

【解答】
解：如图所示，当点
C
位于垂直于面
AOB
的直径 端点时，三棱锥
O
﹣
ABC
的体
积最大，
设球
O< br>的半径为
R
，
此时
V
O
﹣
ABC
= V
C
﹣
AOB
=
则球
O
的表面积为
4π
R
=144
π
，

故选
C
．

2
=
=36
，
故
R=6
，



2
．
（
2014
•
陕西）已知底面边长为
1
，侧棱长为
该球的体积为（


）

A
．

B
．
4
π

C
．
2
π

D
．

的正四棱柱的 各顶点均在同一球面上，则
【解答】
解：∵正四棱柱的底面边长为
1
，侧棱长 为
，

∴正四棱柱体对角线的长为
=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，

∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径
R=1
根据球的体积公式，得此 球的体积为
V=
π
R
=
π
．

故选：
D
．



3
．
（
2016
•
安徽校级一模）点
A
、
B
、
C
、
D
在同一个球的球面上，
AB=BC=AC=
体
ABCD
体积的最大值为
，则这个球的表面积为（


）

A
．

B
．
8
π

C
．

D
．

，
外接圆的半径为
1
．

，若四面
3
【解 答】
解：
根据题意知，
△
ABC
是一个等边三角形，
其面积 为
小圆的圆心为
Q
，若四面体
ABCD
的体积的最大值，由于底面积
S
△
ABC
不变，高最大时体
积最大，

第
5
页（共
18
页）



所以 ，
DQ
与面
ABC
垂直时体积最大，最大值为
S
△
ABC
×
DQ=
∴
DQ=4
，

设球心为
O
，半径为
R
，

则在直角△
A QO
中，
OA
=AQ
+
OQ
，即
R
=1< br>+
（
4
﹣
R
）
，∴
R=
则这个球的 表面积为：
S=4
π
（
）
=
2
2
2
2
2
2
2
，



故选
C
．



4
．
（
2016
•
衡水模拟）
四面体
ABCD
的四个顶点都在球
O
的表面上，
AB
⊥平面
BCD
，
△
BCD
是边长为
3
的等边三角形．若
AB=2
，则球
O
的表面积为 （


）

A
．
8
π

B
．
12
π

C
．
16
π

D
．
32
π

【解答】
解：取
CD
的中点
E
，连结
AE
，
BE
，∵在四面体
ABC D
中，
AB
⊥平面
BCD
，

△
BCD
是边长为
3
的等边三角形．

∴
Rt
△
ABC
≌
Rt
△
ABD
，△
ACD
是等腰三角形，

△
BCD
的中心为
G
，作
OG
∥
AB
交
AB
的中垂线
HO
于
O< br>，
O
为外接球的中心，

BE=

R=
=
=2
．

2
，
BG=
，

四面体
ABCD
外接球的 表面积为：
4
π
R
=16
π
．

故选：
C
．




5
．
（
2015
•
佳木斯一模）
三棱锥
P
﹣
ABC< br>中，
PA
⊥平面
ABC
，
AC
⊥
BC
，
AC=BC=1
，
PA=
则该三棱锥外接球的表面积为（


）

A
．
5
π

B
．

C
．
20
π

D
．
4
π

【解答】
解：
PA
⊥ 平面
ABC
，
AC
⊥
BC
，

∴
BC
⊥平面
PAC
，
PB
是三棱锥
P
﹣
A BC
的外接球直径；

∵
Rt
△
PBA
中，
AB=
，
PA=

∴
PB=
，可得外接球半径
R =
PB=
2
，

∴外接球的表面积
S=4
π
R
=5
π

故选
A
．

第
6
页（共
18
页）






6
．
（
2016
•
广西二模）已知三 角形
PAD
所在平面与矩形
ABCD
所在平面互相垂直，
PA=PD =AB=2
，∠
APD=90
°
，若点
P
、
A、
B
、
C
、
D
都在同一球面上，则此球的表面积等于< br>（


）

A
．
4
π

B
．
π
C
．
12
π

D
．
20
π

【解答】
解：设球心为
O
，如图．

由
PA=PD =AB=2
，∠
APD=90
°
，可求得
AD=2
，

在矩形
ABCD
中，可求得对角线
BD=
由于点
P、
A
、
B
、
C
、
D
都在同一球面上，

∴球的半径
R=
BD=

2
=2
，

则此球的表面积等于
=4
π
R
=12
π
．

故选：
C
．




7
．
（
2016
•
河南模拟）
已知三棱锥
O
﹣
ABC
，
A
，
B
，
C
三点均在球心为
O
的球表面上，
AB=BC=1
，
∠
ABC=120
°
，三棱 锥
O
﹣
ABC
的体积为
A
．
544
π B
．
16
π

C
．
π
D
．
64
π

，则球
O
的表面积是（


）

【解答】
解：三棱锥
O
﹣
ABC< br>，
A
、
B
、
C
三点均在球心
O
的表 面上，且
AB=BC=1
，

∠
ABC=120
°
，
AC=
，

∴S
△
ABC
=
×
1
×
1
×
s in120
°
=
∵三棱锥
O
﹣
ABC
的体积为△
ABC
的外接圆的圆心为
G
，

第
7
页（共
18
页）


，

，


∴
OG
⊥⊙
G
，

外接圆的半径为：
GA=
∴
S
△
ABC
•
OG=
OG=
，

=4
．

2
=1
，

OG=
，

，即
×< br>球的半径为：
球的表面积：
4
π
4
=64
π
．

故选：
D



8
．
（< br>2015
•
内江模拟）设正方体的全面积为
24
，那么其内切球的体积 是（


）

A
．

B
．

C
．

D
．

2
【解答】
解：正方体的全面积为
24
，所以，设正方体的棱长为：
a
，
6a
=24
a=2
，正方体的内切球的直径就是正方体的棱长，所以球的半径为：
1
内切球的体积：

故选
B
．



9
．
（
2016
•
白银模拟）
四面体
ABCD< br>的四个顶点都在球
O
的表面上，
AB
⊥平面
BCD
，
△
BCD
是边长为
3
的等边三角形．若
AB=2
， 则球
O
的表面积为（


）

A
．
4
π

B
．
12
π

C
．
16
π

D
．
32
π

【解答】
解：取
CD
的中点
E
，连结
AE
，
BE
，

∵在四 面体
ABCD
中，
AB
⊥平面
BCD
，△
BCD< br>是边长为
3
的等边三角形．

∴
Rt
△
AB C
≌
Rt
△
ABD
，△
ACD
是等腰三角形，
△
BCD
的中心为
G
，作
OG
∥
A B
交
AB
的中垂线
HO
于
O
，
O
为外接球的中心，

BE=
∴
R=2
．

四面体< br>ABCD
外接球的表面积为：
4
π
R
=16
π
．

故选：
C
．

2
，
BG=
，

第
8
页（共
18
页）






10
．
（
2014
•
四川模拟）三棱 锥
S
﹣
ABC
的所有顶点都在球
O
的表面上，
SA
⊥平面
ABC
，
AB
⊥
BC
，又
SA=A B=BC=1
，则球
O
的表面积为（


）

A
．

B
．

C
．
3
π

D
．
12
π

【解答】
解：三棱锥
S
﹣
ABC
的所有顶点都在球
O
的表面上，
SA
⊥平面
ABC
，
AB
⊥
BC
，
又
SA=AB=BC=1
，

三棱锥扩展为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的对角线的长度，

∴球的半径
R=
=
．

球的表面积为：
4
π
R
=4
故选：
C
．

2
=3
π
．




11
．
（
2015
•
石家庄二模）
在四面体
S
﹣ABC
中，
SA
⊥平面
ABC
，
∠
BAC=1 20
°
，
SA=AC=2
，
AB=1
，则该四面体的外接球 的表面积为（


）

A
．
11
π

B
．
7
π

C
．

D
．

【解答】
解：∵
A C=2
，
AB=1
，∠
BAC=120
°
，
∴
BC=
∴三角形
ABC
的外接圆半径为
r
，
2r=
∵
SA
⊥平面
ABC
，
SA=2
，

第
9
页（共
18
页）


=
，

，
r=
，

斡旋是什么意思-我有一只小毛驴歌词

斡旋是什么意思-我有一只小毛驴歌词

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