数学奥林匹克专题讲座
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2021年01月31日 22:11
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望眼欲穿的近义词-下一步打算
数学奥林匹克专题讲座
一、立体图形
空间形体的想象 能力是小学生的一种重要的数学能力，而立体图形的学习对培养
这种能力十分有效。我们虽然在课本上已 经学习了一些简单的立体图形，如正方体、
长方体、圆柱体、圆锥体，但有关立体图形的概念还需要深化 ，空间想象能力还需要
提高。将空间的位置关系转化成平面的位置关系来处理，是解决立体图形问题的一 种
常用思路。
（一）立体图形的表面积和体积计算
例
1
：一个圆柱形的玻璃杯中盛有水，水面高
2.5cm
，玻璃杯内侧的底面积是
72cm
2
，在这个杯中放进棱长
6cm
的正方体铁块后，水面没有淹没铁块 ，这时水面高
多少厘米？
解：水的体积为
72
×
2.5= 180
（
cm
3
）
，放入铁块后可以将水看做
是底面积为< br>72-6
×
6=32
（
cm
2
）
的柱体，< br>所以它的高为
180
÷
32=5
（
cm
）
。
例
2
：右图表示一个正方体，它的棱长为
4cm
，在它的 上下、前
后、左右的正中位置各挖去一个棱长为
1cm
的正方体，问：此图的
表面积是多少？
分析：正方体有
6
个面，而每个面中间有一个正方形的孔， 在计算时要减去小正
方形的面积。各面又挖去一个小正方体，这时要考虑两头小正方体是否接通，这与表
面积有关系。
由于大正方体的棱长为
4cm
，
而小正方体的棱长为< br>1cm
，
所以没有接通。
每个小正方体孔共有
5
个面，在计算 表面积时都要考虑。
解：大正方体每个面的面积为
4
×
4-1×
1=15
（
cm
2
）
，
6
个面的面 积和为
15
×
6=90
（
cm
2
）
。小正方体的每个面的面积为
1
×
1=1
（
cm
2
）
，
5
个面的面积和为
1
×
5=5
（
c m
2
）
，
6
个小正方体孔的表面积之和为
5
×6=30
（
cm
2
）
，因此所求的表面积为
90
＋
30=120
（
cm
2
）
。想一想，当挖去的小正方体 的棱长是
2cm
时，表面积是多少？请同学们把它
计算出来。
例< br>3
：正方体的每一条棱长是一个一位数，表面的每个正方形面积是一个两位数，
整个表面 积是一个三位数。而且若将正方形面积的两位数中两个数码调过来则恰好是
三位数的十位与个位上的数码 。求这个正方体的体积。
解：
根据“正方体的每一条棱长是一个一位数，
表 面的每个正方形面积是一个两位数，
整个表面积是一个三位数”的条件，可知正方体的棱长有
5
，
6
，
7
，
8
，
9
这五种可能性 。
根据“将正方形面积的两位数中
两个数码调过来恰好是三位数
的十位上与个位上的数 码”
，
可知这个正方体的棱长是
7(
如下表
)
。因此这个正 方体的体
积是
7
×
7
×
7=343
。
< br>例
4
：一个长、宽和高分别为
21cm
，
15cm
和
12cm
的长方体，现从它的上面尽
可能大地切下一个正方体，
然后从剩余< br>的部分再尽可能大地切下一个正方体，
最后再从第二次剩余的部分尽可能大
地切下一个正 方体，
剩下的体积是多少
立方厘米？
解：根据长方体的长、宽和高分别为< br>21cm
，
15cm
和
12cm
的条件，可知第一次
切下尽可能大的正方体的棱长是
12cm
，其体积是
12
×
12×
12=1728
（
cm
3
）
。这时剩余
立体 图形的底面形状如图
1
，其高是
12cm
。这样，第二次切下尽可能大的正方 体的棱
长是
9cm
，其体积是
9
×
9
×
9 =729
（
cm
3
）
。这时剩余立体图形可分割为两部分：一部分< br>的底面形状如图
2
，高是
12cm
；另一部分的底面形状如图
3
，高是
3cm
。这样，第三
次切下尽可能大的正方体的棱长是
6c m
，其体积是
6
×
6
×
6=216
（
cm
3
）
。因此，剩下的
体积是
21
×
15
×
12-
（
1728
＋
729
＋
216
）< br>=3780-2673=1107
（
cm
3
）
。
< br>说明：如果手头有一个泥塑的长方体和小刀，那么做出这道题并不难。但实际上，
我们并没有依赖 于具体的模型和工具，这就是想象力的作用。我们正是在原有感性经
验的基础上，想象出切割后立体的形 状，并通过它们各个侧面的形状和大小表示出来。
因此，对一个立体图形，应该尽可能地想到它的原型。
例
5
：下图是一个长
27cm
，宽
8cm
，高
8cm
的长方体。现将它分为
4
部分，然
后将这
4< br>部分重新组拼，能重组为一个棱长为
12cm
的正方体。请问应该怎么分？
< br>解：重组成的正方体的棱长是
12cm
，而已知长方体的宽是
8cm
， 所以要把宽增加
4cm
，为此可按下图
1
中的粗线分
开，分开后重组 成图
2
的形状；图
2
的高是
8cm
，也应增
加4cm
，为此可按图
2
中的虚线分开，分开后重组成图
3
的形状 。图
3
就是所组成的棱长为
12cm
的正方体。
说明：< br>这里有一个朴素的思想，
就是设法把不足
12cm
的宽和高补成
12c m
的棱长，同时按照某种对称的方式分割。在解关于立体图形的问
题时，需要有较丰富的想象力 ，
要能把平面图形在头脑中“立”起来，另外还应有一定的
作图本领和看图能力。
< br>例
6
：雨哗哗地不停地下着，如在雨地里放一个如右图那样
的长方体的容器（单 位：
cm
）
，雨水将它下满要用
1
时。有下列
（
1
）～（
5
）不同的容器，雨水下满各需多长时间？
解：
根 据题意知雨均匀地下，
即单位面积内的降雨
量相同。所以雨水下满某容器所需的时间与该容器的 容积和接水面（敞开部分）的面
积之比有关。因为在例图所示容器中需
1
时接满，所以 ：
（二）
立体图形的侧面展
开图
例
7
：右上图是一个
立体图形的侧面展开图（单位：
cm
）
，求这个立体图形的
表面积和体积。
解：这个立体图形是一个圆柱的四分之一，圆柱 底面半径为
10cm
，高为
8cm
。
它的表面积为
例
8
：右上图是一个正方体， 四边形
APQC
表示用平面截正方体的截面。请其展
开图中画出四边形
APQ C
的四条边。
解：把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形
APQC
四个顶点
所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地 画出。
（
1
）
考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体 形，并在顶点上标出
对应的符号。
（
2
）根据四边形所在立体图形上的位置， 确定其
顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：顶点：
A
—
A
，
C
—
C
，
P
在
EF
边上，
Q在
GF
边上。边
AC
在
ABCD
面上，
AP< br>在
ABFE
面上，
QC
在
BCGF
面上，
P Q
在
EFGH
面上。
（
3
）将上面确定的位置标在展开图上 ，并在对应平面上连线。需要注意
的是，立体图上的
A
，
C
点在展开 图上有三个，
B
，
D
点在展开图上有二个，所以在标
点连线时必须注 意连线所在的平面。连好线的图形如上图。
例
9
：如右图所示，
剪 一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型
（沿虚线折，沿实
线粘）
。这个多面体的面数 、顶点数和棱数的总和是多少？
解：从展开图可以看出，粘合后的多面体有
12个正方形和
8
个三角形，共
20
个
面。这个多面体上部的中间是 一个正三角形，这个正三角形的三边与三个正方形相连，
这样上部共有
9
个顶点，下部 也一样。因此，多面体的顶点总数为
9
×
2=18
（个）
。在
20
个面的边中，虚线有
19
条，实线有
34
条。因为 每条虚线表示一条棱，两条实线表
示一条棱，所以多面体的总棱数为
19
＋
3 4
÷
2=36
（条）
。综上所述，多面体的面数、顶
点数和棱数之和 为
20+18
＋
36
＝
74
。
说明：数 学家欧拉曾给出一个公式：
V
＋
F-E
＝
2
。公式中的V
表示顶点数，
E
表
示棱数，
F
表示面数。根据欧拉公 式，
知道上例多面体的面数和顶点数之后，
棱数便可求得：
E=V
＋
F-2=20
＋
18-2=36
（条）
。
（三）立体图形的截面与投影
例
10
：用一个平面去截一个正方体，可以得到几边形？
解：如图，可得到三角形、四边形、五边形和六边形。
例
11
：一 个棱长为
6cm
的正方体，把它切开成
49
个小正方体。小正方体的大小不必都相同，而小正方体的棱长以厘米作单位必须是整数。问：可切出几种不同尺寸
的正方体？每种 正方体的个数各是多少？
解：
1
3
=1
，
23
=8
，
3
3
=27
，
4
3
=64
，
5
3
=125
，
6
3
=216< br>。
如果能切出
1
个棱长为
5cm
的正方体，那么其 余的只能是棱长为
1cm
的正体体，
共切出小正方体
1
＋
（
6
3
-5
3
）
÷
1=92
（个）
。
因为
92
＞
49
，
所以不可能切出棱长为
5cm
的正方体。如果能切出
1
个棱长为
4cm
的正方体，那么其余的只能 是棱长为
1cm
或
2cm
的正方体。设切出棱长为
1cm
的 正方体有
a
个，切出棱长为
2cm
的正方体有
b
个，则有< br>
设切出棱长为
个，棱长为
3cm
的
解之得
a=3 6
，
b=9
，
c=4
。
所以可切出棱长为
1cm< br>、
2cm
和
3cm
的正方体各为
36
、
9< br>和
4
个。
例
12
：现有一个棱长
1cm< br>的正方体，一个长宽
1cm
、高
2cm
的长方体，三个长
宽< br>1cm
、
高
3cm
的长方体。
下列图形是把这五个图形合并成 某一立体图形时，
从上面、
前面、侧面所
看到的图形。
试利用下面三
个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。
解：立体图形的形状如 右图所示。从上面和下面看到的形状面积都为
9cm
2
，共
18cm
2
；从两个侧面看到的形状面积都为
7cm
2
，共
14cm
2
；从前面和后面看到的形状
面积都为
6cm
2
，
共
12cm
2
；
隐藏着的面积有
2cm
2
。
一共有
18
＋
16
＋
12
＋
2
＝
46< br>（
cm
2
）
。
1cm
的正方体有
a
个，
棱长为
2cm
的正方体有
b
正方体有
c个，则
练习：
1
．一个长方体水箱，从里面量得长
40cm
、宽
30cm
、深
35cm
，
里面的水深
10cm
。放进一个棱长
20cm
的正方体铁块后，水面高多
少厘米？
2
．王师傅将木块刨成横截面如右图（单位：
cm
）那样的高
4 0cm
的一个棱柱。
虚线把横截面分成大小两部分，
较大
的那部分的面积占整 个底面的
60
％。
这个棱柱的体积是多少立方厘米？
3
． 在底面为边长
60cm
的正方
形的一个长方体的容器里，
直立着一
根 高
1m
，底面为边长
15cm
的正方
形的四棱柱铁棍。
这时 容器里的水半
米深。
现在把铁棍轻轻地向正上方提
起
24cm
，露出 水面的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米？
4
．右边各图形中，有的是正方体的展开图，写出这些图形的编号。
5．小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形，一种是长方形。正方形纸板的总
数与长方形纸板的总 数之比是
1
∶
2
。
她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒（如
下图）
，正好将纸板用完。在小玲所做的纸盒中，竖式纸
盒的总数与横式纸盒 的总数之比是多少？
6
．请你在下面图（
2
）中画出
3< br>种和图（
1
）不一
样的设计图，
使它们折起来后都成为右
图所 示的长方形盒子
（直线段与各棱交
于棱的中点）
。
7
．在 桌面上摆有一些大小一样的正方体木块，从正南方向看如下左图，从正东方
向看如下右图，要摆出这样的 图形至多用多少块正方体木块？至少需要多少块正方体
木块？
8
．
有一个
正方体，
它的
6
个面被分别涂上了不同的颜色，
并且在每个面 上至少贴有一张纸条。用不同的方法来摆放这个正方体，并从不同的角
度拍下照片。
（
1
）洗出照片后，把所拍摄的面的颜色种类不同的照片全部挑选出来，
最多可以选出多少张照片 ？（
2
）观察（
1
）中选出的照片，发现各张照片里的纸条数
各不相 同。问：整个正方体最少贴有多少张纸条？
答案：
1.
（15cm
）
。
解：
若铁块完全浸入水中，
则水面将提高此时水面 的高小于
20cm
，
与铁块完全浸入水中矛盾，所以铁块顶面仍然高于水面。此时水深 与容器底面积的乘
积应等于原有水量的
体积与铁块浸入水中体积之和。设放进铁块后，水深为< br>xcm
，则
40
×
30
×
x
＝
40
×
30
×
10+20
×
20
×
x
，解得
x=15
，即放进铁块后，水深
15cm
。
2.
（
19200cm
3
）
。
解得
x=16
。
这个棱柱的体积是
{[
（
12+24
）×
16
÷
2]
÷
60
％
}
×
40
＝
19200
（
cm
3
）
。
3.
（
25.6 cm
）
。解：容器里的 水共有（
60
×
60-15
×
15
）×
50
＝
168750
（
cm
3
）
。当
把铁棍提起24cm
时，
铁棍仍浸在水中的部分的长是
（
168750-60
×
60
×
24
）
÷
（
60
×
6 0-15
×
15
）
=24.4
（
cm
）
， 所以露出水面的浸湿部分长
50-24.4=25.6
（
cm
）
。< br>
4.
（
2
）
（
3
）
（
6
）
（
8
）
（
9
）
（
12
）
（
14
）
（
16
）
（
17
）< br>（
19
）
（
20
）共
11
个。
5.
（
1
∶
2
）
。解：设一共做了
x< br>个竖式纸盒，
y
个横式纸盒。注意到这两种纸盒都
是无盖的，
x
个竖式纸盒共用
x
个正方形和
4x
个长方形纸板；
y< br>个横式纸盒共用
2y
个正方形和
3y
个长方形纸板。根据题意，得2
（
x+2y
）
=4x+3y
，
化简为
2x=y
，
即
x
∶
y=1
∶
2
。
6.
如右图所示：
7.
至少要
6
块正方体木块（ 右图）
，至多需要
20
块正方
体木块（右图）
。图中的数字表示放在 这一格上的正方体木
块的层数。
8.
（
1
）
26
张；
（
2
）
39
张。解：
（
1
）
1
个面的
6
种，
2
个面（即
1
个棱）的< br>12
种，
3
个面的
8
种，共
6+12+8 =26
（张）
。
（
2
）因为
26
张照片上纸条数各 不相同，所以纸
条数至少也得有
1+2+3+
…
+26=351
（张 ）
。
但在这
26
张照片中，
很多纸条是被重复计
算的。每个 面上的纸条在单独面拍摄时出现
1
次，在
2
个面拍摄时出现
4
次，在
3
个
面拍摄时出现
4
次，共被计数
9
次。 所以实际纸条数至少为
351
÷
9
＝
39
（张）
。
二、列方程解应用题
在小学数学中介绍了应用题的算术解法及 常见的典型应用题。然而算术解法往往
局限于从已知条件出发推出结论，不允许未知数参加计算，这样， 对于较复杂的应用
题，使用算术方法常常比较困难。而用列方程的方法，未知数与已知数同样都是运算< br>的对象，通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系，即列出方程（或方程组）
，使问题
得以解决。所以对于应用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考，易于求解。
列方程解 应用题的一般步骤是：审题，设未知数，找出相等关系，列方程，解方
程，检验作答。其中列方程是关键 的一步，其实质是将同一个量或等量用两种方式表
达出来，而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析 ，有些相等关系比较隐蔽，必
要时要应用图表或图形进行直观分析。
（一）列简易方程解应用题
10x+1
，
从
而
有
3
（
10 5+x
）
=10x+1
，
7x
＝
299999
，< br>x
＝
42857
。
答：这个六位数为
142857
。
说明：这一解法的关键有两点：
示出来，这里 根据题目的
特点，
采用“整体”设元的方法很有特色。
一是善于分析问题中的已知数与 未知数之间的
数量关系；二是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。因此，要提高列方
程解应用题的能力，就应在这两方面下功夫。
例
2
：有一队伍以
1.4
米
/
秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是
以
2.6
米
/
秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了
10
分
50
秒。问：队伍有
多长？
分析：
这是一道“追及又相遇 ”的问题，
通讯员从末尾到排头是追及问题，
他与排头
所行路程差为队伍长；通讯员从 排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队
伍长。
如果设通讯员从末尾到排头用了x
秒，
那么通讯员从排头返回排尾用了
（
650-x
）
秒，于是不难列方程。
解：设通讯员从末尾赶到排头用了
x
秒，依题意得< br>2.6x-1.4x=2.6
（
650-x
）
+1.4
（650-x
）
。解得
x
＝
500
。推知队伍长为（2.6-1.4
）×
500=600
（米）
。
答：队伍长为
600
米。
说明：在设未知数时，有两种办法：一种 是设直接未知数，求什么、设什么；另
一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求 相关的间接未知数。
对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些。
< br>例
3
：
铁路旁的一条与铁路平行的小路上，
有一行人与骑车人同时向南 行进，
行人
速度为
3.6
千米
/
时，骑车人速度为
10.8
千米
/
时，这时有一列火车从他们背后开过来，
火车通过行人用22
秒，通过骑车人用
26
秒，这列火车的车身总长是多少？
分析：本题属于追及问题，行人的速度为
3.6
千米
/
时
=1
米
/
秒，骑车人的速度为
10.8
千米
/
时
=3
米
/
秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车
车尾与 骑车人的路程差。如果设火车的速度为
x
米
/
秒，那么火车的车身长度可表示 为
（
x-1
）×
22
或（
x-3
）×
26
，由此不难列出方程。
解：
设这列火车的速度是
x
米/
秒，
依题意列方程，
得
（
x-1
）
×
22=
（
x-3
）
×
26
。
解得
x=1 4
。
所以火车的车身长为
（
14-1
）
×
22=2 86
（米）
。
答：这列火车的车身总长为
286
米。
例
4
：如 图，沿着边长为
90
米的正方形，按逆时针方向，甲从
A
出发，每分钟走65
米，乙从
B
出发，每分钟走
72
米。当乙第一次追上甲时在 正方形
的哪一条边上？
分析：
这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直 线”追及问题，求出乙追上甲所
需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程， 推算出乙应在正
方形哪一条边上。
解：
依题意，甲在乙前方
3×
90=270
（米）
，故有
设追上甲时乙走了
x
分。
72x
＝
65x+270
。
由于正方形边长为
90
米，共四条边，故由
可推算出这时甲和乙应在正方形的
DA
边上。
答：当乙第一次追上甲时在正方形的
DA
边上。
例
5：
一条船往返于甲、
乙两港之间，
由甲至乙是顺水行驶，
由乙至甲是逆水 行驶。
已知船在静水中的速度为
8
千米
/
时，平时逆行与顺行所用的 时间比为
2
∶
1
。某天恰逢
暴雨，
水流速度为原来的
2
倍，
这条船往返共用
9
时。
问：
甲、
乙两港相 距多少千米？
分析：
这是流水中的行程问题：
顺水速度
=
静水速度
+
水流速度，
逆水速度
=
静水速
度
-水流速度。解答本题的关键是要先求出水流速度。
解：设甲、乙两港相距
x千米，原来水流速度为
a
千米
/
时。根据题意可知，逆水
速度与顺水速度的比为
1
∶
2
，即（
8-a
）∶（8
＋
a
）＝
1
∶
2
，
再根据暴雨天水流速度变为
2a
千米
/
时，则有
解得
x=20
。
答：两港相距
20
千米。
例
6
：某校组织
150
名师生到外地旅游，这些人
5
时才能出发，为了赶火车，
6
时
55
分必须到火车站。他们仅有一辆可乘
50
人的客车，车速为
3 6
千米
/
时，学校离
火车站
21
千米，
显然全部路 程
都乘车，因需客车多次往返，
故时间来不及，只能乘车与步行同时进行。如果步行每小时能走
4
千米，那么应如何
安排，才能使所有人都按时赶到火车站？
赶到火车站，每人步行时间应该相同，乘车时间也相同。设每人步行
x
时，
客车能否在
115
分钟完
成。
解：
把
150
人分
3
批，
每批
50
人，步行速度为
4
千米
/
时，汽车速度
解得
x
＝
1.5
（时）
，即
每人步行< br>90
分，
乘车
25
分。
三批人
5
时同时出发 ，
第一批人乘
25
分钟车到达
A
点，
下车步
行；< br>客车从
A
立即返回，
在
B
点遇上步行的第二批人，
乘
25
分钟车，
第二批人下车步行，
客
车再立即返回，又在
C
点遇到步行而来的第三批人，然后把他们直接送到火车站。如此安排
第一、二批人按时到火车站 是没问
题的，
第三批人是否正巧可乘
25
分
钟车呢？必须计算。
次返回的时间是
20
分，同样可计
算客车第二次返回的时间也应是
20
分，
所以当客车与第三批人相遇时，客车已用
25
×
2
＋
20
×
2=90
（分）
，还有
115-90=2 5
（分）
，正好可把第三批人按时送到。因此可以按
上述方法安排。
说明：列方程，解出需步行
90
分、乘车
25
分后，可以安排了，但验算不 能省掉，
因为这关系到第三批人是否可以按时到车站的问题。通过计算知第三批人正巧可乘车
2 5
分，按时到达。但如果人数增加，或者车速减慢，虽然方程可以类似地列出，却不
能保证人员 都按时到达目的地。
(
二
)
引入参数列方程解应用题
< br>对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数
外，
还需 要增设一些“设而不求”的参数，
便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数
语言，以便沟通 数量关系，为列方程创造条件。
例
7:
某人在公路上行走，往返公共汽车每 隔
4
分就有一辆与此人迎面相遇，每隔
6
分就有一辆从背后超过此人。
如果人与汽车均为匀速运动，
那么汽车站每隔几分发一
班车？
分析：此题 看起来似乎不易找到相等关系，注意到某人在公路上行走与迎面开来
的车相遇，是相遇问题，人与汽车< br>4
分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共
汽车的距离；每隔
6
分就有一辆车从背后超过此人是追及问题，车与人
6
分所行的路
程差恰是两车的距离， 再引进速度这一未知常量作参数，问题就解决了。
解：设汽车站每隔
x
分发 一班车，某人的速度是
v
1
，汽车的速度为
v
2
，依题意式 得
代入
①
，得
将
③
说明：此题引入
v
1
，
v
2
两个未知量作参数，计算时这两个参数被消去，即问题的
答案与参数的 选择无关。
例
8:
整片牧场上的草长得一样密，一样地快。已知
7 0
头牛在
24
天里把草吃完，
由①②，得
而
30
头牛就得
60
天。如果要在
96
天内把牧场的草吃完，那么有多少头 牛？
分析：本题中牧场原有草量是多少？每天能生长草量多少？每头牛一天吃草量多
少？若这三个量用参数
a
，
b
，
c
表示，再设所求牛的头数 为
x
，则可列出三个方程。
若能消去
a
，
b
，c
，便可解决问题。
解：设整片牧场的原有草量为
a
，每每头牛一天吃草量为
c
，
x
头牛在
96
天内
完 ，则有
②
-
①，得
36b=120C
。
④
③
-
②，得
96xc=1800c
＋
36b
。
⑤
将④代入⑤，得
96xc
＝
1800c+120c
。解得
x=20
。
答：有
20
头牛。
例
9:
从甲地到乙地的公路， 只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每
小时行驶
20
千米，下坡时每小时 行驶
35
千米。车从甲地开往乙
从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？
解：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到 甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，
就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为
x
千米，下坡路为
y
千米，
①＋②，得
依题意得
天生长的草量为
b
，
能
把
牧
场
上
的
草
吃
将
y=210
－
x
代入①式，得
解得
x
＝
140
。
答：甲、乙两地间的公路有
210
千米，从甲地到乙地须行驶
140
千米 的上坡路。
(
三
)
列不定方程解应用题
有些应 用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个
数，这种情况下的方程称为不定 方程。这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的。
但注意到题目对解的要求，有时，只需要其中一些或 个别解。
例
10:
六（
1
）班举行一次数学测验，采用< br>5
级计分制（
5
分最高，
4
分次之，以
此类推）。男生的平均成绩为
4
分，女生的平均成绩为
3.25
分，而全班的平均 成绩为
3.6
分。如果该班的人数多于
30
人，少于
50
人 ，那么有多少男生和多少女生参加了
测验？
解：
设该班有
x
个男生和
y
个女生，
于是有
4x+3.25y=3.6
（
x+y
）
，
化简后得
8x=7y
。
从而全班共有学生
除，
所以
例
11:
小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得
9
分，套中小猴得
5
分，套中小狗得
2
分。小明共套了
10
次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套< br>10
次
共得
61
分。问：小明至多套中小鸡几次？
解：设套中小鸡
x
次，套中小猴
y
次，则套中小狗（
10-x-y< br>）次。根据得
61
分可
列方程
9x+5y+2
（
10 -x-y
）
=61
，化简后得
7x=41
－
3y
。 显然
y
越小，
x
越大。将
y=1
代入得
7x=38
，无整数解；若
y=2
，
7x=35
，解得
x=5
。
推知
x
＝
21
，
y=24
。答：该班 有
21
个男生和
24
个女生。
在大于
30
小于
50
的自然数中，只有
45
可被
15
整
答： 小明至多套中小鸡
5
次。
例
12:
某缝纫社有甲、乙、丙 、丁
4
个小组，甲组每天能缝制
8
件上衣或
10
条裤
子；乙组每天能缝制
9
件上衣或
12
条裤子；丙组每天能缝制
7< br>件上衣或
11
条裤子；
丁组每天能缝制
6
件上衣或
7
条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣
和一条裤子）
。问：
7
天中这
4
个小组最多可缝制多少套衣服？
分析：不能仅按生产上衣 或裤子的数量来安排生产，应该考虑各组生产上衣、裤子
的效率高低，在配套下安排生
产。我们 首先要说明安排做上
衣效率高的多做上衣，
做裤子效率高的多做裤子，
才能使所做衣服 套数最多。
一般情况，
设
A
组每天能缝制
a1
件
上衣或
b1
条裤子，它们的比为
在安排
A
组尽量 多做上衣、
B
组尽量多
做裤子的情况下，安排配套生产。这
的效率高，故这
7
天全
安排这两组生产单一产品。
设甲组生产上衣
x
天，生产裤子（
7-x
）天，乙组生产上衣
y
天，生产裤子（
7-y
）
天，则
4
个组分别共生产上衣、裤 子各为
6
×
7
＋
8x+9y
（件）
和
11
×
7
＋
10
（
7
－
x
）＋
12
（
7-y
）
（条）
。依题意，得
42
＋8x
＋
9y
＝
77
＋
70-10x
＋
84-12y
，
令
u
＝
42
＋
8x＋
9y
，
则
显然
x
越大，
u
越大。故当
x=7
时，
u
取最大值
125
，此 时
y
的值为
3
。
答：安排甲、丁组
7
天 都生产上衣，丙组
7
天全做裤子，乙组
3
天做上衣，
4
天< br>做裤子，这样生产的套数最多，共计
125
套。
说明：本题仍为两个 未知数，一个方程，不能有确定解。本题求套数最多，实质
上是化为“一元函数”在一定范围内的最值， 注意说明取得最值的理由。
练习
:
1
．
甲用
4 0
秒可绕一环形跑道跑一圈，
乙反方向跑，
每隔
15
秒与甲相遇一次 。
问：
乙跑完一圈用多少秒？
2
．
小明在
360
米长的环形跑道上跑了一圈，
已知他前一半时间每秒跑
5
米，
后一< br>半时间每秒跑
4
米，那么小明后一半路程跑多少秒？
3
．如 下图，甲、乙两人分别位于周长为
400
米的正方形水池相邻的两个顶点上，
同时开始 沿逆时针方向沿池边行走。甲每分钟走
50
米，乙每分钟走
44
米，求甲、乙
两人出发后几分钟才能第一次走在正方形的同一条边上（不含甲、乙两
人在正方形相邻顶点的情 形）
。
4
．
农忙假，
一组学生下乡帮郊区农民收割水稻，
他们被分配到甲、
乙两块稻田去，
甲稻田面积是乙稻田面积的
2
倍。 前半小时，全队在甲田；后半小时一半人在甲田，
一半人在乙田。割了
1
时，割完了甲 田的水稻，乙田还剩下一小块未割，剩下的这一
小块需要一个人割
1
时才能割完。问： 这组学生有几人？
5
．若货价降低
8
％，而售出价不变，则利润（ 按进货价而定）可由目前的
P
％增
加到（
P
＋
10
）％，求
P
。
6
．甲、乙二人做同一个数的带余除法，甲将其除以
8
，乙将其除以
9
，甲所得的
商数与乙所得的余数之和为
1 3
。试求甲所得的余数。
7
．某公共汽车线路中间有
10
个站。车有快车及慢车两种，快车的车速是慢车车
速的
1.2
倍。慢车每站都停，快车 则只停靠中间
1
个站。每站停留时间都是
3
分钟。
当某次慢车发出< br>40
分钟后，快车从同一始发站开出，两车恰好同时到达终点。问：快
车从起点到终点共 需用多少时间？
8
．甲车以
160
千米
/
时的速 度，乙车以
20
千米
/
时的速度，在
长为
210
千 米的环形公路上同时、
同地、
同向出发。
每当甲车追上
乙车
1
次，甲车减
问：在两车的速度恰好相等的时刻，它们分别行驶了多少千米？
答案：
1.(24
秒
)
。
2.(44
秒
)
。
推知小明前
40
秒跑 了
5
×
40=200
（米）
，后
40
秒跑了
4
×
40=160
（米）
。因为小明
后
180
米 中有
20
米是以
5
米
/
秒的速度行进的，
其余160
米是以
4
米
/
秒的速度行进的，
所以，小明后一 半路程共用
20
÷
5+160
÷
4
＝
44
（秒）
。
3.(34
分
)
。提示：仿例
4
。
4.(8
人
)
。
解：设学生共
x
人，甲 田面积为
2a
，乙田面积为
a
，则
解出
x=8
。< br>
5. (15)
。
解：
设原进货价为
x
，
则下降
8
％后的进价为
0.92x
，
依题意有
x
（
1+0.01P
）
＝
0.92x[1+0.01
（
P+1 0
）
]
，解得
P
＝
15
。
6.(4)
。
解：设甲所得的商和余数分别为
x
和
y
，乙所得的商为
z
，则乙所得的余
数为
13-x
。依题 意得
8x+y=9z+
（
13-x
）
，即
9
（x-z
）
=13-y
，推知
13-y
是
9
的倍 数。
因为
y
是被
8
除的余数，所以只能在
0
至7
之间，所以
y=4
。
7.
（
68
分）
。
8.
（
940km
，
310km
）
。
设
甲
车
第
1
次
追
上
乙
车
用
了
t
1
时
。
因
为
甲
比
乙
车
多
跑
1
圈
，
所
以
有
所以
n=3
。
时刻，两车速度相等，则应有
共需
65+3=68
（分）
。
设甲车从第
1次追上乙车到第
2
次追上乙车用了
t
2
时，仿上可知
时。从而甲行驶了
乙车行驶了
三、应用问题选讲
我们知道，数学是一门基础学科。我们在学校中学习数学的目的， 一方面是为学
习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所
学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的
实际问题。
运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问
题
（我们称之为建立数学模型）
，
然后解答这个数学问题，
从而解决这个实际问题。即：
这里，
建立数学模型是关键的一步。
也就是说，
要
通过审题，
将实际问题与自己学过的数学知识、
数学方
法联系起来，将其归结到某一 类型的数学问题，然后解答这个数学问题。下面介绍一些典
型的数学模型。
（一）两个量变化时，和一定的问题
两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的 和始终保持不变，那么它们的差
与积之间有什么关系呢？
观察左表，我们不难得出如 下的规律：两个
变化着的量，如果在变化的过程中，和始终保持
不变，那么它们的差越小，积就 越大。若它们能够相等，则当它们相等时，积最大。这
个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。< br>
例
1
：
农民叔叔阿根想用
20
块长
2米、
宽
1.2
米的金属网建
一个靠墙的长方形鸡窝。为了防止鸡飞出，所 建鸡窝的高度不得
低于
2
米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少？
解：如上图，设长方形的长和宽分别为
x
米和
y
米，则有
x
＋
2y
＝
1.2
×
20
＝
24
。 长方形的面积为
因为
x
和
2y
的和等于
24
是一 个定值，
故它们的乘积当它们相等时最大，
此时长方形面积
S
也最大。
于是有
x=12
，
y
＝
6
。
例
2
：如果将进货单价为
40
元的商品按
50
元售出，那么每个的利 润是
10
元，但
只能卖出
500
个。当这种商品每个涨价
1
元时，其销售量就减少
10
个。为了赚得最
多的利润，售价应定为多少？
解：设每个商品售价为（
50+x
）元，则销量为（
500-10X< br>）个。总共可以获利（
50
＋
x-40
）×（
500-10x
）
=10
×（
10+X
）×（
50-X
）
（元）
。因（
10+x
）
+
（
50
－
x< br>）
=60
为一定值，故当
10+X=50
－
X
即X=20
时，它们的积最大。此时，每个的销售价为
50
＋
20=70< br>（元）
。
例
3
：若一个长方体的表面积为
54厘米
2
，为了使长方体的体积最大，长方体的
长、宽、高各应为多少厘米？
解：设长、宽、高分别为
x
，
y
，
z
厘米，体 积为
V
厘米
3
。
2
（
xy
＋
yz +zx
）
=54
，
xy
＋
yz+zx=27
。因为
V2=
（
xyz
）
2=
（
xy
）
（
yz
）
（
zx
）
，故当
xy=yz=zx
即
x=y=z=3
时，
V2
有 最大值，从而
V
也有最大值。
例
4
：有一块长
2 4
厘米的正方形厚纸片，在它的四个角各剪去
一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒，现在 要使做成的纸盒容积最大，剪去的
小正方形的边长应为几厘米？
解：如右图，设剪去 的小正方形的边长为
x
厘米，则纸盒的容积为
V=x
（
24-2x< br>）
（
24-2x
）
=2
×
2x
（
1 2-x
）
（
12-x
）
。因为
2x+
（
1 2-x
）
+
（
12-x
）
=24
是一个定值，故当
2x=12-x
＝
12-x
，即
x=4
时，其乘积最大，从 而纸盒的容积也最大。
（二）两个量变化时，积一定的问题
两个变化着的 量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的
差与和之间有什么关系呢？观察下面的 表：
我们不难得出这样的规律：
两个变化着
的量，
如果在变化的过 程中，
乘积始终保持
不变，
那么它们的差越小，
和就越小。
若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。
例
5
：长方形的面积为
144 cm2
，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？
解：
设长方形的长和宽分别为
xcm
和
ycm
，
则有
xy
＝
144
。
故当
x=y=12
时，
x+y
有最小值，从而长方形周长
2
（
x
＋< br>y
）也有最小值。
例
6
：用铁丝扎一个空心的长方体，为了 使长方体的体积恰好是
216cm3
，长方体
的长、宽、高各是多少厘米时，所用的铁 丝长度最短？
解：设长方体的长、宽、高分别为
xcm
，
ycm< br>，
zcm
，则有
xyz
＝
216
。铁丝长度
的和为
4
（
x
＋
y
＋
z
）
，故当
x
＝
y=z
＝
6
时，所用铁丝最短。
例
7
：农场计划挖一个面积为
432 m2
的长方形养鱼池，鱼池周 围两侧分别有
3m
和
4m
的堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长 和宽应为多少？
解：如图所示，设水池的长和宽分别为
xm
和
ym
，则有
xy
＝
432
。占地总面积为
S=
（
x
＋
6
）
（
y
＋
8
）
cm2
。于是
S=Xy+6y+8X
＋
48
＝
6y+8X +480
。
我们知道
6y
×
8X=48
×
432
为一定值，故当
6y=8X
时，
S
最小，此时有
6y=8X =144
，
故
y=24
，
x=18
。
例
8
：某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张
240
元，使用规定：不记名，每卡 每
次只限一人，每人只限一次。某班有
48
名学生，老师打算组织学生集体去游泳，除 需
购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名学生，每次的包车
费均为< br>40
元。若要使每个同学游
8
次，每人最少交多少钱？
解： 设一共买了
X
张卡，一共去游泳
y
次，则共有
Xy=48
×
8=384
（人次）
，总用
费为（
240x
＋
40 y
）元。因为
240x
×
40y=240
×
4 0
×
384
是一定值，故当
240x=40y
，
即
y=6x
时，和最小。易求得
x=8
，
y=48
。此时总 用费为
240
×
8
＋
40
×
48=3840
（元）
，
平均每人最少交
3840
÷
48=80
（元）
。
（三）利用不等关系来解答的应用题
例
9
：某公司在
A< br>，
B
两地分别库存有某机器
16
台和
12
台，现要运 往甲、乙两
家客户的所在地，
其中甲方
15
台，
乙方
13< br>台。
已知从
A
地运一台到甲方的运费为
500
元，到乙方的运 费为
400
元，从
B
地运一台到甲方的运费为
300
元，到 乙方的运费为
600
元。已知运费由公司承担，公司应设计怎样的调运方案，才能使这些机器的 总运
费最省？
解：设由
A
地运往甲方
x
台，则< br>A
地运往乙方（
16-x
）台，
B
地运往甲方（
15 -x
）
台，
B
地运往乙方（
x
－
3
）台。 于是总运价为：
S=500x+400
（
16-x
）＋
300
（
15-x
）
+600
（
x-3
）＝
400x+ 9100
。
显然，
x
要满足不等式
3
≤
x
≤
15
，于是当
x=3
时，总运价最省，为
400
×
3
＋
9100=10300
（元）
。
调运方案为：由
A
地运往甲方
3
台，
A
地运往乙方
13
台，
B地运往甲方
12
台，
B
地运往乙方
0
台。
< br>例
10
：某校决定出版“作文集”
，
费用是
30
册以 内为
80
元，超过
30
册的每册增加
1.20
元。当印刷多 少册以上时，每册费用在
1.50
元以内？
解：
显然印刷的册数应 该大于
设印刷了（
30
＋
x
）册，于是总用
为（
8 0+1.2x
）
元。故有
80+1.2x
≤
1.5
×（
30+x
）
，
例
11
：
现 有三种合金：
第一种含铜
60
％，
含锰
40
％；
第 二种含锰
10
％，
含镍
90
％；
第三种含铜
20< br>％，含锰
50
％，含镍
30
％。现各取适当数量的这三种合金，组成一 块
含镍
45
％的新合金，重量为
1
千克。
（
1）求新合金中第二种合金的重量的范围；
（
2
）
求新合金中含锰的重量的 范围。
解：
设第一
y
千克，第三种
（
1
）如果不取第一种合金，即
x=0
，那么新合金中第二种合金重量最小。解得
y=0.25
。如果不取第三种合金，即
z=0
，那么新合金中第二种合金重量最大 。解得
y
＝
0.5
。新合金中第二种合金的重量范围是
0.25克到
0.5
克。
（
2
）由①②可得
z
＝
1.5-3y
，
x=2y
－
0.5
。故新合金中含锰的 重量为
S
＝
40
％
x+10
％
y+50
％
z=40
％（
2y-0.5
）＋
10
％
y
＋
50
％（
1.5-3y
）＝
0.55-0. 6y
。
因为
0.25
≤
y
≤
0.5
，所以
0.25
≤
S
≤
0.4
，
即新合金中含锰 的重量范围是
0.25
克到
0.4
克。
种合金用量为x
千克，第二种合金用量为
合金用量为
z
千克，依题意有
30
。
以内。
费
例
12
：某商店需要制 作如下图所示的工字形架
100
个，每个由三根长为
2.3
米、
1. 7
米、
1.3
米的铝合金材料组装而成。
市场上可购得该铝合金材料的原料长 为
6.3
米。
问：至少要买回多少根原材料，才能满足要求（不计损耗）？
解：
每根原材料的切割有下表的七种情况：
显然，④⑤⑥三种方 案损耗较小。④⑤⑥
⑦方案依次切割原材料
42
根、
14
根、
29
根、
1
根，
可得
2.3
米、
1.7
米、
1.3
米的材料各
100
根，
共用原材料
4 2
＋
14
＋
29
＋
1=86
（根）
。
练习
:
1
．
销售某种西服，
当每件售价为
100
元时可售出
1000
件。
如果定价每下降
1
％，那么销售量将提高
0.5
％，又知道这批西服是每件
80
元成本购进的。 问：应如何定价
才能使获利最大？
2
．下图是一个面积为
4m2< br>的窗户，当
a
∶
b
的值是多少时，窗户的框架所用的材
料最省 ？
3
．有一个长为
80cm
、宽为
40cm< br>的木板，要以它为原材料做一个
无盖的木盒，应该如何制作才能使木盒的容积最大？最大的容积是 多
少？
4
．某厂要建造一个无盖的露天水槽，其底为正方形，容量为
64000m3
。在建造
时，
槽底的造价是四壁的
2
倍，
这个水槽的底面边长和高的比例是多少时，
造价最省？
5
．
A
城有化肥
200
吨，
B
城有化肥
300
吨，现要将化肥运 往
C
，
D
两村。已知
从
A
城运往
C
，
D
两村的运价分别是每吨
20
元和
25
元，从
B
城运往
C
，
D
两村的运
价分别是每吨
15
元和
22
元。某个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，如何
调运才能使运费 最省？
6
．有两个学生参加
4
次数学测验，他们的平均分数不同， 但都是低于
90
分的整
数。
他们又参加了第
5
次测验，这样
5
次的平均分数都提高到了
90
分，
求第
5
次测验
二人的得分（满分为
100
分）
。
7
． 某机械厂要把一批长
7300
毫米的钢筋截成长
290
毫米、
210
毫米和
150
毫米
的钢筋各一段组成一套钢筋架子。现在做
100< br>套钢筋架子，至少要用去长为
7300
毫
米的钢筋多少根？
8
．
下表所示为
X
，
Y
，
Z
三种食品原料 的维生
素含量（单位：单位
/
千克）及成本：
现在要将三种食物混 合成
100
千克的混合物，
要求混合物至少需含
44000
单位的< br>维生素
A
及
48000
单位的维生素
B0
如果所用的 食物中
x
，
Y
，
Z
的重量依次为
X
千克、
y
千克、
Z
千克，那么请定出
X
，
y
，< br>Z
的值，使得成本为最少。
答案：
1.
（
91
元）
。解：设定价为每件（
100-x
）元，则销售量为
10 00
（
1+0.5
％
x
）件。
利润为（
100-x -80
）×
1000
（
1+0.5
％
x
）
=500
×（
20-x
）
（
2+x
）
。因为（20-x
）
+
（
2+x
）
=22
为一定值，故 当
20-x=2+x
即
x=9
时利润最高。此时每件定价为
100- 9=91
（元）
。
2.
（
2
∶
3
）
。
解：
窗户的框架长为
3a+2b
，
而
ab=4
是一个定值，
从而3a
×
2b=6ab=24
也是一个定值，故当
3a=2b
即< br>a
∶
b=2
∶
3
时窗户框架所用材料最省。
3.
（
32000cm
3
）
。解：设木盒的长、宽、高分别为xcm
，
ycm
，
zcm
，则它的容积
为
V= xyzcm
3
。因为
xy+2xz+2yz=40
×
80=3200
为一定值，故它们的积
xy
×
2xz
×
2yz=4
2
=4V
2
，
（
xyz
）
在
xy=2xz =2yz
时最大，
从而
V
也最大，
此时有
x=y=2z。
经计算得
x=40
，
y=40
，
z=20
。 具体制作方式如下：先取原木板的一半（
40cm
×
40cm
）作为木盒的底
面，
再将剩下的一半分成
20 cm
×
40 cm
大小的四等份，
每份作为木盒的一个侧面就可
以了。
4.（
1
∶
1
）
。解：设四壁的造价是
a
元
/m
2
，则底面造价为
2a
元
/m
2
。又设其底 面边长
为
xm
，
高为
ym
，
则有
x
2
y=64000
。
总造价为
a
×
4xy+2a
×
x
2
=2a
（
2xy+x
2
）
=2a< br>（
xy+xy+x
2
）
。
因为
xy
×
xy
×
x
2
=
（
x
2
y
）2
=64000
2
为一定值，故当
xy=xy=x
2
即
x
∶
y=1
∶
1
时，总造价最省。
5.
解：设
A
城化肥运往
C
村
x
吨，则运往
D
村（
200-x
）吨；
B
城化肥运往
C
村
（
220-x
）
吨，
运往
D
村
（
80+x
）
吨，
总运费
y
元，
则
y=20x+25
（
200-x
）
+15
（
220-x
）
+22（
80+x
）
=2x+10060
。又易知
0
≤
x
≤
200
，故当
x=0
时，运费最省，为
10060< br>元。
运输方案如下：
A
城化肥运往
C
村
0
吨 ，运往
D
村
200
吨；
B
城化肥运往
C
村
220
吨，运往
D
村
80
吨。
6.（
98
，
94
）
。解：设某一学生前
4
次的平 均分为
x
分，第
5
次的得分为
y
分，则
其
5
次总分为
4x+y=5
×
90=450
。于是
y=450 -4x
。显然
90
＜
y
≤
100
，故
90
＜
450-4x
≤
100
，解得
87.5
≤
x
＜
90
。于是两个学生前
4
次的平均分分别为
88分和
89
分。第
5
次
得分分别为
450-4
×
88=98
（分）和
450-4
×
89=94
（ 分）
。
7.
（
90
根）
。解：每一根
7 300
毫米的钢筋有如下三种损耗较小的截法：
290
×
2+150
×
1=7300
，
①
210
×
2+150
×
2=7200
，
②
210
×
2+290
×
2=7100
。
③
设按方案①截得的钢筋有
x
根，按方案②截得的钢筋有
y
根，按方 案③截得的钢
筋有
z
根，则长为
290
，
210
，
150
毫米各有
100
根，即
2x+z=x+2y=2y +2z=100
。
于是
x=40
，
y=30
，
z= 20
。一共至少用去长为
7300
毫米的钢筋
90
根。
8.
（
30
，
20
，
50
）
。解：
x+y+z=100
，
①
400x+600y+400z
≥
44000
，
②