一元三次方程
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2021年02月01日 02:52
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一元三次方程、一元四次方程、一元五次以上方程
一元三次方程求根公式
:
以下是传统解法
一元二次
ax^2 +bx+c=0
可用求根公式
x=
求解，它是由方程系数直接把根表示出来的
公式。这个公式早在公元
9
世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。
南宋数学家秦九韶至晚在
1247
年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在
400
多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。
（《数学
九章》等）
一元三次方程
ax^3
+bx^2
+cx+d=0
的求根公式是
1545
年由意大利的卡 当发表在《关于
代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。可是事实上，发现公式的人并不是 卡
当本从，而是塔塔利亚（
Tartaglia
N.,
约
1499 ~1557
）
.
发现此公式后，曾据此与许多人进
行过解题竞赛，
他 往往是胜利者，
因而他在意大利名声大震。
医生兼数学家卡当得知塔塔利
亚总是获胜的 消息后，
就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。
当时学者们通常不急于把自
己所掌握 的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，
以获取奖金。
尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，
但是在很长时间中塔塔利亚都守
口如瓶。
可是后来，
由于卡当一再恳切要求，
而且发誓对此保守秘密，
于是塔塔利亚在
1539
年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，
但是并没有给出详细的证明。卡当并没
有信守自己的誓言，
1545
年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公 开了这个解法。他在
此书中写道：
这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友
--
布里西亚的塔塔利亚。塔塔利亚在
我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我 找到了几种证法。证法很难，
我把它叙述如下。
从此，人们就把一元三次方程的求根公 式称为卡当公式。塔塔利亚知道
卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。按照当时人们的观念，卡当的 做法无异于背叛，
而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。
于是塔塔利亚与 卡当在米兰市
的教堂进行了一场公开的辩论。
许多资料都记述过塔塔利亚与卡当在一元三次方程 求根公式
问题上的争论，
可信的是，
名为卡当公式的一元三次方程的求解方法，
确实是塔塔利亚发现
的；卡当没有遵守誓言，
因而受到塔塔利亚及许多文献资料的指责，卡当 错有应得，但是卡
当在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，
而是如实地说明 了这是塔塔利
亚的发现，
所以算不上剽窃；而且证明过程是卡当自己给出的，说明卡当也做了工 作。
卡当
用自己的工作对塔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，
违背誓言，
把秘 密公之于世，
加速了一
元三次方程求根公式的普及和人类探索一元
n
次方程根 式解法的进程。不过，公式的名称，
还是应该称为方塔纳公式或塔塔利亚公式；
称为卡当公式是 历史的误会。
一元三次方程应有
三个根。
塔塔利亚公式给出的只是一个实根。
又过了大约
200
年后，
随着人们对虚数认识的
加深，到了
1732
年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。
塔尔塔利亚是意大利人，
出生于
1500
年。
他
12
岁那年，
被入侵的法国兵砍伤了头部和
舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔 塔利亚”
(
在意大利语中，这是口吃
的意思
)
，真名反倒少有人叫了 ，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的
解法。有人听了不服气，来找他较量，每人各 出
30
道题，由对方去解。结果，塔尔塔利亚
30
道三次方程的解全做了出来 ，对方却一道题也没做出来。塔尔塔利亚大获全胜。这时，
意大利数学家卡当出场，
请求塔尔塔 利把解方程的方法告诉他，
可是遭到了拒绝。
后来卡当
对塔尔塔利假装说要推荐他去当 西班牙炮兵顾问，
还发誓，
永远不泄漏塔尔塔利亚解一元三
次方程式的秘密。
塔尔塔利亚这才把解一元三次方程的秘密告诉了卡当。
六年以后，
卡当不
顾原来的信约 ，
在他的著作
《关于代数的大法》
中，
将经过改进的三次方程的解法公开发表 。
后人就把这个方法叫作
“卡当公式”
塔尔塔利亚的名字反而被湮没了，
正如 他的真名在口吃
以后被埋没了一样。
至于一元四次方程
ax^4 +bx^3 +cx^2 +dx+e=0
求根公式由卡当的学生弗拉利找到了。
关于三次、四次方程的求根公式，因为要涉及复数概念，这里不介绍了。
一元三次、
四次方程求根公式找到后，
人们在努力寻找一元五次方程求根公式，
三百年
过去了，但没有人成功，这些经过尝试而没有得到结果的人当中，不乏有大数学家。
后来年轻的挪威数学家阿贝尔于
1824
年所证实，
n
次方程
(n
≥
5)
没有公式解。不过，
对这个问题的研究 ，
其实并没结束，
因为人们发现有些
n
次方程
(n
≥
5)
可有求根公式。
那么
又是什么样的一元
n
次方程才没没有求根 公式呢？
不久，这一问题在
19
世纪止半期，被法国 数学家伽罗华利用他创造的全新的数学方法
所证明，由此一门新的数学分支“群论”诞生了。
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，
用类似解一元 二次方程的求
根公式的配方法只能将型如
ax^3+bx^2+cx+d+0
的标准型 一元三次方程形式化为
x^3+px+q=0
的特殊型。
第一步：
ax^3+bx^2+cx+d=0
为了方便，约去
a
得到
x^3+kx^2+mx+n=0
令
x=y-k/3
代入方程
(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0
(y-k/3)^3
中的
y^2
项系数是
-k
k(y-k/3)^2
中的
y^2
项系数是
k
所以相加后
y^2
抵消
得到
y^3+py+q=0
其中
p=(-k^2/3)+m
q=(2k^3/27)-(km/3)+n
第二步：
方程
x^3+px+q=0
的三个根为
x1=[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w^2[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w^2[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
其中
w=(-1+
√
3i)/2.
×推导过程：
1
、方程
x^3=1
的解为
x1=1,x2=-1/2+i
√
3/2=
ω
,x3=-1/ 2-i
√
3/2=
ω
^2
2
、方程
x^3=A
的解为
x1=A
（
1/3
）
,x2=A ^(1/3)*
ω
,x3= A^(1/3)*
ω
^2
3
、一般三次方程
ax^3+bx^2+cx+d=0(a
≠
0),
两边同时除以
a,
可变成
x^3+ax^2+bx+c=0
的形式。 再令
x=y-a/3,
代入可消去次高项，变成
x^3+px+q=0
的形式 。
设
x=u+v
是方程
x^3+px+q= 0
的解，代入整理得：
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0
①
< br>如果
u
和
v
满足
uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理
u^3
和
V^3
是方程
y^2+qy-p^3/27=0
的两个根。
解之得，
y=-q/2
±
(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
不妨设
A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B =-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
则
u^3=A,v^3=B
u= A
（
1/ 3
）或者
A^(1/3)*
ω
或者
A^(1/3)*
ω^2
v= B
（
1/3
）或者
B^(1 /3)*
ω
或者
B^(1/3)*
ω
^2
< br>但是考虑到
uv=-p/3
，所以
u
、
v
只有三组解 ：
u1= A
（
1/3
）
,v1= B
（
1/3
）
u2=A^(1/3)*
ω
,v2=B^(1/3)*
ω
^2
u3=A^(1/3)*
ω
^2,v3=B^(1/3)*
ω
最后：
方程
x^3+px+q=0
的三个根也出来了，即
x1=u1+v1= A
（
1/3
）
+B
（
1/3
）
x2= A^(1/3)*
ω
+B^(1/3)*
ω
^2
x3= A^(1/3)*
ω
^2+B^(1/3)*
ω
这正是著名的卡尔丹公式。
△
=q^2/4+p^3/27
为三次方程的判别式。
当△
>=0
时，有一个实根和两个共轭复根；
当△
<0
时，有三个实根。
根与系数关系是 ：设
ax^3+bx^2+cx+d=0(a
≠
0
）的三根为
x1, x2,x3,
则
x1+x2+x3=-b/a,x1x2+x2x3+ x1x3=c/a,x1x2x3=-d/a.
下面介绍一个三次方求根计算方法：
f{m}=m(k+1)=m(K)+{A/
㎡
.(k)-m(k)}1/n.
n
是方次，
A
被开方数。
例如，
A=5
，
5
介于
1
的
3
次方至
2
的
3
次方之间。
我们可以随意代入一个数
m
，
例如
2
，
那么：
第一 步，
2+[5/
（
2
×
2
）
-2]
×1/3=1.7;
第二步，
1.7+[5/(1.7
×< br>1.7)-1.7]
×
1/3=1.71;
第三步，< br>1.71+[5/(1.71
×
1.71)-1.71]
×
1/3=1 .709;
每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。
三次方程新解法——盛金公式解题法
Shengjin
’
s Formulas
and Shengjin
’
s Distinguishing Means
and Shengjin
’
s Theorems from the Writings
to introduce to you and to solving a problem in mathematics
盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍
三次 方程应用广泛。
用根号解一元三次方程，
虽然有著名的卡尔丹公式，
并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用
a
、
b
、
c
、
d
表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式 ，并建立了新判别法。
盛金公式
Shengjin
’
s Formulas
一元三次 方程
aX^3
＋
bX^2
＋
cX
＋
d=0
，（
a
，
b
，
c
，
d
∈
R
，且
a
≠
0
）。
重根判别式：
A=b^2
－
3ac
；
B=bc
－
9ad
；
C=c^2
－
3bd
，
总判别式：
Δ
=B^2
－
4AC
。
当
A=B=0
时，盛金公式①（
WhenA=B=0
，
Shengji n
’
s Formula
①）：
X1=X2 =X3=
－
b/(3a)=
－
c/b=
－
3d/c
。
当
Δ
=B^2
－
4AC>0时，盛金公式②（
When
Δ
=B^2
－
4AC>0
，
Shengjin
’
s Formula
②）：
X1=(
－
b
－
(Y1^(1/3)
＋
Y2^(1/3)))/(3a)
；
X2
，
3=(
－
2b
＋
Y1^(1/3)
＋
Y2^(1/3)±
3 ^(1/2)(Y1^(1/3)
－
Y2^(1/3))i)/(6a)
；
其中
Y1
，
2=Ab
＋
3a (－
B
±
((B^2
－
4AC)^(1/2)))/2
，
i^2=
－
1
。
当
Δ=B^2
－
4AC=0
时，盛金公式③（
When
Δ
= B^2
－
4AC =0
，
Shengjin
’
s Formula
③）：
X1=
－
b/a＋
K
；
X2=X3=
－
K/2
，
其中
K=B/A
，
(A
≠
0)
。
当
Δ
=B^2
－
4AC<0
时，盛金 公式④（
When
Δ
=B^2
－
4AC<0
，
Sh engjin
’
s Formula
④）：
X1= (
－
b
－
2(Acos(
θ
/3))^(1/2) )/(3a)
；
X2
，
3= (
－
b
＋
((A)^(1/2))*(cos(
θ
/3)
±((3)^(1/2))*sin(
θ
/3))/(3a)
；
其中
θ
=arccosT
，
T= (2Ab
－< br>3aB)/(2A^(3/2))
，
(A>0
，－
1
由于输入设备的原因，
公式只能写成这样，
可以自己再用数学符 号写到纸上，
这样会看