扇形圆柱圆锥面积公式与计算
余年寄山水
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2021年02月01日 04:07
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扇形面积公式
、
圆柱
、
圆锥侧面展开图
［
学习目标
］
1.
掌握基本 概念
：
正多边形
，
正多边形的中心角
、
半径
、边心距
以及平面镶嵌等
。
2.
扇形面积公式
：
n
是圆心角度数
，
R
是扇形半径
，
l
是扇形中弧长
。
3.
圆柱是由矩形绕一边旋转
360
°
形 成的几何体
，
侧面展开是矩
形
，
长为底面圆周长
，
宽为圆柱的高
r
底面半径
h
圆柱高
4.
圆锥侧面积
圆锥是由直角三角形绕一直角边旋转
360
°
形成的几何体
。
侧面展开是扇形
，
扇形半径是圆锥的母线
，
弧 长是底面圆周长
。
5.
了解圆柱由两平行圆面和一曲面围成
，
明确圆柱的高和母线
，
它们相等
。
6.
了解圆锥由一个曲面和一个底面圆围成
，
明确圆锥的高和母
线
，
知道可以通过解高
、
母线
、
底面半径所围直角三角形，
解决圆
锥的有关问题
。
7.
圆柱
圆柱的侧面展开图是两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面周长的矩
1 / 18
形。
圆柱的侧面积等于底面周长乘以圆柱的高
。
如图所示
，
若圆柱
的
底
面
半
径
为
r
，
高
为
。
h
，
则
：
，
8.
圆锥
圆锥是由一个底面和一个侧面组成的
。
圆锥的底面是一个圆
，
侧
面是一个曲面
，
这个曲面在一个 平面上展开后是一个扇形
，
这个扇
形的半径是圆锥的母线
，
扇形的弧 长是圆锥底面的周长
。
因此
，
圆
锥的侧面积是圆锥的母线与底面周长 积的一半
。
如图所示
，
若圆锥
的底面半径为
r
，< br>母线长为
l
，
则
［
重点
、
难点
］
扇形面积公式及圆柱
、
圆锥侧面积公式的理解和灵活应用
。
。
2 / 18
【
典型例题
】
例
1.
已知如图< br>1
，
矩形
ABCD
中
，
AB
＝
1c m
，
BC
＝
2cm
，
以
B
为
圆心
，
BC
为半径作
圆弧交
AD
于
F
，
交
BA
延长线于
E
，
求扇形
BCE
被矩形所截剩 余部分的面积
。
图
1
解
： ∵
AB
＝
1
，
BC
＝
2
，
F点在以
B
为圆心
，
BC
为半径的圆上
，
∴
BF
＝
2
，∴
在
Rt
△
ABF
中
，∠
A FB
＝
30
°，∠
ABF
＝
60
°
∴
例
2.
已 知扇形的圆心角
150
°，
弧长为
____________
。
解
：
设扇形的面积为
S
，
弧长为< br>l
，
所在圆的半径为
R
，
由弧长公式
，
得
：
∴
3 / 18
，
则扇形的面积为
由扇形面积公式
，
点拨
：
本题主要考查弧长公式
，
故填
。
。
和扇形面积公式
例
3.
已知弓形的弦长等于半径
R
，
则此弓形的面积为< br>__________
。
（
弓形的弧为劣弧
）。
解
：∵
弓形弦长等于半径
R
∴
弓形的弧所对的圆心角为
60
°
∴
扇形的面积为
三角形的面积为
∴
弓形的面积为
即
。
故应填
。
。
。
。
点拨
：< br>注意弓形面积的计算方法
，
即弓形的面积等于扇形面积与
三角形面积的和或差< br>。
本题若没有括号里的条件
，
则有两种情况
。
例
4.
若圆锥的母线与底面直径都等于
a
，
这个圆锥的侧面积为
_____________
。
解
：∵
圆锥的底面直径等于
a
。
∴
底面半径为
，
4 / 18
∴
底面圆的周长为
又
∵
圆锥的母线长为
a
，
∴
圆锥的侧面积为
故应填
。
。
点拨
：
圆锥的侧面积即展开图的扇形面积，
可利用扇形的面积公
式
例
5.
如 图
2
所示
，
OA
和
OO1
是
⊙
O
中互相垂直的半径
，
B
在
上
，
弧
的圆心是
O1
，
半径是
OO1
，⊙
O2
与
⊙
O
、⊙
O1
、
OA
都
求得
。
相切
，
OO1
＝
6
，
求图中阴影部分的面积
。
图
2
解
：
设
⊙
O2
与
⊙
O
、⊙
O1
、
OA
分别切于点
D
、
C
、
E
，
设
⊙
O2
的半径为
r
，
连结
O1O2
，
O2E
，
过 点
O2
作
O2F
⊥
O1O
于
F
，
连结
O1B
、
OB
、
OO2
。
∵
O1O
＝
6
，
l
∴
5 / 18
∴
又
∵
∴
∴
又
∵
∴
扇形
∴
和扇形
，
，
，
，
（
舍去
）
是等边三角形
，
的面积相等且都等于
。
所组成的图形面积为扇形
O1BO
和扇形
OO1B
的
面积之和减去三角形
O1OB
的面积
，< br>即
：
又
∵
扇形
OAO1
的面积为
：
6 / 18
∴
阴影部分的面积为
：
点拨
：
本题比较复杂
，
考查的知识面比较多
，
要正 确作辅助线
，
找出解题的思路
。
例
6. < br>在半径为
2
的圆内
，
引两条平行弦
，
它们所对的弧分 别为
120
°
和
60
°，
求两弦间所夹图形的面积及周长< br>。
解
：
分两条弦在圆心的同侧或两侧这两种情况
：
①
如图
3
所示
，
由题意
，
图
3
则
∠
AOB
＝
120°，∠
COD
＝
60
°
又
∵
AB
∥
CD
，
∴
，
∴∠
AOC
＝∠
BOD
又
∵∠
AOC
＋∠
BOD
＝
18 0
°
∴∠
AOC
＝∠
BOD
＝
90
°
∴
7 / 18
又
∵
故所求面积为
又
∵∠
AOC
＝
90
°，
∴
同理
，
又
∵△
OCD
是等边三角形
，
∴
CD
＝
OC
＝
OD
＝
2
又
∵
∴
所求的周长
②
如图
4
所示
，
由第一种情况
，
得所求面积
：
8 / 18
图
4
所求周长
点拨
：
要注意本 题的两种情况
，
另外
，
弧长公式和扇形以及弓形
的面积求法要求正确 掌握
，
熟练运用
。
例
7. < br>如图
5
所示
，
已知正方形的边长是
4cm
，
求它的内切圆与外
接圆组成的圆环的面积
。（
答案保留
）
（
1999
年广州
）
图
5
9 / 18