弧长公式、扇形面积公式和应用(含经典习题)
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2021年02月01日 04:20
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..
【
本讲教育信息
】
一
.
教学内容：
弧长及扇形的面积
圆锥的侧面积
二
.
教学要求
1
、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。
2
、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。
三
.
重点及难点
重点：
1
、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。
2
、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。
难点：
1
、弧长公式、扇形面积公式的推导。
2
、圆锥的侧面积、全面积的计算。
［知识要点］
知识点
1
、弧长公式
因
为
360
°
的
圆
心
角
所
对
的弧
长
就
是
圆
周
长
C
＝
2R
，
所
以
1
°
的
圆
心
角所
对
的
弧
长
是
. .
下载可编辑
. .
..
，于是可得半径为
R
的圆中，
n
° 的圆心角
所对的弧长
l
的计算公式：
，
说明：（
1
）在弧长公式中，
n
表示
1
°的圆心角的倍数，
n
和
180
都不带单位“度”，
例
如
，
圆
的
半
径
R
＝
10
，
计
算
20
°< br>的
圆
心
角
所
对
的
弧
长
l< br>时
，
不
要
错
写
成
。
. .
下载可编辑
. .
..
（
2
）在弧长公式 中，已知
l
，
n
，
R
中的任意两个量，都可以求出第三个量 。
知识点
2
、扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就 是半径为
R
，圆心角为
n
°的扇形面积，显然扇形的面积
是
它
所
在
圆
的
面
积
的
一
部
分
，
因
为
圆
心
角
是
360
°的
扇
形
面
积
等
于
圆
面
积. .
下载可编辑
. .
所
以
圆
心
角
为
°
的
扇
形
面
积
是
，
1
..
式是
. .
下载可编辑
. .
n
°的扇形面积的计算公
。
，由此得圆心角为
..
又
因
为
扇
形
的
弧
长
. .
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. .
，
扇
形
面
积
，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：
。
..
知识点
3
、弓形的面积
（
1
）弓形的定义：由弦 及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（
2
）弓形的周长＝弦长＋弧长
（
3
）弓形的面积
图
示
面
积
知识点
4
、圆锥的侧面积
. .
下载可编辑
. .
..
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图 所示，设圆锥的母线长为
l
，底面圆的半径为
r
，
那么这个扇形的半 径为
l
，扇形的弧长为
2
圆
锥
的
侧
面积
. .
下载可编辑
. .
，
，
圆
锥
的
全
面
积
..
说明：（
1
）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
（< br>2
）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并
明确 圆锥全面积与侧面积之间的关系。
知识点
5
、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形，
如图所示，
其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，< br>若
圆
柱
的
底
面
半
径
为
r< br>，
高
为
h
，
则
圆
柱
的
侧< br>面
积
. .
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. .
..
，
圆
柱
的
全
面
积
知识小结：
圆锥与圆柱的比较
名称
. .
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. .
圆锥
圆柱
..
图形
由一个直角三角形旋转得到
的，如< br>Rt
△
SOA
绕直线
SO
旋
转一周。
一个底面和一个侧面
扇形
由一个矩形旋转得到的，< br>如矩形
ABCD
绕直线
AB
旋转一周。
图形的形成过程
图形的组成
侧面展开图的特征
两个底面和一个侧面
矩形
面积计算方法
【
典型例题
】
例
1.
（
2003.< br>辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为
2
，
1
，∠
AOB
＝
120
°，
则阴影部分的面积是（
）
. .
下载可编辑
. .
..
A.
. .
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. .
B.
C.
..
D.
例
2.
（
2003.
福州）如图所示，已知扇形
AOB
的圆心角为直角，正方形
OCDE
内接于扇形
AOB
，点
C
，
E
，
D
分别在
OA
，
OB
及
AB
弧上，
过点
A
作
AF
⊥
ED
交
ED
的延长线于
F
，
垂足为
F
，
如果正方形的边长为
1
，那么阴影部分的面积为（
）
. .
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. .