圆弧计算公式及运用
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2021年02月01日 04:28
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圆弧计算公式及运用
一
.
教学内容：
弧长及扇形的面积
圆锥的侧面积
二
.
教学要求
1
、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。
2
、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。
三
.
重点及难点
重点：
1
、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。
2
、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。
难点：
1
、弧长公式、扇形面积公式的推导。
2
、圆锥的侧面积、全面积的计算。
［知识要点］
知识点
1
、弧长公式
因为
360
°的圆心角所对 的弧长就是圆周长
C
＝
2
R
，所以
1
°的圆心角所 对的弧长是
，
于是可得半径为
R
的圆中，
n
°的圆心角所对 的弧长
l
的计算公式：
，
说明：（
1
）在弧长公 式中，
n
表示
1
°的圆心角的倍数，
n
和
180< br>都不带单位“度”，
例如，
圆的半径
R
＝
10
，计算
20
°的圆心角所对的弧长
l
时，
不要错写成
（< br>2
）在弧长公式中，已知
l
，
n
，
R
中的任 意两个量，都可以求出第三个量。
。
知识点
2
、扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就是半径为R
，圆心角为
n
°的扇形面积，显然扇形的面积
是它所在圆的面积的一部 分，因为圆心角是
360
°的扇形面积等于圆面积
为
1
°的扇形面积 是
又因为扇形的弧长
的另一个计算公式：
，由此得圆心角为
n
°的扇 形面积的计算公式是
，扇形面积
。
，所以圆心角
。
，所以又得到扇形面积
知识点
3
、弓形的面积
（
1
）弓形的定义：由弦 及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（
2
）弓形的周长＝弦长＋弧长
（
3
）弓形的面积
如图所示，
每个圆中的阴影部分的面积 都是一个弓形的面积，
从图中可以看出，
只要把
扇形
OAmB
的面积 和△
AOB
的面积计算出来，就可以得到弓形
AmB
的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图
1
所示，
当弓形所含的弧是优弧时，如图
2
所示，
当弓形所含的弧是半圆时，如图
3
所示，
例：如图所示，⊙
O
的半径为
2
，∠
ABC
＝
45
°，则图中阴影 部分的面积是
（
）
（结果用
表示）
分析：由图可知
由圆周角定 理可知∠
ABC
＝
∠
AOC
＝
2
∠
ABC
＝
90
°，所以△
OAC
是直角三角形，所以
，
所以
注意：（
1
）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。
公
式
圆周长
弧长
圆面积
扇形面积
∠
AOC
，所以
（
2
）扇形与弓形的联系与区别
（
2
）扇形与弓形的联系与区别
图
示
面
积
知识点
4
、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为
l
，底面圆的 半径为
r
，
那么这个扇形的半径为
l
，扇形的弧长为
2面积
，圆锥的侧面积
，圆锥的全
说明：（
1
）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
（< br>2
）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并
明确 圆锥全面积与侧面积之间的关系。
知识点
5
、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形，
如图所示，
其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，< br>若
圆
柱
的
底
面
半
径
为
r< br>，
高
为
h
，
则
圆
柱
的
侧< br>面
积
，
圆
柱
的
全
面
积
知识小结：
圆锥与圆柱的比较
名称
圆锥
圆柱
图形
图形的形成过程
图形的组成
侧面展开图的特征
面积计算方法
由一个直角三角形旋转得到
的，如
Rt
△
SO A
绕直线
SO
旋转一周。
一个底面和一个侧面
扇形
由
一
个
矩
形
旋
转
得
到
的
，
如
矩
形
ABCD
绕直 线
AB
旋转一周。
两个底面和一个侧面
矩形
【
典型例题
】
例
1.
（
2 003.
辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为
2
，
1
， ∠
AOB
＝
120
°，
则阴影部分的面积是（
）
A.
B.
C.
D.
分析：
阴影部分所在的两个扇形的圆心角为
所以
故答案为：
B.
，
例
2.
（
200 4
·陕西）如图所示，点
C
在以
AB
为直径的半圆上，连接
AC
，
BC
，
AB
＝
10
厘米，
tan< br>∠
BAC
＝
，求阴影部分的面积。
分析：
本题考查的知识点有：（
1
）直径所对圆周角为
90
°，（
2）解直角三角形的知
识（
3
）组合图形面积的计算。
解：因为
AB
为直径，所以∠
ACB
＝
90
°，
在
Rt
△
ABC
中，
AB
＝
1 0
，
tan
∠
BAC
＝
，而
tan∠
BAC
＝
设
BC
＝
3k
，
AC＝
4k
，（
k
不为
0
，且为正数）
由勾股定理得
所以
BC
＝
6
，
AC
＝
8< br>，
所以
例
3.
（
2003.
福州）如 图所示，已知扇形
AOB
的圆心角为直角，正方形
OCDE
内接于扇
形
AOB
，
点
C
，
E
，
D
分别在
OA
，
OB
及
AB
弧上，
过点
A
作
AF
⊥
ED
交
ED
的延长线于
F
，垂足为
F
，如果正方形的边长为
1
，那么阴影部分的面积为（
）
，而