柱、锥、台体、圆的面积与体积公式
绝世美人儿
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2021年02月01日 04:36
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柱、锥、台体、圆的面积与体积公式
（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积
将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。
1
、圆柱的侧面展开图——矩形
圆柱的侧面积
S
圆柱侧
cl
2
rl
,
其中
r
为底面半径
,
l
为母 线长
,
c
为底面周长
2
、圆锥的侧面展开图——扇形
圆锥的侧面积
1
S
圆锥侧
cl
rl
,
其中
r
为底面半径
,< br>l
为母线长
,
c
为底面周长
2
3
、圆台的侧面展开图——扇环
圆台的侧面积
（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。
1
、柱的侧面展开图——矩形
直棱柱的侧面积
2
、锥的侧面展开图——多个共点三角形
侧面展开
c
h
'
正棱锥的侧面积
h
'
3
、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形
侧面展开
c
h
'
,
h
'
正棱台的侧面积
c
说明
：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式
①即锥体的侧面积公式；
②
c'
＝
c
时即柱体的侧面积公式；
（三）棱柱和圆柱的体积
V
柱体
Sh
,
其中
S
为柱体的底面积
,
h
为柱体的高
斜棱柱的体积＝直 截面的面积×侧棱长
（四）棱锥和圆锥的体积
1
V
锥体
Sh
,
其中
S
为锥体的底面积
,< br>h
为锥体的高
3
（五）棱台和圆台的体积
说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：
①
S
上
0
时即为锥体的体积公式；
②
S
上
＝
S
下
时即为柱体的体积公式。
（六）球的表面积和体积公式
（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用
割
——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；
补
—— 把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，
如
正四面体可以补 成一个正方体，如图：
四、考点与典型例题
考点一
几何体的侧面展开图
例
1.
有一根长为
5cm
，底面半径为
1cm
的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上 缠绕
4
圈，
并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端
A
、D
，则铁丝的最短长度为多少厘米？
D
C
A
解：
展开后使其成一线段
AC
＝
B
AB
2
BC
2
4
2
25
cm
考点二
求几何体的面积
例
2.
设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是
0.85m
，底面的 边长是
1.5m
，制造这种塔顶
需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）
S
O
解：
E
1
S
4
1
.
5
1
.
13
3
.
40
(
m
2
)
2
答：
略。
考点三
求几何体的体积
例
3.
求棱长为
2
的正四面体的体积。
A
1
D
1
C
1
B
1
补
D
A
B
C
分析：
将正四面体通过补形使其成为正方体，
然后将正方体的体积减去四个易求体积的
小三棱锥的体积 。
解：
如图，将正四面体补形成一个正方体，则正方体的棱长为
1
，则：
V
正四面体
＝
V
正方体
－
4V
三棱 锥
＝
1
－
4
1
1
1
1
。
3
2
3
考点四
求不规则几何体的体积
1
V
a
b
c
s
i
n
s
i
n
s
i
n
C
6
例
4.
证明四 面体的体积
，其中
a
，
b
，
c
为自同一顶点
S
出发
的三条棱
SA
、
SB
、
SC
的长 ，
α
，
β
为点
S
处的两个面角∠
BSC
、 ∠
ASC
，
C
为这两个面所
夹二面角的大小。
证明：
通过补形，
可将此三棱锥补成一个三棱柱，
如图。
则该三棱柱 的体积可以利用
“直
截面面积×侧棱长”来进行求解，若设过
A
点 的直截面为
AHD
，则由题意知：∠
ADH
＝
C
；
又
AD
⊥
SC
，故
AD
＝
SA
×
sin
β
＝
a
·
sin
β
；
若
过
B
作
BE
⊥
SC
于
E
，
则
BE
＝
HD
＝
BC
×
sin
α
＝
b
·
sin
α
.
所
以
，
S< br>
ADH
1
a
b
s
i
n
s
i
n
2
s
i
C
n
从而有
。
考点五
球的表面积和体积
例
5.
在球心的同侧有相距为
9的两个平行截面，它们的面积分别为
49
π
和
400
π
，求球
的表面积和体积。
分析：
画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径
解：
设球的 半径为
R
，
O
为球心，
O
1
、
O
2
分别是截面圆的圆心，如图。
则
O
1
A＝
7
，
O
2
B
＝
20
，
OA
＝
OB
＝
R
，从而分别解三角形
OO
2
B
和三角形
OO
1
A
得到
OO
1
和
OO
2
，由
OO
1
－
OO
2
＝
9
解得
R
＝
25
，从而
62500
球的表面积为
2500
π
，球的体积为
3
。
考点六
求点到平面的距离——等积法的应用
例
6.
在正方体
ABCD
－
A’B’C’D’
中 ，已知棱长为
a
，求
B
到平面
AB’C
的距离。
解：
设
B
到面
AB’C
的距离为
h，因为
AB’
＝
B’C
＝
CA
＝
2
a
，
3
所以
S
Δ
AB’C
＝
4< br>（
2
a
）
2
＝
2
3
a
2< br>，
3
1
1
1
1
因此
3
·
2
a
2
·
h
＝
V
B
－
A B
′
C
＝
V
B
′－
ABC
< br>＝
3
·
2
a
2
·
a
＝
6< br>a
3
，
3
故
h
＝
3
a< br>，即
B
到面
AB
′
C
的距离为
3
附：拟柱体通用体积公式
拟柱体
：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体 叫做拟柱体
.
它在这两个平面内的面
叫做拟柱体的底面
.
其余各面叫 做拟柱体的侧面，两底面之间的距离叫做拟柱体的高。
3
a
。