三色堇的花语-员工绩效考核表

2021年2月1日发(作者：长江英文)
初三数学
弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积知识精讲

人教实验版

一
.
本周教学内容：





弧长和扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面积





教学目的



1.
使学生掌握弧 长和扇形面积公式、圆锥及其特征，使学生掌握圆锥的轴截面图及其特
点。



2.
使学生掌握弧长和扇形面积公式、圆锥侧面展开图的画法及侧面积计算公式。



3.
使学生比较熟练地应用弧长和扇形面积公式、圆锥的基本性质和轴截面解决有 关圆锥
表面积的计算问题。



4.
培养学生空间观念 及空间图形与平面图形的相互转化思想，培养学生空间想象能力和
计算能力。





教学重点和难点：





教学重点是弧长和扇形面积公式，圆锥及其特征，圆锥的侧面积计算

难点是圆锥侧面展开图（扇形）中各元素与圆锥各元素之间的关系

教学过程

1.
圆周长：
C

2

r





圆面积：
S


r
2

2.
圆 的面积
C
与半径
R
之间存在关系
C

2

R
，
即
360
°的圆心角所对的弧长，
因此，
1< br>°
2

R
。

360
n

R




n
°的圆心角所对的弧长是

180
n

R





l




P
120
1
8
0




*
这里的
180
、
n
在弧长计算公式中表示倍分关系，没有单位。



3.
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的圆形叫做扇形。

的圆心角所对的弧长就是





发现：扇形面积与组成扇形的圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形面积也就越大。



4.
在半径是
R
的圆中，
因为
360
°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积
S


R
2
，所以
圆心角为
n
°的扇形面积是：





S
扇形
n

R
2
1


l
R
（
n
也是
1
°的倍数，无单位）

3
6
0
2



5.
圆锥的概念





观察模型可以发现：
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的。
其中底面是一个圆，
侧面是
一个曲面，如果把 这个侧面展开在一个平面上，展开图是一个扇形。





如图，从点
S
向底面引垂线，垂足是底面的圆心
O
，垂线段
SO< br>的长叫做圆锥的高，点
S
叫做圆锥的顶点。






锥也可以看作是由一个直角三角形旋转得到的。也就是说，把直角三角形
SOA
绕直线
SO
旋转一周得到的图形就是圆锥。其中旋转轴
SO
叫 做圆锥的轴，圆锥的轴通过底面圆的
圆心，并且垂直于底面。另外，连结圆锥的顶点和底面圆上任意一点 的线段
SA
、
SA
1
、
SA
2
、……都叫 做圆锥的母线，显然，圆锥的母线长都相等。





母 线定义：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
P
122



6.
圆锥的性质





由图可得






（
1
）圆锥的高所在的直线是圆锥的轴，它垂直于底面，经过底面的圆心；





（
2
）圆锥的母线长都相等



7.
圆锥的侧面展开图与侧面积计算





圆锥的侧面展开图是一个扇形，
这个扇形的半径是圆锥侧面的母线、圆心是圆锥的顶点、
弧长是圆锥底面圆的周长。





圆锥侧面积是扇形面积。







如果设扇形的半径为
l
，弧长为
c
，圆心角为
n
（如图）
，则它们之间有如下关系：

n

l

180




同时，如果设圆锥底面半径为
r< br>，周长为
c
，侧面母线长为
l
，那么它的侧面积是：

1




S
圆
侧
面

c
l


r
l

2




c





圆锥的全面积 为：

r
l


r
2

圆柱侧面积：
2

rh
。






例：
在⊙中，
120
°的圆心角所对的弧长为
80

cm
，
那么⊙
O
的半径为
________ ___cm
。





答案：
120




解：
由弧长公式：
l





R

n

R
得：

180
180
l
180

80



120
cm

n

120





例：若扇形的圆心角为
120
°，弧长为
1 0

cm
，则扇形半径为
_____________
，扇形面积为
____________________
。





答案：
15
；
25
π





例：
如果一个扇形的面积和一个圆面积相等，
且扇形 的半径为圆半径的
2
倍，
这个扇形
的中心角为
__________ __
。





答案：
90
°





例：已 知扇形的周长为
28cm
，面积为
49cm
2
，则它的半径为
____________cm
。





答案：
7


例：
两个同心圆被两条半径截得的
AB

10

，
CD

6

，< br>又
AC=12
，
求阴影部分面积。






解：
设
OC=r
，则
OA=r+12
，∠
O=n
°

n

(
r

12
)

10



AB
180
n

r




l



6


CD
180





l


n

60







r

18





∴
OC=18
，
OA=OC+AC=30





S
阴

S
扇
A
O
B

S
扇
C
O
D

1
1
l


OA

l


OC

2
AB
2
CD
1
1











1 0


30


6


18
2
2










96







例：如图，已知正方形的边长为
a
，求以各边为直径的半圆所围成的叶形的 总面积。
















解：
∵正方形边长为
a




∴S
正

a
2
，
S
半圆

1< br>1
a
1

R
2


(
)< br>2


a
2

2
2
2
8





S
正方形

2
S
半圆

S
两
个空
白

处





S两个空白处

a
2

2


a
2

a
2






S
四个空白处

2
S
2
个空白

2a
2






S
阴
S
正

S
四个空白处




∴叶的总面积为
1
8
1
2

a

4
1
2

a

2
1
1

a
2

(
2
a
2


a
2
)


a
2

a
2

2
2
1
2

a

a
2

2




*
也可看作四个半圆面积减去正方形面积

1
a
1




S
阴

4
S
半

S
正

4


(
)
2

a
2


a
2

a
2

2
2
2






例 ：已知
AB
、
CD
为⊙
O
的两条弦，如果
AB=8
，
CD=6
，
AB
的度数与
CD
的度数的和
为
180
°，那么圆中的阴影部分的总面积为？





解：
将弓形
CD
旋转至
B
，使
D
、
B
重合





如图，
C
点处于
E
点








A
B
E
的度数为
180
°





∴
AE
是⊙
O
的直径





∴∠
ABE=90
°





又∵
AB=8
，
BE=CD=6




由勾股定理
AE

8
2

6
2

10





∴半径
OA

1

10

5

2





S
阴

S
半圆

S

ABE

1
1
25< br>


5
2


8

6< br>

24

2
2
2





例：在△
AOB
中，∠
O=90
°，
OA=OB=4cm
，以
O
为圆心，
OA
为半径画
AB，以
AB
为直径作半圆，求阴影部分的面积。






解：
∵
OA=4cm
，∠
O=90
°

90



4
2




∴
S
扇形
AOB


4

cm< br>
360




AB

4
2
cm





S

AOB

8
(
cm
)，
S
半圆
2

(
2
2
)
2< br>

4

(
cm
2
)

2





S
弓形
AmB
S
扇形
AOB

S

AOB
(
4


8
)(
cm
2
)





则阴影部分的面积为：





S
阴影

S
半圆

S
弓形
AmB

4


(
4


8
)

8
(
cm
2
)





例：①、②……
m
是边长均大于
2
的三角形，四边形、……、凸
n
边形，分别以它们
的各顶点为圆心，以
1为半径画弧与两邻边相交，得到
3
条弧，
4
条弧，……





（
1
）图①中
3
条弧的 弧长的和为
_________________




图②中
4
条弧的弧长的和为
_________________




（
2
）求图
m
中
n
条弧的弧长的和（用
n
表示）

○
○





解：
（
1
）
π
，
2
π





（
2
）
解法
1
：





∵
n
边形内角和为：
（
n
－
2
）
180
°





前
n
条弧的弧长的和为：
长

(
n
2
)
180
1

(
n

2
)
个以某定点为圆心，以
1
为半径的圆周
360
2




∴
n
条弧的弧长的和为：
2

1

1
(
n

2
)
(
n

2
)


2







解法
2
：
设各个扇形的圆心角依次为

1
,

2
,

,

n





则

1


2



n

(
n

2
)
180






∴
n
条弧长的和为：





1






1

2

1


n

1

1
8
0
1
8
0
1
8
0


(

1


2



n
)
1
8
0







(
n

2
)

1
8
0
1
8
0

(
n

2
)









例 ：如图，在
Rt
△
ABC
中，已知∠
BCA=90
°，∠< br>BAC=30
°，
AC=6m
，把△
ABC
以
点B
为中心逆时针旋转，使点
C
旋转到
AB
边的延长线上的点C'
处，那么
AC
边扫过的图
形（阴影部分）的面积为？






分析：
在
Rt
△ACB
中，∠
C=90
°，∠
BAC=30
°，
AB= 6





BC

1
AB< br>
3
,

CBA

60


2





AC

AB
2

BC
2

3
3

1
1
9
3

BC
'

A
'
C
'


3

3
3

2
2
2
n

r
2
120

6
2





S
扇
A'
BA



12


360
360
1
2
0


3
2




S
扇形
C
'
BC


3


3
6
0




法一：
S

A
'
C
'
B






S
阴影

S
扇
A
'
BA

S

A
'
C
'
B

S
扇
C
'
BC

S
A
C
B

9






法二：以
B
为圆心，
BC
为半径画弧






交
A'B
于
D
，
AB
于
D'





有
S

A
'
C
'
B

S

ACB
，
S
扇
C
'
BD

S
扇
CBD
'






S
阴

S
扇
A BA
'

S
扇
D
'
BD
120


6
2
120


3
2



12


3


9

360
360





例：如图 ，已知
Rt
△
ABC
的斜边
AB=13cm
，一条直角边< br>AC=5cm
，以直线
AC
为轴旋
转一周得一个圆锥。
求这个 圆锥的表面积。如果以直线
AB
为轴旋转一周，
能得到一个什么
样的图形？< br>





解：
BC

13
2

5
2

12
(
cm
)< br>




以直线
AC
为轴旋转一周所得的圆锥如图所示，它的表面积为：






S
表

S
底

S
侧



12
2



12

13

300

(
cm
2
)





以直线
AB
为轴旋转一周，所得到的图形如图所示。

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