初中数学专题训练--圆--圆柱圆锥的侧面展开图
绝世美人儿
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2021年02月01日 04:39
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初中数学
典型例题一
例
矩形
面积是（
）
（
A
）
（
C
）
（
B
）
（
D
）
的边
，
，
以
为轴旋转一周得到的圆柱体的表
分析与解答：圆 柱表面积是两底面积之和加上侧面积
.
圆柱的侧面展开图是矩形
.
因此，圆柱
的侧面积是矩形的面积，即底面周长（
）与圆柱的高（母线）的积，解之选（
C
）
.
典型例题二
例
已知矩形
ABCD
一边
AB=10cm
，
AD=6
cm
，求以此矩形为侧面所围成圆柱的表面
积．
解：
（< br>1
）以
AD
为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径
r=
则圆柱表 面积为
S
60
2
(< br>)
60
5
5
2
50
．
3
（
2
）以
AB
为圆柱高围成圆柱，则底面圆的半径
r=
则圆柱表面积为
S
60
2
(
)
60
3
2
18
．
说明：①圆柱表面积的计算；②分类思想；③圆柱各元素的关系和计算．
典型例题三
例
（
1
）< br>如果圆柱底面半径为
4cm
，
它的侧面积为
64
c m
，
那么圆柱的母线长为
（
）
.
（
A
）
16cm
（
B
）
16
cm
（
C
）
8cm
（
D
）
8
cm
（
2
）如果圆 柱底面直径为
6cm
，母线长为
10cm
，那么圆柱的侧面积为（
）
（
A
）
30
cm
（
B
）
60
cm
（
C
）
90
cm
（
D
）
120
cm
分析
圆柱侧面展开图是矩形，
（
1
）可直接用公 式求出母线长为
8cm
，故选（
C
）
，
（
2
）
中，由直径求出半径是关键，应选（
B
）
.
2
2
2
2
2
典型例题四
例
已知一个圆柱的轴截面是一个面积为
16cm
2
的正方 形，求它们侧面积．
解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为
16cm
2
∴圆柱的高为
4cm
，圆柱底面直径也是
4cm
即底面半径为
2cm
．
∴圆柱的侧面积
=2
π
×
2
×
4
＝
16
π
cm
2
．
说明：此题为基础题．应用圆柱轴截面的特征，圆柱各元素的关系，侧面积计算．
典型例题五
例
（
1< br>）若圆锥的底面半径是
3cm
，母线长是
5cm
，则它的侧面展开图的 面积是
精品设计
初中数学
______
cm
2
.
（
2
）
若圆锥的 母线长为
5cm
，
高为
3cm
，
则其侧面展开图中扇形的圆 心角是
度
.
分析
首先弄清圆的侧面展开图是扇形，
（
1
）中可直接用
S
扇
中先求底面圆半径，扇形弧长，再由 弧长公式求圆内角为
288
°
.
1
lR
求得
15
cm
2
，
（
2
）
2
典型例题六
例
一个圆锥的高是
10
㎝，侧面展开图是半圆，求圆锥的侧面积
.
分 析：如图，欲求圆锥的侧面积，即求母线长
l
，底面半径
r
.
由圆锥 的形成过程可知，
圆锥的高、母线和底面半径构成直角三角形即
Rt
SOA
，且
SO
10
,
SA
l
,< br>OA
r
,
关键
找出
l
与
r
的关系，又其侧面展开图是半圆，可得关系
2
l
2
l
,
，即
l
2
r
.
2
解：设圆锥底面半径
r
，扇形弧长为
C
，母线长为
l
，< br>
由题意得
C
2
l
,
又
C
2
r
.
2
2
l
2
l
,
得
l
2
r
①
2
2
2
2
在
Rt
SOA
中，
l
r
10
②
由①、②得：
r
10
3
20
3
cm,
l
< br>cm.
2
2
∴所求圆锥的侧面积为
S
rl
10
3
20
3
200
(
cm
2
)
3
3
3
典型例题七
例
一个圆锥的侧面展开图是半径为
18cm
，圆心角为
240
°的扇形，求这个圆锥的轴截
面积．
240
18
24
180
24
12
cm
∵扇形弧长等于底面圆 周长，∴圆锥的母线长为
18cm
，底面半径
=
2
解：∵ 扇形的半径为
18cm
，圆心角为
240
°，∴扇形的弧长
L=∴圆锥的高为
18
2
12
2
6
5
（
cm
）
，
∴圆锥的轴截面积
S=
1< br>
24
6
5
72
5
（
cm
2
）
2
说明：巩固圆锥的各元素之间的关系，弧长公式和解直角三角形等知识的应用．
典型例题八
精品设计
初中数学
例
已知一个三角形的边长分别为
3 cm
、
4 cm
、
5 cm
，
求以一边所在
的直线为轴旋转一周形成的几何体的全面积．
略解：如图，在 △
ABC
中，
AB=5
，
AC=4
，
BC=3，
∵
AB
2
=AC
2
+BC
2，∴∠
C=90
°．
（
1
）
当以
A C
所在的直线为轴旋转一周时，
形成的几何体是以底面半
径为
3
，母 线长为
5
的圆锥．
．
S
全
S
底
S
侧
3
(
5
3
)
24
（
cm2
）
（
2
）
当以
BC
所在的直线为轴旋转一周 时，
形成的几何体是以底面半
径为
4
，母线长为
5
的圆锥．
．
S
全
S
底
S
侧
4
(
5
4
)
36
（
cm
）
（
3
）
当以
AB
所在的直线为轴旋转一周时，
形成的几何体是同底面的
两个圆锥的侧组成的几何体，母线长分别为
4
、
3
．
圆锥 的底面半径
=
2
A
4
3
C
A
5
4
3
C
5
B
D
B
S
全
S
侧
1
S
侧
2
3
4
1 2
5
5
12
12
84
< br>
4
3
< br>（
cm
2
）
．
5
5
5
说明：①分类思想；②圆锥的侧面积和表面积．
典型例题九
例
一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一 个等腰直角三角形，求它的侧面展开图的中心
角．
解：设圆锥的母线
SA=
l
，底面半径为
r
，
< br>则底边周长
c=2
π
r
，即为展开扇形的弧长，这个扇形的半径
为
l
，它的中心角为
α
，则
c=
l
，
180
AS
l
r
B
又△
ASB
为等腰直角三角形，∴
l
=
2
r
．
2
r
2
r
，∴
(
180< br>2
)
．
∴
180
说明：
圆锥展 开图的应用，
圆锥的侧面展开图是一个扇形，
这个扇形的半径等于圆锥母线的
长，扇形 的弧长等于圆锥底面周长，千万不要借把圆锥底面的半径当作扇形的半径．
典型例题十
例
已知：
斜边
，
以直线
为轴旋转一周得一表面积为
的圆锥，则这个圆锥的高等于
.
分析与解答：
圆锥的表面积是底面积与圆锥侧面积之和
.
圆锥的侧面展开图是扇形
.
圆锥的
侧面积是扇形的面积，即等于底面周长×母线长的 一半
.
此题在分析中要结合图形（如图）弄清欲求圆锥的高即为
精品设计
的长，关键在于求底面半
初中数学
径
，
不妨设
，
则
，
即可求出
，
解之得高＝
12cm.
典型例题十二
例
一个圆锥的底 面半径为
10cm
，母线长
20cm
，求：
（
1
） 圆锥的表面积；
（
2
）圆锥的
高；
（
3
）轴与一条 母线所夹的角；
（
4
）侧面展开图扇形的圆心角
.
解
（
1
）
S
圆
锥
表
r
rl
100
200
300
(
cm
).
（< br>2
）
如图，
OS
为圆锥的高，
在
Rt
OSA
中，
OS
OA
2
AS
2< br>
20
2
10
2
10
3
（
cm
）
.
2
2
（
3
）设 轴与一条母线所夹的角为
，在
Rt
OSA
中，
sin
AS
1
,
30
.
OA
2
（
4
） 设侧面展开图扇形的圆心角度数为
，则由
2
r
l
180
得
180
，
∴侧面展开图扇形的圆心角为
180
°
.
说明：本题考查与圆锥有关的计算问题，解题关键是掌握与圆锥有关的性质与公式
.
典型例题十二
例
圆锥的轴截面是等腰
PAB
，
EG
PA
PB
3
,
AB
2
,
M
是
AB
上一点，且
PM
2
，那么在锥面上
A
、
M
两点间的最短距离是多少？
分析：设圆锥的侧面展开图是扇形
PB
B
,
A
点落在
A
点，则所求< br>A
、
M
之间的最短距
离就是侧面展开图中线段
A< br>
M
的长度
.
解：如图，扇形的圆心角
360< br>
r
1
360
120
.
l
3
精品设计