弧长公式、扇形面积公式
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2021年02月01日 04:43
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仅供个人参考
羁
弧长与扇形面积、圆锥侧面积
膆
【
知识详解
】
肆
知识点
1
、弧长公式
袂
因为
360
°的圆心角所对的弧长就是圆周长
C
＝
2
R
，所以
1
°的圆心角所
，于是可得半径为
R
的圆中，
n
° 的圆心角所对的弧长
l
对的弧长是
的计算公式：
，
莁
说明：
（
1
）在弧长公式中，
n
表示
1°的圆心角的倍数，
n
和
180
都不带单
位“度”，例如，圆的 半径
R
＝
10
，计算
20
°的圆心角所对的弧长
l
时，不要错
写成
。
袈
（
2
） 在弧长公式中，已知
l
，
n
，
R
中的任意两个量，都可以求 出第三个量。
袄
知识点
2
、扇形的面积
羂
如图所示，阴影部分的面积就是半径为
R
，圆心角为
n
°的扇形面积，显然
扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，
因为圆心角是
3 60
°的扇形面积等于圆
面积
，所以圆心角为
1
°的扇形面积是。
，由此得圆心角为
n
°的扇形面
积的计算公式是
又因为扇形的弧长
螂
，扇形面积
，所以又
得到扇形面积的另一个计算 公式：
。
芆
知识点
3
、圆锥的侧面积
袇
圆锥的侧面展开图是一个扇形，
如图所示，
设圆锥的母线长为< br>l
，
底面圆的
半径为
r
，那么这个扇形的半径为
l< br>，扇形的弧长为
2
，圆锥的侧面积
，圆锥的全面积
不得用于商业用途< br>
仅供个人参考
羂
说明：（
1
）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
罿
（
2
）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解 圆锥的侧面
积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。
肈
知识点
4
、圆柱的侧面积
蚆
圆柱的 侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱
底面圆的周长，
若圆柱的底面 半径为
r
，
高为
h
，
则圆柱的侧面积
圆柱的全面积
肁
圆锥与圆柱的比较
莀
名称
，
螀
圆锥
莅
圆柱
膁
图形
螁
膈
芁
由 一个直角三角形旋转
膂
由一个矩形旋转得到的，
如矩形
膄
图形的形成 过程
得到的，如
Rt
△
SOA
绕直
ABCD绕直线
AB
旋转一周。
线
SO
旋转一周。
羀
图形的组成
膇
一个底面和一个侧面
莁
两个底面和一个侧面
艿
侧面展开图的特
莈
扇形
羆
矩形
征
蚀
聿
蒁
面积计算方法
螅
补充：知识点
5
、弓形的面积
螅
（
1
）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫
做弓形。
肀
（
2
）弓形的周长＝弦长＋弧长
薇
（
3
）弓形的面积
不得用于商业用途
仅供个人参考
如图所示，每个圆中的阴影部分 的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看
出，只要把扇形
OAmB
的面积和△
AOB
的面积计算出来，就可以得到弓形
AmB
的
面积。
螇
袅
当弓形所含的弧是劣弧时，如图
1
所示，
蒁
当弓形所含的弧是优弧时，如图
2
所示，
当弓形所含的弧是半圆时，如图
3
所示，
薆
例：
如图所示，⊙
O
的半径为
2
，∠
ABC
＝
45
°，则图中阴影部分的面积是
（
）（结果用
表示）
艿
分析：由图可知
由圆周角定理可知∠
ABC
＝
∠
AOC
，所以∠
AOC
＝
2
∠
ABC
＝
9 0
°，所以△
OAC
是直角三角形，所以
羅
袂
，
所以
蚇
注意：（
1
）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。
肅
聿
圆周长
葿
弧长
肄
圆面积
膄
扇形面积
蒀
公
肇
芄
袁
蕿
袇
式
袆
（
2
）扇形与弓形的联系与区别
芅
芄
图
节
示
荿
面
肇
蚅
莄
蒄
蒄
蝿
不得用于商业用途
仅供个人参考
螈
积
芆
【
典型例题
】
例
1.
如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为
2
，< br>1
，∠
AOB
＝
120
°，则阴
影部分的面积是（
）
A.
B.
C.
蒆
D.
薄
分析：
阴影部分所在的两个扇形的圆心角为
膀
，
所以
羈
例
2.
如图所示，点
C
在以
AB
为直径的半圆上，连接
AC
，< br>BC
，
AB
＝
10
厘米，
tan
∠
BAC
＝
，求阴影部分的面积。
芅
分析：
本题 考查的知识点有：（
1
）直径所对圆周角为
90
°，（
2
） 解直角
三角形的知识（
3
）组合图形面积的计算。
蚄< br>解：
因为
AB
为直径，所以∠
ACB
＝
90
°，
薁
在
Rt
△
ABC
中 ，
AB
＝
10
，
tan
∠
BAC
＝，而
tan
∠
BAC
＝
莆
设BC
＝
3k
，
AC
＝
4k
，
（
k
不
为
0
，
且
为
正
数
）
由
勾
股
定
理
得
羄
所以BC
＝
6
，
AC
＝
8
，
，而
螄
所以
例
3.
如图所示，
已知扇形
AOB
的圆心角为直角，
正方形
OCDE
内接于扇形
AOB
，
点
C
，
E
，
D
分别在
OA
，
OB
及
AB
弧上，过点
A
作
AF< br>⊥
ED
交
ED
的延长线于
F
，垂
足为
F
，如果正方形的边长为
1
，那么阴影部分的面积为（
）
膈
分析：
连接
OD< br>，由正方形性质可知∠
EOD
＝∠
DOC
＝
45
°， 在
Rt
△
OED
中，
羂
OD
＝
，
不得用于商业用途
仅供个人参考
肇
因为正方形的边长为
1
，所以
OE
＝
DE
＝
1< br>，所以
，设两部分阴影的
面积中的一部分为
M
，另一部分为
N
，则
，
阴影部分面积可求，
但这种方法较麻烦，
用割补法解此题较为 简单，
设一部分空
白面积为
P
，
袃
因
为
∠
BOD
＝
∠
DOC
，
所
以< br>
腿
所以
M
＝
P
，所以
例
4.
如图所示，直角梯形
ABCD
中，∠
B
＝
90
°，
AD
∥
BC
，
AB
＝
2
，
BC
＝
7
，
AD
＝
3
，以
BC
为轴把直角梯形
ABCD
旋转一周，求所得几何体的表面积。
薂
分析：
将直角梯形
ABCD
绕
BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱
和圆锥组成的，
所得几何体的表面积是圆锥的侧 面积、
圆柱的侧面积和底面积三
者之和。
虿
解：
作
DH
⊥
BC
于
H
，所以
DH
＝
AB
＝
2
芆
CH
＝
BC
－
BH
＝
BC
－
AD
＝
7
－
3＝
4
薆
肄
在△
CDH
中，
所以
芁
蝿
例
5.
已知扇形的圆心角为
120
°，面积为
300
平方厘米
蚇
（
1
）求扇形的弧长。
螆
（
2
）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？
肀< br>分析：
（
1
）由扇形面积公式
，可得扇形半径
R
，扇 形的弧长
可由弧长公式
求得。（
2
）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥 的轴
截面为等腰三角形
ABC
，（
1
）问中求得的弧长是这个圆锥的 底面圆周长，而圆
周长公式为
C
＝
2
r
，底面圆半径
r
即
CD
的长可求，圆锥的高
AD
可在
Rt
△< br>ADC
中求得，所以
蝿
可求。
解：
（< br>1
）设扇形的半径为
R
，由
＝
30.
不得用于商业用途
，得
，解得
R