五年级奥数春季班第8讲 完全平方数
温柔似野鬼°
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2021年02月01日 06:56
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第八讲完全平方数
模块一、认识完全平方数和完全平方数的尾数
性质
1
：完全平方数的末位数字只可能是
0
、
1
、
4
、
5
、
6
、
9
；
性质
2
：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数；
例< br>1
．
（
1
）写出
1
2
、
2
2
、
3
2
、……、
20
2
的得数，观察这些得数的 个位，并总结一下完全平方数的个位有什
么规律？
n
n
2
n
n
2
1
11
2
12
3
13
4
14
5
15
6
16
7
17
8
18
9
19
10
20
（
2
）根据刚才发现的规律，判 断
20737
是平方数吗？为什么？
（
3
）进一步判断< br>1000
是平方数吗？
1004000
呢？
解：
（
1
）
n
n
2
n
n
2
1
1
11
121
2
4
12
144
3
9
13
169
4
16
14
196
5
25
15
225
6
36
16
256
7
49
17
289
8
64
18
324
9
81
19
361
10
100
20
400
（
2
）
1000
不是平方数，
10040 00
也不是平方数。
如果完全平方数末位是
0
，那么它从个位开始 ，连续的
0
的个数一定是偶数个。
例
2
．（
1
）
10001
到
11000
之间存在哪些数的平方 ？写出这些数；
（
2
）非零自然数的平方按大小排列成
… …，则第
92
个位置的数字是。
解：
（
1
）100
2
=10000
，
104
2
=10816
，
105
2
=11025
，
所以
10001< br>到
11000
之间存在
101
、
102
、
1 03
、
104
的平方。
（
2
）
1
、
4
、
9
、
16
、
25
、
36
、
49
、
64
、
81
共有
15
个 数字，
100
、
121
、……、直到
31
2=961
，一共有
22×
3=66
个数字，前面共有
66+15 =81
个数字，
从
32
2
=1024
开始，每个 平方数有
4
个数字，
32
、
33
、
34
、
35
，它们的平方都有
4
个数字，
81+11=92，所以第
92
个位置上是
34
2
=1156
的第三个数 字
5.
模块二、偶指奇因
性质
3
：自然数< br>N
为完全平方数
自然数
N
因数的个数为奇数；
< br>性质
4
：自然数
N
为完全平方数
自然数
N
的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶次。特别地，因
数个数为
3
的自 然数是质数的平方。
例
3
．
240
乘一个非零自然数a
，或者除以一个非零自然数
b
，结果都是一个完全平方数，那么
a的最小值
是；
b
的最小值是。
解：
240=2
4
×
3×
5
，乘
a
是一个完全平方数，
a
的最小值是
3×
5=15
，
同样
240÷
15
也是一个完全平方数，
b
的最小值是
15.
例
4
．
（
1
）从
1
到
100
这
10 0
个自然数中，有奇数个因数的自然数有；
（
2
）从
1< br>到
100
这
100
个自然数中，有且仅有
3
个因数的 自然数有；
解：
（
1
）
1
到
100有奇数个因数的有
1
、
4
、
9
、
16
、
25
、
36
、
49
、
64
、
8 1
、
100
，共
10
个；
（
2
）
1
到
100
这
100
个自然数中，有且仅有
3< br>个因数的自然数有
4
、
9
、
25
、
49，共
4
个。