代数式知识点、经典例题、习题及答案
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2021年02月01日 07:07
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1.2
代数式
【考纲说明】
1
、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。
2
、用代数式表示实际问题中的数量关系，求代数式的值。
【知识梳理】
1
、
代数式：指含有字母的数学表达式。
2
、
一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。单个字母或数字也是代数式。
3
、
代数式的值：
一般地，
用数值代替代数式
里 的字母，
计算后所得的结果叫做代数式的值。
4
、用字母表示数的规范格式：
（
1
）
、数和表 示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，或用
“.”
来代替。
（
2
）
、
当数和字母相乘，
省略乘号时，
要把数字写到前面，
字母写后面。
如：
100a
或
100•a，
na
或
n•a
。
（
3
）
、后面接单位的相加式子要用括号括起来。如：
（
5s
）时
（
4
）
、
除法运算写成分数形式
。
（
5
）
、
带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式。
5
、列代数式时要注意：
（
1
）语言叙述中关键词的意义 ，如“大”
“小”
“增加”
“减少”
。
“倍”
“几分
之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。
（
2
）要理清运算顺序和正确使用括号，以防出现颠倒等错误，例如“积的和”与“和的积”“平方差”
“差的平方”等等。
（
3
）在同一问题中，不同的数量必须用不
同的字母表示。
【经典例题】
【例
1
】
（
2012
重庆，
9
，
4
分）
下列图形都是由同样大小的五角 星按一定的规律组成。其中
第①个图形一共有
2
个五角星，第②个图形一共有
8
个五角星，第③个图形一共有
18
个五
角星，…，则第⑥个图形中的五角星 的个数为（
）
【解析】仔细观察图形的 特点，它们都是轴对称图形，每一行的个数都是偶数，分别是
2
，
4
，
6
，…，
6,4,2
，故第⑥个图形中五角星的个数为
2+4+6+8+1 0+12+10+8+6+4+2=72
。
答案：
D
【例
2
】
（
2011
甘肃兰州，
20
，
4
分 ）
如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，
再依次连接菱形各边的中点得到第二个 矩形，
按照此方法继续下去，
已知第一个矩形的面积
为
1
，则第n
个矩形的面积为
.
【解析】 由中点四边形的性质可知，每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的
后一个矩形的面积是前一个矩形 的
1
，故
2
1
，所以第
n
个矩形的面积是第一个矩 形面积的
4
2
n
2
1
< br>
4
n
1
1
< br>
2
2
n
2< br>
1
，已知第一个矩形面积为
1
，则第
n
个矩形的面积为
2
。
【例
3
】按一定规律排列的一列数依次为
是
。
1
1
1
1
1
1
,
,
,
,
,
,
…，按此规律，第
7
个数
23
10
15
26
35
【解析】先观察分子：都是
1；再观察分母：
2,3,10,15,26
，…与一些平方数
1,4,9,16< br>，…都
差
1,2=1
+1
，
3=
2
-1，
10=
3
+1
，
15=
4
-1
，< br>26=
5
+1
，…，这样第
7
个数为
答案：
2
2
2
2
2
1
1
。
2
7
1
50
1
50
1
1
a
2
ab
b
的值为（
）
4
，则
a
b
2
a
2
b
7
a b
2
2
A
．
6
B
．
--6
C
．
D
．
7
15
1
1
b
a
【解析】由已知
4
，得
4，
a
b
ab
【例
4
】已知：
b
a
4
ab
,
a
b< br>
4
ab
,
∴
答案：
A a
2
ab
b
(
a
b< br>)
2
ab
4
ab
2
ab
6.
2
a
2b
7
ab
2(
a
b
)
7
ab
8
ab
7
ab
【课堂 练习】
1
1
,
a
n
（
n为不
2
1
a
n
1
1
、< br>（
2012
湖北武汉，
9
，
3
分）
一列数< br>a1
，
a2
，
a3
，…，其中
a1=
小于< br>2
的整数）
，则
a
4
（
）
A
．
5
8
13
8
B.
C.
D.
8
5
8
13
2
2
2
、
（
2012
四川宜宾，< br>5
，
3
分）
将代数式
x
6
x
2
化成（
x
p
)
q
的 形式为（
）
3
、
（< br>2012
安徽
5
，
4
分）
某企业今年
3月份产值为
a
万元，
4
月份比
3
月份减少了
1 0%
，
5
月份比
4
月份增加了
15%
，则
5
月份的产值是（
）
4
、
（
2012
浙江丽水，
10
，
3
分 ）
小明用棋子摆放图形来研究数的规律。图
1
中棋子围成
三角形，其颗数为< br>3,6,9,12
，…称为三角形数，类似的，图
2
中的
4,8,12 ,16
…称为正方
形数。下列数中既是三角形数也是正方形数的是（
）
A
．
2010
B. 2012
C. 2014
D. 2016
5
、
（
2012
四川成都，
21
，
4
分 ）
已知当
x=1
时，
2
ax
bx
的值为
3
，则当
x
2
时，
ax
bx
的值为
。
6
、
（
2012
河北，
1 7
，
3
分）
某数学活动小组的
20
位同学站成一列做报数游 戏，规则是：从
前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加
1
，第1
位同学报
1
，
2
2
1
1
1
1
第
2
位同学报
1
< br>，
第
3
位同学报
1
…这样得 到的
20
个数的积为
。
2
3
7
、
（
2012
辽宁沈阳，
15
，
4
分）
有一组多项式：
a
b
,
a
b
,
a
b,
a
b
，…，请
观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第
10
个多项式为
。
8
、
（
2012
山西，
16
，
3
分）
如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的 一组有规
律的图案，
则第
n
个图案中阴影小三角形的个数是
（
用含
n
的代数式表示）
。
2
2
4
3
6
4
8
9
、
（
2012
河北，
18
，
3
分）
用
4
个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条
公共边，
围成一圈后中 间形成一个正方形，
如图①，
用
n
个全等的正六边形按这种方式拼接，
如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则
n
的值为
。
10
、
（
2012
山东潍坊，17
，
3
分）
图中每一个小方格的面积为
1
，则可根据 面积计算得到如
下算式：
1+3+5+7
+
…
+
（
2n-1
）
=
。
（用
n
表示，
n
是正整数）
11
、
（
2012
浙江宁波，
20
，< br>6
分）
用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（
1
）
、第
5
个图形有多少颗黑色棋子？
（
2
）
、第几个图形有
2013
颗黑色棋子？请说明理由。
1 2
、
（
2012
湖南益阳，
19
，
10
分 ）
观察图形，解答问题：
（
1
）按下表已填写的形式填写表中的空格：
（
2
）请用你发现的规律求出图④中的数
y
和图⑤中的数
x
。