华师大版八年级数学上册知识点总结知识讲解
余年寄山水
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2021年02月01日 07:10
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八年级数学上册复习提纲
第
11
章
数的开方
§
11.1
平方根与立方根
一、平方根
1、平方根的定义：如果一个数的平方等于
a
，那么这个数叫做
a
的平方根 。
（也叫做二次方根）
即：若
x
2
=
a
，则
x
叫做
a
的平方根。
2
、平方根的性质：< br>（
1
）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；
（
2
）零< br>的平方根是零；
（
3
）负数没有平方根。
二、算术平方根
1
、算术平方根的定义：正数
a
的正的平 方根，叫做
a
的算术平方根。
2
、算术平方根的性质：
（
1
）一个正数的算术平方根只有一个且为正；
（
2
）
零的算 术平方根是零；
（
3
）负数没有算术平方根；
（
4
）算术平 方根的非负性：
a
≥
0
。
三、平方根和算术平方根是记号 ：平方根±
a
（读作：正负根号
a
）
；算术
平方根
a
（读作根号
a
）
即：
“±
a
”表示< br>a
的平方根，或者表示求
a
的平方根；
“
a
”表示< br>a
的算
术平方根，或者表示求
a
的算术平方根。
其 中
a
叫做被开方数。
∵负数没有平方根，
∴被开方数
a
必须 为非负数，
即：
a
≥
0
。
四、开平方：求一个非 负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已
知指数和二次幂求底数的运算。
五、立方根
1
、立方根的定义：如果一个数的立方等于
a
，那么这个数叫做
a
的立方根。
（也叫做三次方根）
即：若
x
3
=
a
，则
x
叫做
a
的立方根。
2
、立方根的性质：
（
1
）一个正数的立方根为正；
（
2
）一个负数的立方根为
负；
（
3
）零的立方根是零。< br>
3
、立方根的记号：
3
a
（读作：三次根号
a）
，
a
称为被开方数，
“
3
”称为根
指数。< br>
3
a
中的被开方数
a
的取值范围是：
a
为 全体实数。
六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指
数和三次幂求底数的运算。
七、注意事项：
1
、
“±
a
”
、
“
a
”
、
“
3
a
”的实质意义：
“±
a
”→问：哪个数的平方是
a
；
“
a
”→问：哪个非负数的平方是
a
；
“
3
a< br>”→问：哪个数的立方是
a
。
2
、注意
a
和
3
a
中的
a
的取值范围的应用。
如：若
x
3
有意义，则
x
取值范围是
。
（∵
x
-3
≥
0
，∴
x
≥3
）
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（填：
x
≥
3
）
若
3
x
2009
有意义，则
x
取值范围是
。
（填：全体实数）
3
、
3
a
3
a
。如：∵
3
27
3
，
3
27
3
，∴3
27
3
27
4
、 对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越
大。
如：10
7
6
5
2
等。
2
3
和
3
2
怎么比较大小？
（你知道吗？不知道就问！
！
！
！
！
！
！
）
5
、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数
平方根”作参照。< br>
如：确定
7
的取值范围。∵
4
＜
7
＜9
，∴
2
＜
7
＜
3
。
6< br>、
几个常见的算数平方根的值：
2
1
.
414，
3
1
.
732
，
5
2
.
236
，
6
2
.
449
，< br>7
2
.
646
。
八、补充的二次根式的部分内容
1
、二次根式的定义：形如
a
（
a
≥
0
）的式子，叫做二次根式。
2
、二次根式的性质：
(1)
ab
a
b
（a
≥
0
，
b
≥
0
）
；
(2)
a
b
a
b
（
a
≥
0
，
b
＞
0
）
；
(3)
(
a)
2
a
（
a
≥
0
）
； (4)
a
2
|
a
|
3
、二次根式的乘除法：
（
1
）乘法：
a
b
ab
（
a
≥
0
，
b
≥0
）
；
（
2
）除法：
a
b
a
（
a
≥
0
，
b
＞
0
）
b
§
11.2
实数与数轴
一、无理数
1
、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。
2
、常见的无理数：
7
1
，
6
2
，
3
5
2
等。
（1
）开方开不尽的数。如：
10
，
7
，
6
，< br>5
，
2
，
2
10
，
（
2
）
“
”类的数。如：
，
，
，
，
2
等。
（
3
）无限不 循环小数。如：
2.1010010001
……，
-0.234242242224< br>……，等
二、实数
1
、实数定义：有理数与无理数统称为实数。
2
、与实数有关的概念：
（
1
）相反数：实数
a
的相反数为
-
a
。若实数
a
、
b
互为相反 数，则
a+b
=0
。
（
2
）倒
数：非零实数
a
的倒数为
（
a
≠
0
）
。若实数
a
、
b
互为倒数，则
1
a
3< br>1
ab
=1
。
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a
(
a
0
)
（
3
）绝对值： 实数
a
的绝对值为：
|
a
|
0
(
a
0
)
a
(
a
0
)
3
、实数的运算：有理数的所有运算法则及运 算律均适用于实数的运算。
4
、实数的分类：
（
1
）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。
（
2
）按照定义分为：
5
、几个“非负数”
：
（
1
）
a
2
≥
0
；
（
2
）
|
a|
≥
0
；
（
3
）
a
≥
0
。
6
、实数与数轴上的点是一一对应关系。
第
12
章
整式的乘除
§
12.1
幂的运算
一、同底数幂的乘法
1< br>、法则：
a
m
·
a
n
·
a
p
·
……
=
a
m+n+p+
……
（
m
、< br>n
、
p
……
均为正整数）
文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2
、注意事项：
（
1
）
a
可以是实数，也可以是代数式等。
如：
2
·
3
·
4
=
2+3+4
=
9
；
(-2)
2
·
(-2)
3
=(-2)
2+3
=(-2)
5
=-2
5
；
(
2
)
3
·
(
2
)
4
=(
2
)
3+4
=(
2
)
7
；
(
a+b
)
3
·
(
a+b
)
4
·
(
a+b
)= (
a+b
)
3+4+1
=(
a+b
)
8
（
2
）一定要“同底数幂”
“相乘”时，才能把指数相加。
（
3
）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。
二、幂的乘方
1
、法则：
(
a
m
)n
=
a
mn
（
m
、
n
均为正整数）< br>。推广：
｛
[(
a
m
)
n
]
p｝
s
=
a
mn p s
文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
2
、注意事项：
（
1
）
a
可以是实数，也可以是代数式等。
如：
(
2
)
3
=
2
×
3
=
6
；
[(
2
)
3
]
4
=(
2
)
3
×
4
=(
2
)12
；
[(
a-b
)
2
]
4
= (< br>a-b
)
2
×
4
=(
a-b
)
8
（
2
）运用时注意符号的变化。
（
3
）注意该法则的逆应用，即：
a
mn
= (
a
m
)
n
，如：
a
15
= (
a
3
)
5
= (
a
5
)
3
三、积的乘方
1
、法则：
(
ab
)
n
=
a
n
b
n
（
n
为正整数）
。推广：
(
acde
)
n
=
a
n
c
n
d
n
e
n
文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。
2
、注意事项：
（
1
）
a
、
b
可以是实数，也可以是代数式等。
如：
(2
)
3
=2
2
2
=4
2
；
(2
×
3
)
2
=(
2
)
2
×< br>(
3
)
2
=2
×
3=6
；
(-2
abc
)
3
=(-2)
3
a
3
b
3
c
3
=
-
8
a
3
b
3
c
3
；
[(
a
+
b
)(
a
-
b
)]
2
=(
a
+
b
)
2< br>(
a
-
b
)
2
（
2
）运用时注意符号的变化。
（
3
）注意该法 则的逆应用，即：
a
n
b
n
=(
ab
)
n
；如：
2
3
×
3
3
= (2
×
3)
3
=6
3
，
(
x
+
y
)2
(
x
-
y
)
2
=[(
x
+
y
)(
x
-
y
)]
2
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四、同底数幂的除法
< br>1
、法则：
a
m
÷
a
n
=
a
m-n
（
m
、
n
均为正整数，
m
＞
n< br>，
a
≠
0
）
文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2
、注意事项：
（
1
）
a
可以是实数，也可以是代数式等。
如：
4
÷
3
=
4-3
=
；
(-2)
5
÷
(-2)
3
=(-2)
5-3
=(-2)
2
=4
；
(
2
)< br>6
÷
(
2
)
4
=(
2
)
6 -4
=(
2
)
2
=2
；
(
a+b
)
16
÷
(
a+b
)
14
= (
a+b< br>)
16-14
=(
a+b
)
2
=
a
2
+
2
ab +b
2
（
2
）注意
a
≠
0
这个条件。
（
3
）
注意该法则的逆应用，
即：
a
m-n
=
a
m
÷
a
n
；
如：
a
x-y
=
a
x
÷
a
y
，
(
x
+
y
)
2a-3
=(
x
+
y
)
2a
÷
(
x
+
y
)
3
§
12.2
整式的乘法
一、单项式与单项式相乘
法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘 ，相同字母的幂
相乘，多余的字母照搬到最后结果中。
如：
(-5
a
2
b
2
)
·
(-4
b
2c
)
·
(-
ab
)=[(-5)
×
(-4)< br>×
(-
)]
·
(
a
2
·
a
)
·
(
b
2
·
b
2
)
·
c
=-30
a
3
b
4
c
二、单项式与多项式相乘
法则：
（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多 项式的每一项，再将所得
的积相加。
如：
(
3
x
2
)(
x
2
2
x
1)
(-3
x
2
)
·
(-
x
2
)+(-3
x
2
)
·
2
x
一
(-3
x
2
)
·
1=
3
x
4
6
x
3
3
x
2
三、多项式与多项式相乘
法则：
（
1
）将一个多项式中的 每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将
所得的积相加。
如：
(
m+n
)(
a
+
b
)=
ma+mb+na
+
nb
(2)
把其中一个多项式看 成一个整体（单项式）
，去乘以另一个多项式的
每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续 相乘，最后将所得的积相加。
如：
(
m+n
)(
a
+
b
)=
(
m+ n
)
a+
(
m
+
n
)
b
=
ma+ na+mb
+
nb
§
12.3
乘法公式
一、两数和乘以这两数的差
1
、公式：
(
a+b
)(
a-b
)=
a
2
-
b
2
；名称：平方 差公式。
2
、注意事项：
（
1
）
a
、< br>b
可以是实数，也可以是代数式等。
如：
(10+9)(10-9) =10
2
-9
2
=100-81=19
；
(2
xy +a
)(2
xy-a
)=(2
xy
)
2
-
a
2
=4
x
2
y
2
-
a
2
；
(
a+b+
)(
a+b -
)=(2
xy
)
2
-
a
2
=4
x
2
y
2
-
a
2
；
（
2
）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才
能用平方差公式。
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3
2
3
2
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（
3
）注意公式的来源还是“多项式×多项式”
。
二、完全平方公式
1
、公式：
(
a
±
b
)
2
=
a
2
±
2
a b+b
2
；名称：完全平方公式。
2
、注意事项：
（1
）
a
、
b
可以是实数，也可以是代数式等。
如：
(
2
+3)
2
=(
2
)
2
+2
×
2
×
3+3
2
=2+6
2
+9=1 1+6
2
；
(
mn-a
)
2
=(
mn
)
2
-2
mn
·
a+
a
2
=
m
2
n
2
-2
mna+ a
2
；
(
a+b -
)
2
=(
a+b
)
2
-2(
a+b
)
+
2
=
a
2
+2
a b+b
2
-2
a
-
b
+
2
；
（
2
）注意公式运用时的对位“套用”
；
（
3
）注意公式中“中间的乘积项的符号”
。
3
、补充公式：
(
a+ b+ c
)
2
=
a
2
+c
2
+b
2
+2
a b+
2
bc+
2
ca
特别提醒：利用乘法公式进行整式的 运算时注意“思维顺序”是：
“一看二
套三计算”
。
§
12.4
整式的除法
一、单项式除以单项式
法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只
在被除式中出现的字母，则 连同它的指数一起作为商的一个因式。
如：
-21
a
2
b
3
c
÷
3
ab
=(-21
÷
3)
·
a
2-1
·
b
3-1
·
c
=-7
ab
2
c
（
2x
2
y
）
3
·
（
-7xy
2
）
÷
14x
4
y
3
=8x
6
y
3
·
（
-7x y
2
）
÷
14x
4
y
3
=[8
×
（
-7
）
]
·
x
6+1
y
3+2
÷
14x
4
y
3
=
（
-56< br>÷
14
）
·
x
7-4
·
y
5-3< br>=-4x
3
y
2
4
2
4-2
5< br>（
2a+b
）
÷
（
2a+b
）
=
（
5
÷
1
）
（
2a+b
）
=5
（< br>2a+bz
2
=5
（
4a
2
+4ab+b
2
）
=20a
2
+20ab+5b
2
二、多项式除以单项式
法则：
（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去 除以单项式，再将所得
的商相加。
如：
(21x
4
y3
-35x
3
y
2
+7x
2
y
2)÷(
-7x
2
y)=21x
4
y
3
÷
(-7x
2
y)-35x
3
y
2
÷
(-7x2
y)+ 7x
2
y
2
÷
(-7x
2
y)=-3x
2
y
2
+5xy-y
[4y(2x-y)-2x(2x-y)]
÷
(2x-y)= 4y(2x-y)÷
(2x-y)-2x(2x-y)]
÷
(2x-y)=4y-2x
◇整式的运算顺序：先乘方（开方）
，再乘除，最后加减，括号优先。
§
12.5
因式分解
一、因式分解的定义：把一个多项式化为几 个整式的积的形式，叫做因式分
解。
（分解因式）
因式分解与整式乘法互为逆运算
二、提取公因式法：把一个多项式的公因 式提取出来，使多项式化为两个因
式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
△公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。
△具体步骤：（
1
）
“看”
。观察各项是否有公因式；
（
2
）
“隔”
。把每项的公因
只供学习与交流