前n个自然数的平方和及证明
巡山小妖精
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2021年02月01日 07:20
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小学手抄报-留守孩子
帕斯卡与前
n
个自然数的平方和
十七世纪的法国数学家帕斯卡（
Pa scal
B.
，
1623.6.19~1662.8.19
）想出了一个新 的很妙的方法能求
出前
n
个自然数的平方和。这个方法是这样的：
利用和的立方公式，我们有
（
n
＋
1
）
3
＝
n
3
＋
3n
2
＋
3n
＋1
，
移项可得
（
n
＋
1
）
3
－
n
3
＝
3n
2
＋
3n
＋
1
，
此式对于任何自然数
n
都成立。
依次把
n
＝1,2
，
3
，…，
n
－
1
，
n
代入上式可得
2
3
－
1
3
＝
3
•
1
2
＋
3
•
1
＋
1
，
3
3
－
2
3
＝
3
•
2
2
＋
3
•
2
＋
1
，
4
3
－
3
3
＝
3
•
3
2
＋
3
•
3
＋
1
，
……………………………
n
3
－（
n
－
1
）
3
＝
3
（
n
－
1
）
2
＋
3
（
n
－
1
）＋
1
，
（
n
＋
1
）
3
－
n
3
＝
3n
2
＋
3n
＋
1
，
< br>把这
n
个等式的左边与右边对应相加，则
n
个等式的左边各项两两相消 ，最后只剩下（
n
＋
1
）
3
－
1
；而
n
个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算 的前
n
个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前
n
个自然数 的和，第三列是
n
个
1
。因而我
们得到
（
n
＋
1
）
3
－
1
＝
3S
n
＋
3
n
(
n
1
)
＋
n
，
2
现在这里
S
n
＝< br>1
2
＋
2
2
＋…＋
n
2
。
对这个结果进行恒等变形可得
n
3
＋
3n
2＋
3n
＝
3S
n
＋
3
n
(
n
1
)
＋
n
，
2
2n
3
＋
6n
2
＋
6n
＝
6S
n
＋< br>3n
2
＋
3n
＋
2n
移项、合并同类项可得
6S
n
＝
2n
3
＋
3n
2
＋
n
＝
n
（
n
＋
1
）
（
2n
＋
1
）
，
∴
S
n
＝
即
1
2
＋
2
2
＋
3
2
＋…＋
n
2
＝
1
n
（
n
＋
1
）
（
2n
＋
1）
，
6
1
n
（
n
＋
1）
（
2n
＋
1
）
。
6
这个 方法把所要计算的前
n
个自然数的平方和与已知的前
n
个自然数的和及其它一 些已知量通过一个方
程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。