教师日记-安全征文

2021年2月1日发(作者：叼蛮俏御医)
第十三章

实数

平方根

教学过程

一、

情境导入

1.
你能求出下列各数的平方吗
?
1
1
0,-1,5,2.3,-
,-3,3,1,

5
5
2
、请 同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小
欧很高兴，他想裁出一块面积为< br>25
dm
2
的正方形画布，画上自己的得意之作参加
比赛，这块正方形 画布的边长应取多少
dm
？如果这块画布的面积是
12
dm
2
？这个
问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？

这就要用到平方根 的概念，也就是本章的主要学习内容．这节课我们先学习
有关算术平方根的概念．

二、新知探究：

1
、揭示概念

（
1
）提出问题：
（教材
68
页的问题）

你是怎样算出画框的边长等于
5dm
的呢？（学生思考并交流解法）

这个问题相当于在等式
x
2
=25
中求出正数
x
的值。< br>
填表

正方形的
面积

边长

1

9

16

36

0.25

上面的问题，实际上就是已知一个正数的平方，求这个正数的问题

（
2
）小结

一般地，
如果一个正数
x
的 平方等于
a
，
即
x
2
=a
，
那么这个正数
x
叫做
a
的算
术平方根．
a
的算术平方根记为a
，读作“根号
a
”
，
a
叫做被开方数．

规定：
0
的算术平方根是
0.
也就是，在等式
x
2
=a (x
≥
0)
中，规定
x =
a
.
（
3
）

试一试：

你能根据等式：
12
2
=144
说出
144
的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．

2
、新知应用

（
1
）

想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？


11
2 5
0
0
.
81
1
25
（
2
）讲解 例题

例
1
求下列各数的算术平方根：

49

（
1
）
100
；
(2)1
；
(3)
；
(4)0.0001
（
5
）
3
2

64
思考：

负数有算术平方根吗？（任何实数的平方都是非负数，所以被开方数都是非
负数，即

负数没有算术平方根。
）


小结：

对于
a
：①
a
≥
0
②

a
≥
0
即算术平方根的双重非负性

（
3
）反馈练习

下列各式中，哪些有意义？那些无意义？为什么？

－
5

2
5

5
（

3
）
3
、拓展提升

（
1
）
81
的算术平方根是

。

（
2
）
81

的值是

。

（
3
）

81

的算术平方根是

。

三、总结

1
、这节课学习了什么呢？

2
、算术平方根的具体意义是怎么样的？

3
、怎样求一个正数的算术平方根

四、巩固练习

1
、
P69
练习
1
、
2
2
、备选题

(1)
双基练习

1.某数的算术平方根等于它本身
,
则这个数为
_______;•
若某数的 算术平
方根为其相反数
,
则这个数为
______.
2.
求下列各式的值
:
11
,
(

3)
2
,
0.25
,
10

2

25
3.3x-4
为
25
的算术平方根
,
求
x
的值
.
4.< br>已知
9
的算术平方根为
a,b
的绝对值为
4,
求a-b
的值
.
(2)
创新提升

5 .
已知
2a-1
的算术平方根是
3,3a+b-1
的算术平方根是< br>4,
求
a
、
b
的值
.
(3)
探究拓展

0.16
,
1
6.
若< br>x

4
与
4

y
互为相反数
,求
xy
的算术平方根
.
六、作业布置：

P75习题
13.1
第
1
、
2
、题





课题：用计算器求算术平方根

一、情境导入

我们已经知道：正数
x
满足
x
2< br>=a,
则称
x
是
a
的算术平方根．当
a
恰是 一个数
的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如，
16
=4
；但 当
a
不是一
个数的平方数时，它的算术平方根又该怎祥求呢？例如课本第
69
页的大正方形的
边长
2
等于多少呢？

二、探究新知

1
、探究
1
：
2
究竟有多大？

怎样用两 个面积为
1
的小正方形拼成一个面积为
2
的大正方形？

方法
1
：课本中的方法，略；

方法
2
：


可还有其他方法，鼓励学生探究。

问题：这个大正方形的边长应该是多少呢？

大正方形的边长是
2
， 表示
2
的算术平方根，它到底是个多大的数？你能求
出它的值吗？

建议学生观察图形感受
2
的大小．小正方形的对角线的长是多少呢？

让学生思考讨论并估计大概有多大
.
由直观可知道大于
1
而小于
2
，
那么
2
是
1
点几呢？（接下来由试验可得到平方数最接近
2
的
1
位小数是
1.4
，而平方数大
于
2
且最接近的
1
位小数是
1.5
，
2
大于
1 .4
而小于
1.5
…
...
关于
2
是一个“无限 不循环小数”要向学生详细说明．为无理数的概念的提
出打下基础．

交流：你对正数
a
的算术平方根
a
的结果有怎样的认识呢？

a
的结果有两种情况：当
a
是完全平方数时，
a
是一个有限 数；当
a
不是
一个完全平方数时，
a
是一个无限不循环小数。

2
、用计算器求算术平方根


例
1
用计算器求下列各式的值：
（
P71
）


（
1
）
3136
（
2
）
2
（精确到
0.001
）

注意计算器的用法，指出计算器上显示的也只是近似值，但我们可以利 用计
算器方便地求出一个正数的算术平方根的近似值．

3
、探究
2
：
:
被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规
律
.
例
2:
(1)
求下列各数的算术平方根
.
0.000001,0.0001,0.01,1,100,10000,1000000
(2)
利用计算器计算下列各式的值
:

0.0625
0.625
6.25

62.5

625

6250

62500
……

你能找到其中的规律吗
?
把你的发现用自己的语言叙述出来
,
并利用 你的发现
说出
0.03
、
300
、
30000
的近 似值
(
已知
3
≈
1.732),
你能根据
3
的值确定
30

的值吗
?

解
:(1)
∵
0.001
2
=0.000001
∴
0.000001
=0.001
依次可得出
0.0001
=0. 01,
0.01
=0.1,
1
=1,
100
=10,
10000
=100,
1000000
=1000
从中发现被开方数在逐渐扩大
,
并且每次扩大
100
倍
,•其算术平方根也在
逐渐扩大
,
但只扩大
10
倍
,
于是猜测两个正数之间如果满足
b=100a,
则有
b
=10
a< br>,(
或者
:•
被开方数每扩大
100
倍时
,
其算术平方根相应地扩大
10
倍
)
(2)
0.0625
=0.25
0.625
≈
0.79057
6.25
≈
7.9057
62.5
≈
7.9057
625
=25
6250
≈
79.057
6250
=250
62500
≈
790.57
比 较相应的两列数中的被开方数及其算术平方根
,
同样可验证在题
(1)
中的规
律
,
而
0.0625
与
0.625
中的数开方数只 扩大了
10
倍
,
它们的算术平方根之间没有
规律可循
.•< br>故若已知
3
≈
1.732,
可知
0.03
≈
0.1732,
300
≈
17.32,
30000
≈
173.2,
但不能知
30
的值
.
规律：被开方数的小数点向左（向右）移动两位，平方根的小数点相应的向
左（向右）移动一位 。

(
一
)
双基练习

1.

用计算器求出下列各式的值
.
8955

12345
-
260

0.00537

3

1
1
与
的大小
.
2
2
3.
在物理学中
,
用电器中的电阻
R
与电流
I,
功率
P•
之间有如下的一个关系
2.
用计算 器比较
式
:•P=I
2
R,,
现有一用电器
,
电阻 为
18
欧
,
该用电器功率为
2400
瓦
,
求通过用电器的
电流
I.
4.
用边长为
5cm
的正方形 纸片两张重新剪开并拼接成一个较大的正方形
,
其
边长约为多少
?(
精确到
0.01cm)













课题：平方根

教学过程

一、

情境导入

1
、复习算术平方根的定义和性质

2
、提出问题

（
1
）什么数的平方是
49
？

（
2
）平方得
81
的数有几个？分别是什么？

（
3
）一对互为相反数的平方有什么关系？

二、新知探究

1
、揭示平方根与开平方的概念：

问题：如果一个数的平方等于
9
，这个数是多少？

小结：
如果一个数的平方等于
a
，
那么这个数就叫做
a
的平方根．
即：
如果
x
2
=a
，
那么
x
叫做
a
的平方根．
a
的平方根记作±
a
（
a
≥
0
）

求一个数的平方根的运算，叫做开平方．

例如：

3
的平方等于
9
，
9
的平方根是

3，所以平方与开平方互为逆运算．

观察：课本
P73
的图
13.1-2.
图
13.1-2< br>中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开
平方运算的本质．并根据这个关 系说出
1,4,9
的平方根．

2
、开平方运算


例
1
求下列各数的平方根。
（注意书写格式）

9
（
1
）
100
（
2
）


（
3
）
0.25
16

例
2:
求下列各式的值

(1)
1.44
(2)-
81
(3)
±
9

100
3
、一个数的平方根的特征

（
1
）合作交流

按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：

正数的平方根有什么特点？
0
的平方根是多少？负数有平方根吗？

（
2
）归纳

一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的 平方根就是这个数的
算术平方根；

0
的平方根是它本身；

负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，


引人符号：正数
a
的算术平方根可用
a
表示；正数
a
的平方根可用

a
表
示
,
正数
a
的负的平方根可用
-< br>a
表示．

（
3
）练习

下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。

2
（

3
）
-64
，
0
，


，
0.4
，
16

，
5
，
49,



3
,




3

,




5


4
4
、平方根与算术平方根的联系与区别

平方根和算术平方根两者 既有区别又有联系．
区别在于正数的平方根有两个，
而它的算术平方根只有一个；联系在于正数 的负平方根是它的算术平方根的相反
数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。

4
、拓展提升

（
1
）填空

5
2
2
2
（
）
（
13
）
（
3
.
5
）
=
，
=
，
=
。

6
2
（
a
）
归纳：对于正数
a
，
=
。

（
2
）试求出下列各式中的未知数
x
的值。

2

x
2
=9

⑵
x
2

81

0

⑶
4
x
2

49

（
x

1
）

25

三、总结：

1
、什么叫做一个数的平方根？

2
、一个数的平方根有什么特征？

3
、怎样求出一个非负数的平方根？非负数
a
的平方根怎样表示？

四、巩固练习

1
、课本
P75
练习
1
、
2
、
3
2
、
P75
习题
13.1
第
2
、
4
、题

3
、备选题

(
一
)
双基练习

1
、判断下列说法是否正确

⑴
5
是
25
的算术平方根

（

）

5
25
⑵
是
的一个平方根

（

）

6
36
⑶

4

的平方根是－
4
（

）

⑷
0
的平方根与算术平方根都是
0
（

）

2
、

16
的值为多少
?16
的平方根为多少
?
16
的平方根呢
?
3
、如果一个正数的一个平方根为
4,
则另一个平方根为多少
? < br>4
、有一长方形花坛
,
长是宽的
4
倍
,
其面 积为
25m
2
,
求长和宽
.
5
、若
x< br>
7
，则
x

_____
，
x
的平 方根是
_
_
_
_
_

6
、
99
3
3
81
的平方根是
（

）
A.

B.
C.

D.

4
2
4
2
16
2
2
4

2

7
、给出下列各数：
49,




,

0,


4,



3
,




3

,




5

，其中有平

3

方根的数共有（

）

A. 3
个
B. 4
个
C. 5
个
D. 6
个

8
、若一个数a
的平方根等于它本身，数
b
的算术平方根也等于它本身，试求
a

b
的平方根。

9
、求下列各数中的
x
值

⑴
x
2

25

⑵
x
2

81

0

⑶
4
x
2

49

⑷
25
x
2

36

0

10
、如果一个正数的两个平方根为
a

1
和
2
a

7
，请你求出这个正数

若
x

7< br>，则
x

_____
，
x
的平方根是
__
_
_
_

11
、若一个数
a
的平方 根等于它本身，数
b
的算术平方根也等于它本身，试
求
a

b
的平方根。

(
三
)
探究拓展


若
35
的整数部分为
a,
小数部分为
b,
求
a
、
b
的值
.
∵
25
<
35
<
36

∴
5<
35
<6
∴
35

的整数部 分为
5,
小数部分为
35
-5,
即
a=5,b=
3 5
-5

课题：

平方根

课型：复习课

教学过程

一、重难点突破

知识点一

算术平方根

1
、
a
具有双 重非负性：
（
1
）被开方数非负；算数平方根
a
本身是非负数。
2
、在求一个非负数的平方根时，如果被开方数不能开尽，则用
a
的形 式表
示。

知识点二

平方根

1
、 正数有两个平方根，它们互为相反数；
0
的平方根是
0
；负数没有平方根。< br>
2
、平方根与算术平方根的联系与区别。

联系：

①具有包含关系：平方根包含算术平方根

②存在的条件相同：都是只有非负数才有

③
0
的平方根，算术平方根都是
0.
区别：

①定义不同：

②个数不同：

③表示方法不同：正数
a< br>的平方根表示为±
a
，正数
a
的算术平方根表示为
a
。

二、典型例题分析

题型
1
求字母的取值范围

例
1
（
1
）若
x< br>
2
有意义，求
x
的取值范围。

（
2）若
2
x

5
没有意义，求
x
的取值范围。< br>
例
2
已知
x

5
+
y

1
=0
，求
2x+7y
的值。

题型
2
求一个数的平方根

例
3
求下列各数的平方根

（
1
）
324
（
2
）
(

7
)

（
3
）
(
2
a

3
b
)

（
4
）
16

题型
3
化简求值

例
4
求下列各式的值

（
1
）
225

（
2
）

0
.
64

（
3
）±
49

（
4
）
81
2
2
(

9
)
2

例
5
已知
2
x

6
有意义，化简∣
x-1
∣< br>-
∣
3-x
∣

题型
4
利用开平方法解方程

例
6
解方程

（
1
）
(
x

1
)
=36
（
2
）
(
x

2
)
-
2
2
49
=0
4
13.2
立方根

教学过程

一、

情境导入：

1
、复习
1-10
的立方

2
、
问题：
要制作一种容积为
27
m
3
的正方体形状的包装箱，
这种包装箱的边
长应该是多少？

设这种包装箱的边长为
x m,
则
x
3
=27
这就是求一个数，使它的立方等于
27.

因为
3
3
=27
，

所以
x=3.
即这种包装箱的边长应为
3 m
二、新知探究

1
、揭示概念

如果一个数的立方等于a
，这个数叫做
a
的立方根（也叫做三次方根）
，记作
3
a
，读作：
“三次根号
a
”
，其中
a
叫被开方数 ，
3
叫根指数，不能省略，若省略
表示平方。即如果
x
3

a
，那么
x
叫做
a
的立方根，记作
x=
3
a
。

例如：
3
27
表示
27
的 立方根，
3
27

3
；
3

27
表示

27
的立方根，
3

27

3
.
求一个数的立方根的运算叫开立方，开立方与立方互为逆运算。

2
、探究
1
：

（
1
）

根据立方根的意义填空，看看正数、
0
、负数的立方根各有什么特点？


因为
2
3

8
，所以
8
的立方根是（
2
）


因为

0.5


0.125
，所以
0.125
的立方根是（< br>
0.5

）

因为

0

0
，所以
0
的立方根是（
0
）

因为


2



8
，所以-8
的立方根是（


2

）

3
3
3
2
8
8

2

因为




，所以

的立方根是（



）

27
3
27

3

3

（
2
）小结

一个正数有一个正的立方根


0
有一个立方根，是它本身



一个负数有一个负的立方根

任何数都有唯一的立方根


（
3
）应用

例
1
求下列各数的立方根


①
27
②
-27
③
1
27

④
-
1

⑤
0
27

由本题可发现互为相反数的数的立方根也互为相反数。



（
4
）讨论：
你能归纳出平方根和立方根的异同点吗
?
被开方数

正数

负数

零

平方根

有两个
,
互为相反数

无平方根

零

立方根

有一个
,
是正数

有一个
,
是负数

零

3
、探究
2
：
3

a
与

3
a
的关系
(1)
填空：

因为
3

8
____,

3
8

____,
所以
3

8


3
8

因为
3
27

____,

3
27

__ __
，所以
3

27


3
27

(2)
小结：利用开立方和立方互为逆运算关系 ，求一个数的立方根，就可以利
用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数 的绝对
值的立方根，再取其相反数，即
3

a


3
a

a

0

。

4
、新知应用


例
2
求下列各式的值：

①

3
125

②

3
1000

③
3

1

④
3

0
.
001
+
0
.
01

1000
5
、拓展延伸

（
1
）一个数的平方等于
64
，那么这个数的立方根是

。

（
2
）若
3
7

m
＞
0
，则
m
的取值为

。

（
3
）要使
3
(
3

k
)
3
=3-k,
那么
k
的取值为

。

（
4
）
解下列方程

①
x
3

512

②
64
x
3

125

0

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