(完整版)平方根与立方根典型题
温柔似野鬼°
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2021年02月01日 07:30
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平方根
算术平方根
立方根三说
一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要
1.
平方根、算术平方根的概念与性质
如果一个数
x
的平方等于
a
（即
x
2
a
）
，
那么这个数
x
就叫做
a
的平方根
（或二次方根）
，
记作：
x
a
，这里
a
是
x
的平方数，故
a
必是一个非负数即
a
0
；例如
16
的平方根 是±
4
，从定义
还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 ；
0
的平方根只有一个
0
，即
为它本身。
正数< br>a
的正的平方根叫做
a
的算术平方根，
表示为
a
< br>a
0
，
例如
16
的算术平方根是
16
4
，
从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①
a
0
；②
a
0
。
2.
平方根、算术平方根的区别与联系
区别：①定义不同；
②个数不同；
③表示方法不同；
④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。
联系：①它们之间具有包含关系；
②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；
③
0
的平方根以及算术平方根均为
0
。
3.
立方根的定义与性质
如果一个数
x
的立方等于
a
（即
x
a
）
，
那么这个数
x
就叫做a
的立方根
（或三次方根）
，
记作：
3
x
< br>3
a
。
立方根的性质：正数的立方根是正数，
0
的 立方根是
0
，负数的立方根是负数。
二、解题中常见的错误剖析
第
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共
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页
例
1.
求
3
的平方根。
错解：
3
9
2
2
3
的平方根是
3
剖析：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而
3
9
是一个正数，故它的平方根应有
两个即±
3。
例
2.
求
9
的算术平方根。
2
2
2
错解：
3
9
9
的算术平方根是
3
剖析：
本题是没有搞清题目表达的 意义，错误的认为是求
9
的算术平方根，因而导致误解，事实
上本题
9
就是表示的
9
的算术平方根，而整个题目的意义是让求
9
的算术平方根的算 术平方根。
9
3
，
而
3
的 算术平方根为
3
，
故
9
的算术平方根应为
3
。仿此你能给出
64
的平方
根的结果吗？
三、典型例题的探索与解析
例
3.
已知：
M
的平方根。
分析：
由算术平方根及立 方根的意义可知
a
8
0
a
b
2
a
8
是
a
8
算数平方根，
N
2
a
b
4
b
3
是
b
3
立方根，求
M
N
a
b
2
2
2
a
b
4
3
1
2
联立
<1><2>
解方程组，得：
a
1
，
b
3
第
2
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页
代入已知条件得：M
9
，
N
3
0
所以< br>M
N
9
3
0
3< br>
0
3
故
M
＋
N
的平方根是±
3
。
例
4.
已知
x
2
y
3，
3
4
x
3
y
2，求
x
y
的算术平方根与立方根。
2
分析 ：
由已知得
x
2
y
3
9< br>
1
4
x
3
y
< br>
2
8
3
2< br>
联立
<1><2>
解方程组，得：
x
1
，
y
4
所以
x
y
5
因而
x
y
的算术平方根与立方根分别为
5
、
3
5
。< br>
例
5.
若一个正数
a
的两个平方根分别为x
1
和
x
3
，求
a
20 05
的值。
分析：
由平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，因而可构造方程
x
1
x
3
0
， 解得
x
2
从而
a
x
1
2
1
1
2
2
a
2005
1
评注：
本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出
a
，解法 可
谓简捷明了，令人耳目一新。事实上方程思想是初中阶段一种重要的数学思想方法，应引起同学们高度重视。
例
6.
比较
a
、
1
、
a
的大小。
a
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