距离2020年高考还有多少天-七仙女下凡

2021年2月1日发(作者：猫的训练)














专业

引领

共成长









正弦、
余弦函数的图像与性质

知识梳理




























正余弦函数的图像

正余弦函数的





















正余弦函数的值域和最值

图像和性质





















正余弦函数的其他性质

例题解析

一、
正余弦函数的图像

（一）知识精讲

1
、 正弦线：
设任意角

的终边与单位圆相交于点
P
(
x
,
y
)
，
过
P
作
x
轴的垂线
，
垂足为
M
，
则
有
sin


y< br>
MP
，
向线段
MP
叫做角

的正弦线.

r

2
、用单位圆中的正弦线作正弦函数
y

sin
x
，
x

[
0
,
2< br>
]
的图象（几何法）
：

P
2
P
1
y
1
P
1
’
P
2
’
y=sin x, x
∈
[0, 2
π
]

2
O
'M
2
M
1
O
-1
M
1
’
M< br>2
’
π
3

2
2
π

x


3
、用五点法作正弦函数的简图（描点法）
：

高一数学寒假课程

正弦、余弦函数的图像与性质（教师版）


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正弦函数
y

sin
x
，
x

[
0
,
2

]
的图象中，五个关键点是：


3

(
0
,
0
)

(
,
1
)

(

,
0
)

(
,

1
)

(
2

,
0
)

2
2
然后将这五点大致连线，画出正弦函数的图像。

4
、 正弦函数
y

sin
x
,
x

R
的图像：

把
y

sin
x
，
x

[
0
,
2

]
的图象，沿着
x
轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为
2

，
就得到
y< br>
sin
x
,
x

R
的图像，此曲线叫做正 弦曲线。


5
、余弦函数
y

cos
x
,
x

R
的图像：




（二）典型例题

【例
1
】画出下列函数在
[0,
2

]
上的图象，并且尝试说明函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图
像的 对称轴等相关结论

（
1
）
y

1
sin
x

（
2
）
y


cos
x
< br>（
3
）
y

3sin(
x

)
【难度】★

【答案】





1
2
π
4
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【例
2
】用五点作图法作函数
y

1

cos
x
在
[0,
2

]< br>上的图象

【难度】★

【答案】







【例
3
】已知函数
f
(
x
)

sin

x
的图像的一部分如下方左图，则 下方右图的图像所对应的解析式为
（

）


y





1

－
1










0





－
1







y




1
1





x




－
1









0





0.5


1
x




－
1










A
.
y

f
(
2
x

)




B
.
y

f
(
2
x

1
)




C
.
y

f
(
【难度】★

【答案】



1
2
x
x
1

1
)




D
.
y

f
(

)

2
2
2
【例
4
】正弦函数的定义域是
__________,
最大值是
____
，最小值是
____
，周期是
____,
递增区间是
_____________________
，递减区间是
__ ____________________
．

对称轴是
________ ______,
对称中心是
_____________
；

【难度】★

【答案】



【例
5】定义函数
f
(
x
)



sin< br>x
,

sin
x

cos
x
，根据函数的图像与性质填空：


cos
x
,
sin
x

cos
x
(1)
该函数的值域为
_______________
；
(2)
当且仅当
________________
时，该函数取得最大值；

(3)
该函数是以
________
为最小正周期的周期函数；
(4)
当 且仅当
______________
时，
f
(
x
)

0
.
【难度】★★

【答案】



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【例
6】求函数
y
＝－
cos
x
的单调区间

【难度】★★

【答案】



【例
7
】求下列函数的定义域与值域

（
1
）y

1
2
sin
2
x

（
2
）
y


2
cos
x

【难度】★★

【答案】



【巩固训练】

1
、已知函数
y

2sin(2< br>x

π
3
)
,
用“五点法”作出它在一个周期内的图 像
;
【难度】★

【答案】



2< br>、已知函数
y

3sin(
1
x

π
2
4
)
,
用五点法作出函数的图像
;
【难度】★

【答案】




3
、函数
y


x

cos
x
的部分图像 是
( )
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x

A

B

C

D

【难度】★

【答案】


4
、余弦函数的定义域是
______,最大值是
______
，最小值是
____
，周期是
____,
递增区间是
_____________________
，递减区间是
__ ____________________
．

对称轴是
________ __________,
对称中心是
____________
；

【难度】★

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【答案】


5
、判断函数
y

sin(
x

【难度】★★

【答案】

6
、设
M
和
m
分别表示函数< br>y


2
)
的奇偶性和单调性，并写出的单调区间
.

1
cos
x

1
的最大值和最小值，则
M

m
等于（

）

3
A
．
2
3












B
．－
2
3











C
．－
4
3












D
．－
2
【难度】★★

【答案】



二、正余弦函数的值域与最值


（一）知识精讲

1
、正、余弦函数定义域：
y

sin
x

和
y

cos
x
的定义域都为
R
。



2
、正、余弦函数定义域：
y

sin
x

和
y

cos
x
的值域都为


1,
1

。


对于函数
y

sin
x
，
当且仅当
x

2
k



2
,
y
取最大值
y
max

1
；





















当且仅当
x

2
k


2
,
y
取最小值
y
min

1
。

对于函数
y

cos
x
，当且仅当
x

2
k

,
y
取最大值< br>y
max

1
；


当且仅当
x

2
k



,y
取最小值
y
min


1
。






（二）典型例题

【例
8
】要使下列各式有意义应满足什么条件？

（
1
）

sin
x

1

m
2

m
;
























（
2
）

cos
x

a
2

b
2
2
ab

【难度】★

【答案】

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【例
9
】求下列函数的最大值，以及取得最大值时的
x
值

（
1
）

y=sinx+cosx



（
2
）
y=asinx+b
【难度】★★

【答案】




【例
10
】求使下列函 数取得最大值的自变量
x
的集合，并说出最大值是什么
.
（
1
）
y=sin(3x+

3

cos
x
2
)-1 (2)y=sin
x-4sinx+5 (3) y=

4
3

cos
x
【难度】★★

【答案】



【例
11
】求下列函数的值域

（
1
）
y

sin
x

3
cos
x
,
x< br>


1

cos
x








,


（
2
）
y

cos
2
x

sin
x
,
x



,

（
3
）
y


3

cos
x

4
4


6
2

【难度】★★

【答案】





【例
12
】 已知函数
f

x


3sin
x

sin
x

cos
x
，
x


2



,


，求
f

x

的最大值和最小值．

2


【难度】★★

【答案】






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【巩固训练】

7
、求使下列函数取得最大 值的自变量
x
的集合，并说出最大值是什么

(1)
y
＝< br>cos
x
＋
1
，
x
∈
R
；

(2)
y
＝
sin2
x
，
x
∈
R
。

【难度】★★

【答案】


8
、函数
y=ksinx+b
的最大值为
2,
最小值为
-4
，求
k,b
的值。

【难度】★★

【答案】


9
、函数
f
(
x
)

2
sin
2
x

6
cos
x

3
的最大值为













.
【难度】★

【答案】

10
、函数
y

sin
2
x

cos
2
x
　
(
x

[
0
,

2
])
的值域为













.

【难度】★★

【答案】

11
、函数
y

sin



2

x



cos




6

x



的最大值为
_________
．

【难度】★★

【答案】


12
、已知
y

1
2
sin
2
x

3
2
sin
x

cos
x

1
,
x

R
求
y
的最大值及此时
x
的集合．

【难度】★★

【答案】




三、正余弦函数的其他性质

（一）知识精讲

正余弦函数的性质与图像

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引领

共成长

y=sinx
-4

-7

-3

2
-5

2
-2

-3

-

2
-
2
y
1
-1
y
-

-2

- 3

2
-

2
o
3

2

2

2

5

2
3

7

2
4

x

y=cosx
-4

-7

2
-5

-3

2
1
-1
o

2

3

2
2

5

2
3

7

2
4

x


函数

定义域

值域

有界性

奇偶性

y

sin
x

R

y

cos
x

R



1,1


有界函数
sin
x

1

奇函数

对称轴方程：
x

k




1,1< br>

有界函数
cos
x

1















偶函数


2

对称轴方程：
x

k


对称中心：

k


对称性

对称中心：

k

,0


周期性





,0

2

周期函数
(
T

2

)

周期函数
(
T

2

)

单调增区间

2
k


单调性

单调减区间

2
k





2
,
2
k






2

单调增区间

2
k



,2
k







2
,
2
k


3


(
k

Z
)

2


单调减区间

2< br>k

,2
k




(
k

Z
)

x

2
k


最值性


2
,(
k

Z
),
y
max

1

x

2
k

,(
k

Z
),
y
max

1
x

2
k



,(
k

Z
),
y
min


1
x

2
k

< br>
2

,(
k

Z
),
y
min


1
周期函数：
一般地，对于函数
f
(< br>x
)
，如果存在一个非零常数
T
，使得当
x
取定义域 内的每一个
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