巧用算术平方根的非负性求值
余年寄山水
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2021年02月01日 07:34
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小学一年级日记-林清玄散文集
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巧用算术平方根的非负性求值
数学中的求值题类型颇多，下面例谈巧用算术平方根的非负性求值。
例
1
已知：
（
1
－
2
a
）
2
+
b
2
=0
，求（
ab
）
b
的值。
分析：清楚完全平方数和算术平方根的非负性是解这类题的关键。
解：∵
（
1
－
2
a
）
2
≥0
，< br>b
2
≥0
且（
1
－
2
a
）
2
+
b
2
=0
∴
1
－2
a
=0
，
b
－
2=0
∴
a
=
2
，
b
=2
∴
（
ab
）
b
=
（
2
×
2
）
2=1
点评：若干个非负数的和为零，则它们分别为零
例
2
已知
a
b
3
与
a
b
5
互为相反数，求
a
2
+
b
2
的值。
分析：利用绝对值的非负性和算术平方根的非负性解题
解：∵
a
b
3
与
a
b< br>
5
互为相反数
∴
a
b
3
+
a
b
5
=0
又
a
b
3
≥0
，
a
b
5
≥0
∴
a
－
b
+3=0
且
a
+
b
－
5=0
，解方程即可求得：
a
= 1
，
b
=4
∴
a
2
+
b
2=1
2
+4
2
=17
点评：如果两个非负数互为相反数，则这两个非负数分别为零
2
例
3
若
m
＜
0
，
n
＜
0
，求
(
1
m
)
+
（
n
）
2
的值
1
1
分析：运用公式
a
2
=
a
解题
2
解：∵
m
＜
0
∴
(
1
m
)
=
－
m
；
∵
n＜
0
，∴
（
n
）
2
=
－< br>n
2
∴
(
1
m
)
+< br>（
n
）
2
=
－
m
+
（－
n
）
=
－
m
－
n
点评：
a
2
=
a
中，注意
a
的取值范围。
- 1 -
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例
4
△
ABC
的 三边长分别为
a
、
b
、
c
，且
a
、
b
满足
a
1
+
b
2
－
4b
+4=0
，求
c
的取值
范围。
分析：要清楚完全平方数和算术平方根的非负性及三角形的性质。
解：由
a
1
+
b
2
－
4
b
+4=0，可得
a
1
+
（
b
－
2
）
2
=0
∵
a
1
≥0
，
（b
－
2
）
2
≥0
∴
a
< br>1
=0
，
（
b
－
2
）
2
= 0
∴
a
=1
，
b
=2
由三角形三边关系定理有 ：
b
－
a
＜
c
＜
b
+
a
即
1
＜
c
＜
3
点评：此处除用到算术平方根和完全平方数的非负性外，还利用了三角形边的关系。
3
例
5
：已知实数，满足等式
2
x
3
y
1
+
（
x
－
2
y
+2
）
=0
，求
2
x
－
5
y
的平方根。
4
分析：利用算术平方根的非负性及完全平方数的非负性解题。
解：∵
2
x
3
y
1
≥0
，
（
x
－
2
y
+2
）
4
≥0
且2
x
3
y
1
+
（
x－
2
y
+2
）
4
=0
∴
2
x
－
3
y
－
1=0
，
x
－
2y
+2=0
解上二方程组成的方程组，得
x
8
y
5
∴
2
x
－
5
y
=2×
8
－
5
×
5=13
3
3
3∴
2
x
－
5
y
的平方根为
±
13
点评：已知等式中含有偶次根式要考滤被开方数大于等于零；含有偶次方幂
要考滤偶次方
幂大于等于零。
- 2 -